Dold–Thomの定理
概要
Dold–Thomの定理（Dold–Thom theorem）とは、$0$ 胞体を基点とする弧状連結な CW 複体 $X$ について、無限対称積 $SP(X)$ の次数 $i\ge1$ のホモトピー群が整数係数の被約ホモロジー群 $\tilde H_i(X;\mathbb Z)$ と自然に同型になるという定理である。とくに $SP(S^n)$ は Eilenberg–MacLane 空間 $K(\mathbb Z,n)$ であり、Moore 空間 $M(G,n)$ の無限対称積は $K(G,n)$ である。証明の要は、弧状連結な単体複体 $X$ と弧状連結な部分複体 $A$ について（$X$ を包含の写像柱に取り替えると） $SP(A)\to SP(X)\to SP(X/A)$ が準ファイブレーションになり、ホモトピー群の長完全列を与えることである。
Dold–Thom の定理（Dold–Thom theorem）は、基点付きの弧状連結な CW 複体 $X$ の無限対称積 $SP(X)$ のホモトピー群が、$X$ の整数係数の被約ホモロジー群に一致することを主張する：
$$
\pi_i(SP(X))\cong\tilde H_i(X;\mathbb Z)\qquad(i\ge1),
$$
しかもこの同型は $X$ について自然である。$SP(X)$ は $X$ の点を重複を許して有限個集めた配置の空間で、点の並べ替えを同一視することが、自由群のような非可換な情報を消して整数係数の鎖に近いものを残す。とくに $SP(S^n)$ は Eilenberg–MacLane 空間 $K(\mathbb Z,n)$ になり、ホモロジーをホモトピー群として実現する具体的な模型を与える。
証明の要は、弧状連結な単体複体 $X$ と弧状連結な部分複体 $A$ について（$X$ を包含の写像柱に取り替えると）$SP(A)\to SP(X)\to SP(X/A)$ が準ファイブレーションであり、ホモトピー群の長完全列を生むことである。この記事では、定理の主張と帰結を述べ、球面の場合 $SP(S^n)\simeq_w K(\mathbb Z,n)$ を準ファイブレーションの判定法から証明し、一般の場合の証明の筋を述べる。
定義
対称積
$n\ge1$ と位相空間 $X$ について、対称群 $S_n$ が成分の並べ替えで作用する積 $X^n$ の軌道空間 $SP^n(X):=X^n/S_n$ を $n$ 次の対称積という。$(x_1,\dots,x_n)$ の類を $[x_1,\dots,x_n]$ と書き、$SP^0(X)$ は 1 点とする。基点 $x_0$ を選ぶと $[x_1,\dots,x_n]\mapsto[x_1,\dots,x_n,x_0]$ が包含 $SP^n(X)\to SP^{n+1}(X)$ を定める。
基点付き空間 $(X,x_0)$ について、包含の列 $SP^0(X)\subset SP^1(X)\subset\cdots$ の和集合に、部分集合が閉であることを各 $SP^n(X)$ との共通部分が閉であることで定める位相を入れた空間
$$
SP(X):=\bigcup_{n\ge0}SP^n(X)
$$
を $X$ の無限対称積という。
$SP(X)$ の点は、$x_0$ 以外の点を重複を許して有限個集めたもの（多重集合）と一対一に対応する。二つの配置を合わせる操作 $[x_1,\dots,x_n]+[y_1,\dots,y_m]:=[x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m]$ は、空の配置（基点の類）を単位元とする可換で結合的な積である。つまり $SP(X)$ は、$X\setminus\{x_0\}$ の点を生成元とする自由可換モノイドに位相を入れたものである。連続な基点付き写像 $f\colon X\to Y$ は点ごとに $f$ を施す連続写像 $SP(f)\colon SP(X)\to SP(Y)$ を誘導し、基点付きホモトピックな写像はホモトピックな写像を誘導する（対称積(位相空間) の命題「商写像と分離性」の 4。Hat02 p. 481）。
準ファイブレーション
$B$ を弧状連結な空間とする。連続写像 $p\colon E\to B$ が準ファイブレーション（quasifibration）であるとは、すべての $b\in B$、$x\in p^{-1}(b)$、$i\ge0$ について
$$
p_*\colon\pi_i(E,p^{-1}(b),x)\to\pi_i(B,b)
$$
が全単射であることをいう（Hat02 p. 479）。ただしこの記事では、$\pi_0(E,p^{-1}(b))$ は $\pi_0(E)$ を $\pi_0(p^{-1}(b))$ の像で割った集合と約束する。
準ファイブレーションでは、対 $(E,p^{-1}(b))$ の長完全列（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」）の $\pi_i(E,p^{-1}(b))$ を $\pi_i(B,b)$ に置き換えて、ファイブレーションと同じ形の長完全列
$$
\cdots\to\pi_i(p^{-1}(b))\to\pi_i(E)\to\pi_i(B)\to\pi_{i-1}(p^{-1}(b))\to\cdots
$$
が得られる。ファイバー束 は準ファイブレーションである（Hat02 Theorem 4.41、p. 376）。準ファイブレーションはホモトピー持ち上げ性質をもつとは限らない（下の rem-dt-not-fibration）。
主定理
$X$ を、$0$ 胞体を基点とする弧状連結な CW 複体とする。$i\ge1$ について自然な同型
$$
\pi_i(SP(X))\cong\tilde H_i(X;\mathbb Z)
$$
がある。ここで自然とは、そのような $X,Y$ の間の基点付き写像 $f\colon X\to Y$ について $SP(f)_*$ と $f_*$ がこの同型と可換であることをいう。
これは Hat02 Theorem 4K.6（p. 483）であり、この記事では一般の場合は証明せず、球面の場合（thm-dt-sphere）を証明し、一般の場合の筋を rem-dt-general に述べる。同書は $X$ を単体複体に取り替えて $SP(X)$ に $\Delta$ 複体の位相を入れて証明しているが、その位相はここでの位相とコンパクト集合が同じであり（同書 pp. 482–483）、ホモトピー群は変わらない。
$n\ge1$ とする。
- $SP(S^n)$ は $K(\mathbb Z,n)$ である。
- $G$ をアーベル群とし、Moore 空間 $M(G,n)$（$\tilde H_i(M(G,n);\mathbb Z)$ が $i=n$ で $G$、ほかで $0$ となる CW 複体。$n\ge2$ では単連結とする）を $0$ 胞体を基点にとると、$SP(M(G,n))$ は $K(G,n)$ である。
$SP(X)$ は弧状連結である（$SP^m(X)$ は弧状連結な $X^m$ の像で、和集合は基点を共有する）。$S^n$ と $M(G,n)$ は弧状連結な CW 複体で、被約ホモロジーは次数 $n$ だけにあり、それぞれ $\mathbb Z$、$G$ である。thm-dt-main により $SP$ のホモトピー群は次数 $n$ だけにあり、それぞれ $\mathbb Z$、$G$ である。これは Eilenberg–MacLane空間 の定義そのものである。$\square$
次数 $1$ では、$\pi_1(SP(X))\cong H_1(X)$ は $\pi_1(X)$ の可換化である（Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」）。$X\subset SP(X)$ の包含 $X=SP^1(X)\to SP(X)$ が誘導する $\pi_i(X)\to\pi_i(SP(X))\cong H_i(X)$ は Hurewicz 準同型と（符号を除いて）一致する（Hat02 p. 486）。$X$ が単体複体で基点が頂点なら、$\Delta$ 複体の位相を入れた $SP(X)$ は厳密な単位元をもつ可換で結合的な H空間 なので、その弱ホモトピー型は Eilenberg–MacLane 空間の積 $\prod_{n\ge1}K(\tilde H_n(X),n)$ に限られる（Hat02 Corollary 4K.7、p. 483）。
$X=\mathbb{RP}^2$ とする。$\tilde H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2$、$i\ge2$ で $\tilde H_i(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)=0$ である（実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」）。thm-dt-main により $SP(\mathbb{RP}^2)$ は $\pi_1\cong\mathbb Z/2$ でほかのホモトピー群が消える空間、すなわち $K(\mathbb Z/2,1)$ であり、$\mathbb{RP}^\infty$ と同じ型のホモトピー群をもつ（無限次元射影空間 の系「Eilenberg–MacLane 空間との関係」）。$\mathbb{RP}^2$ 自身は $\pi_2(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z$ をもつので、対称積をとると次数 $2$ のホモトピー群が消える。
$X=S^1\vee S^1$ とする。$\pi_1(X)$ は階数 $2$ の 自由群 で可換でないが、$H_1(X;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^2$ なので、thm-dt-main により $\pi_1(SP(X))\cong\mathbb Z^2$ であり、$i\ge2$ では $\pi_i(SP(X))=0$ である。$SP(X)$ はトーラス $K(\mathbb Z^2,1)$ と同じ型のホモトピー群をもつ。並べ替えの同一視によって二つのループの交換子が自明になる。
球面の場合の証明
準ファイブレーションの判定法
連続写像 $p\colon E\to B$（$B$ は弧状連結）は、次のどれかを満たせば準ファイブレーションである。
- $B$ が開集合 $V_1,V_2$ の和で、$p$ の $V_1$、$V_2$、$V_1\cap V_2$ の上への制限がどれも準ファイブレーションであり、$p$ のファイバーがどれも弧状連結である。
- $B$ が部分空間の増大列 $B_1\subset B_2\subset\cdots$ の和で、$B$ のコンパクト集合はどれもある $B_N$ に含まれ、各 $p^{-1}(B_N)\to B_N$ が準ファイブレーションである。
- $E$ のホモトピー $F_t$ と $B$ のホモトピー $\bar F_t$ が $p\circ F_t=\bar F_t\circ p$、$F_0=\mathrm{id}$、$\bar F_0=\mathrm{id}$ を満たし、部分空間 $E'\subset E$、$B'\subset B$ について $F_t(E')\subset E'$、$F_1(E)\subset E'$、$\bar F_t(B')\subset B'$、$\bar F_1(B)\subset B'$ であり、$p|_{E'}\colon E'\to B'$ が準ファイブレーションで、各 $b\in B$ で $F_1\colon p^{-1}(b)\to p^{-1}(\bar F_1(b))$ が弱ホモトピー同値である。
これは Hat02 Lemma 4K.3（pp. 480–481）であり、この記事では証明しない。同書は 1 をファイバーが弧状連結な場合に証明しており、この記事でもその場合にだけ使う。1 で $V_1,V_2,V_1\cap V_2$ は準ファイブレーションの底空間なので弧状連結である。
円板の対称積からの写像
以下 $n\ge1$ とし、$D:=D^{n+1}\subset\mathbb R^{n+1}$、$A:=\partial D=S^n$、$U:=D\setminus A$ とする。$q\colon D\to Y:=D/A\cong S^{n+1}$ を商写像、$*:=q(A)$ とし、$D$ と $A$ の基点を $a_0\in A$、$Y$ の基点を $*$ とする。$P:=SP(q)\colon SP(D)\to SP(Y)$ とおく。$B_N:=SP^N(Y)$、$E_N:=P^{-1}(B_N)$ とすると、$E_N$ は $U$ にある粒子が $N$ 個以下の配置の全体である。$D,A,Y$ はコンパクト Hausdorff なので、$SP$ のコンパクト集合はある $SP^m$ に含まれ、各 $SP^m$ は閉集合で相対位相はもとの位相に一致する（対称積(位相空間) の補題「無限対称積のコンパクト集合」）。
$P\colon SP(D)\to SP(Y)$ は準ファイブレーションであり、$*$ の上のファイバー $P^{-1}(*)$ は $SP(A)$ である。ファイバーはどれも $SP(A)$ と同相で、弧状連結である。
要点：$B_N\setminus B_{N-1}$ の上では $P$ は直積の射影であり、$B_{N-1}$ の近傍の上では $U$ の外寄りの粒子を $A$ へ押し出すホモトピーで $B_{N-1}$ の上に帰着する。この二つを lem-dt-criteria の 1 で貼り、2 で $N\to\infty$ とする。
証明を開く
ファイバー．$b\in SP(Y)$ の $*$ でない粒子を $q|_U$ の逆で $U$ に戻した配置を $u_b\in SP(D)$ とすると、$P^{-1}(b)=\{u_b+v\mid v\in SP(A)\}$ である。$v\mapsto u_b+v$ は各段 $SP^m(A)\to SP^{m+k}(D)$（$k$ は $u_b$ の粒子の数）でコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射なので閉埋め込みであり、閉集合 $P^{-1}(b)$ は各段との共通部分の帰納極限の位相をもつので、同相 $SP(A)\cong P^{-1}(b)$ を得る。$A$ は弧状連結なので $SP(A)$ も弧状連結である。
$W_N:=B_N\setminus B_{N-1}$ の上．$W_N$ は $B_N$ の開集合で、$SP^N(Y\setminus*)\cong SP^N(U)$ と同相であり（対称積(位相空間) の命題「商写像と分離性」の 3）、弧状連結である。$P^{-1}(W_N)\cap SP^m(D)$ は $U$ にある粒子がちょうど $N$ 個の配置の全体で、その $D^m$ での逆像は、どの $N$ 個の座標が $U$ にあるかで分けた開かつ閉な部分の和である。有限群の作用の商写像は開写像なので、そのうち一つ $U^N\times A^{m-N}$ からの制限も商写像であり、$P^{-1}(W_N)\cap SP^m(D)\cong SP^N(U)\times SP^{m-N}(A)$ を得る。$P^{-1}(W_N)$ は閉集合 $E_N$ の開集合なので、これらの段の帰納極限の位相をもつ。$SP^N(U)$ は局所コンパクト Hausdorff なので、積 $SP^N(U)\times SP(A)$ も各段の積の帰納極限の位相をもつ（Hat02 Proposition A.17、p. 532）。よって $(u,v)\mapsto u+v$ は同相 $SP^N(U)\times SP(A)\cong P^{-1}(W_N)$ を与え、$P$ は第 1 成分への射影になる。射影はファイバー束なので、$W_N$ の弧状連結な開集合 $W$ の上で $P^{-1}(W)\to W$ は準ファイブレーションである。
$B_{N-1}$ の近傍の上．$x=\rho\omega$（$\rho=|x|$、$|\omega|=1$）について $f_t(x):=\bigl((1-t)\rho+t\min(2\rho,1)\bigr)\omega$、$f_t(0):=0$ とおく。$f_t$ は $D$ のホモトピーで、$f_0=\mathrm{id}$、$A$ の上で恒等であり、$O:=\{\rho>1/2\}$ を $O$ に、$f_1$ は $O$ を $A$ に写し、$U$ の粒子を $U$ から出すことはあっても $A$ の粒子を $U$ に入れない。$f_t$ は $Y$ のホモトピー $\bar f_t$ を誘導する。$F_t:=SP(f_t)$、$\bar F_t:=SP(\bar f_t)$ は（$\times I$ を取っても商写像のままなので）連続で、$P\circ F_t=\bar F_t\circ P$ を満たし、$E_N,E_{N-1}$ と $B_N,B_{N-1}$ を保つ。$B_N$ の配置で、$*$ を補って $N$ 個にしたとき少なくとも一つの粒子が $q(O)$ にあるものの全体を $V_N$ とする。$q(O)$ は $*$ を含む開集合なので、$V_N$ は $B_{N-1}$ を含む $B_N$ の開集合で、$\bar F_t$ で保たれ、$\bar F_1(V_N)\subset B_{N-1}$ である。$E:=P^{-1}(V_N)$ は $F_t$ で保たれ、$F_1(E)\subset E_{N-1}$ である。$b\in V_N$ について、$f_1$ が $u_b$ の粒子のうち $A$ に写したものの配置を $a_b\in SP(A)$ とすると、ファイバーの写像 $F_1$ はファイバーの同相のもとで $v\mapsto a_b+v$ であり、$a_b$ の粒子を $A$ の中の道で $a_0$ へ動かせば恒等写像とホモトピックである。よって $E_{N-1}\to B_{N-1}$ が準ファイブレーションなら、lem-dt-criteria の 3 により $E\to V_N$ も準ファイブレーションである。$V_N$ の各点は $\bar F_t$ で弧状連結な $B_{N-1}$ の点と結ばれるので、$V_N$ は弧状連結である。
帰納法．$E_0=SP(A)\to B_0=\{*\}$ は準ファイブレーションである。$E_{N-1}\to B_{N-1}$ が準ファイブレーションとする。$V_N\cap W_N$ は、$U$ の $N$ 点の配置で少なくとも一点が弧状連結な $O\cap U$ にあるものの全体と同相で、弧状連結である。$B_N=V_N\cup W_N$ に lem-dt-criteria の 1 を使うと（ファイバーは弧状連結）、$E_N\to B_N$ は準ファイブレーションである。$SP(Y)$ のコンパクト集合はある $B_N$ に含まれるので、lem-dt-criteria の 2 により $P$ は準ファイブレーションである。$\square$
球面の無限対称積
$n\ge1$ とし、$S^n$ に基点を一つ選ぶ。$SP(S^n)$ は弧状連結で、$\pi_n(SP(S^n))\cong\mathbb Z$ であり、$i\ge1$、$i\ne n$ なら $\pi_i(SP(S^n))=0$ である。すなわち $SP(S^n)$ は $K(\mathbb Z,n)$ である。
$S^n$ は弧状連結なので $SP(S^n)$ も弧状連結である。球面はどの 2 点も同相写像で移り合い、基点を写す同相写像は対称積の同相を誘導するので、基点の選び方によらない。
$n=1$ では、対称積(位相空間) の定理「円周の対称積」により、点の積をとる写像 $SP(S^1)\to S^1$ は弱ホモトピー同値なので、$\pi_1(SP(S^1))\cong\mathbb Z$、$i\ge2$ で $\pi_i(SP(S^1))=0$ である。
$n$ で主張が成り立つとし、上の記号を使う。$D$ は可縮なので、各 $SP^m(D)$ も可縮である（対称積(位相空間) の命題「商写像と分離性」の 4）。球面や円板の像はコンパクトなので、$SP(D)$ の各ホモトピー群の元とそのホモトピーはある $SP^m(D)$ の中にあり（対称積(位相空間) の補題「無限対称積のコンパクト集合」）、$\pi_i(SP(D))=0$（$i\ge0$）である。
prop-dt-disk により $P$ は準ファイブレーションで、$P^{-1}(*)=SP(A)$ である。その長完全列
$$
\pi_i(SP(D))\to\pi_i(SP(Y))\to\pi_{i-1}(SP(A))\to\pi_{i-1}(SP(D))
$$
の両端は $0$ なので、$i\ge2$ で $\pi_i(SP(Y))\cong\pi_{i-1}(SP(A))$ である。$i=1$ では、$\pi_1(SP(D))=0$ と $SP(A)$ の弧状連結性から $\pi_1(SP(D),SP(A))$ は 1 点であり、$\pi_1(SP(Y))\cong\pi_1(SP(D),SP(A))$ も 1 点である。$Y\cong S^{n+1}$、$A=S^n$ なので、
$$
\pi_i(SP(S^{n+1}))\cong\pi_{i-1}(SP(S^n))\quad(i\ge2),\qquad\pi_1(SP(S^{n+1}))=0
$$
となる。帰納法の仮定から、$\pi_{n+1}(SP(S^{n+1}))\cong\pi_n(SP(S^n))\cong\mathbb Z$ で、$i\ne n+1$ の $\pi_i(SP(S^{n+1}))$ は $0$ である。$\square$
$n=2$ では、$SP(S^2)$ は $\mathbb{CP}^\infty$ と同相であり（対称積(位相空間) の定理「2 次元球面の対称積と複素射影空間」）、$\mathbb{CP}^\infty$ が $K(\mathbb Z,2)$ であること（無限次元射影空間 の系「Eilenberg–MacLane 空間との関係」）と合う。
$P$ のファイバーはどれも $SP(A)$ と同相だが、$P$ は道の持ち上げ性質ももたない。$U$ の点 $x_t$（$0\le t< 1$）が $a\in A$、$a\ne a_0$ に近づく道を考えると、$SP(Y)$ の道 $q(x_t)$（$t\to1$ で $*$）を持ち上げた $x_t+v_t$ は $t\to1$ で $a+v_1$ に近づき、基点（空の配置）で終わる持ち上げはない（Hat02 p. 484）。準ファイブレーションはこの欠点をホモトピー群の段階で補う。
一般の場合の証明の筋
Hat02 pp. 484–486 の証明は次のとおりである。この記事ではこの部分は証明しない。
- 弧状連結な単体複体の対 $(X,A)$（$A$ も弧状連結）について、$X$ を包含の写像柱に取り替えたうえで、prop-dt-disk と同じ段ごとの議論により $SP(A)\to SP(X)\to SP(X/A)$ が準ファイブレーションであることを示す。
- その長完全列と、$SP$ がホモトピー関手であること、$SP(\bigvee_\alpha X_\alpha)$ が有限個の積の和集合であることから、$h_i(X):=\pi_i(SP(X))$ は基点付きの弧状連結な単体複体の上の被約ホモロジー論になる。
- 係数は $SP(S^2)\cong\mathbb{CP}^\infty$ と懸垂同型から $h_i(S^n)\cong\tilde H_i(S^n;\mathbb Z)$ である。$\tilde h_i(X):=h_{i+1}(\Sigma X)$ を基点のない単体複体に広げ、係数で決まるホモロジー論の一意性（Hat02 Theorem 4.59、p. 399）を使う。
- CW 複体は単体複体とホモトピー同値なので（同書 Theorem 2C.5、p. 182）、CW 複体の場合が従う。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 無限対称積をとること | $SP^n(S^2)\cong\mathbb{CP}^n$（$n\ge1$）、$i=2n+1$ | $\pi_i\cong\tilde H_i(S^2)$ |
| $X$ が弧状連結であること | $X=S^1_a\sqcup S^1_b$（基点は $S^1_a$ の上）、$i=1$ | $\pi_1(SP(X))\cong\tilde H_1(X)$ |
| 並べ替えを同一視すること | James 簡約積 $J(S^2)$、$i=3$ | $\pi_3\cong\tilde H_3(S^2)$ |
1 行目：$SP^n(S^2)\cong\mathbb{CP}^n$ である（対称積(位相空間) の定理「2 次元球面の対称積と複素射影空間」）。$\pi_{2n+1}(\mathbb{CP}^n)\cong\mathbb Z$（複素射影空間 の命題「複素射影空間のホモトピー群」）だが、$\tilde H_{2n+1}(S^2)=0$ である。
2 行目：$S^1_b$ は $X$ の開かつ閉な集合なので、配置が $S^1_b$ にもつ粒子の数は $SP(X)$ の上の局所定数関数である。基点を含む弧状連結成分はその数が $0$ の集合 $SP(S^1_a)$ に入り、$SP(S^1_a)$ は弧状連結で、開かつ閉であり、対称積(位相空間) の命題「商写像と分離性」の 3 により各段で $SP^m(S^1_a)$ と同相である。よって $\pi_1(SP(X))\cong\pi_1(SP(S^1))\cong\mathbb Z$（thm-dt-sphere）だが、$\tilde H_1(X)\cong\mathbb Z^2$ である。
3 行目：$J(X)$ は $X^k$ の点を並べ替えずに語として並べ、基点の文字を消す同一視だけで作る空間である（James簡約積 の定義「James 簡約積」）。James簡約積 の定理「James の定理」により $J(S^2)\to\Omega\Sigma S^2=\Omega S^3$ は弱ホモトピー同値なので、ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」により $\pi_3(J(S^2))\cong\pi_4(S^3)\cong\mathbb Z/2$（Hat02 Corollary 4J.4、p. 474）だが、$\tilde H_3(S^2)=0$ である。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
