Artin–Tate予想
概要
Artin–Tate予想（Artin–Tate conjecture）とは、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の幾何的に連結な滑らかな射影曲面 $X$ について、Brauer 群 $\mathrm{Br}(X)$ が有限であり、2 次コホモロジーの Frobenius の特性多項式 $P_2(X,q^{-s})$ の $s=1$ での主要項が、$\mathrm{Br}(X)$ の位数、Néron–Severi 群の交点行列式、捩れの位数の平方、$q^{\alpha(X)}$ で表されるという予想である。因子の Tate 予想の精密化で、Tate は $\ell$ 部分の同値を、Milne は標数 $2$ でないとき Tate 予想から予想全体が従うことを示した。曲線束の曲面では一定の条件のもとで Birch–Swinnerton-Dyer 予想と同値であり、一般には未解決である。
前提知識: 合同ゼータ関数, Tate予想, Brauer群, Néron–Severi群, Weil予想
Artin と Tate は、Birch と Swinnerton-Dyer の予想を有限体上の曲線束の言葉に翻訳しようとして、有限体上の曲面のゼータ関数の $s=1$ での主要項を、曲面の Brauer 群の位数、Néron–Severi 群の交点行列式、捩れの位数、そして $q$ の冪で表す公式を予想した。これが Artin–Tate 予想（Artin–Tate conjecture）である。
この予想は Tate予想 の因子の場合を精密にしたもので、Brauer 群の有限性を含む。一般には未解決だが、Tate 予想が成り立つ曲面では（標数 $2$ でない場合）成り立つことが知られており（Tate、Milne）、曲線束の曲面については一定の条件のもとで Birch–Swinnerton-Dyer予想 と同値である（Gordon）。この記事では、予想を述べ、その 2 つの形が同値であること、両辺の符号がそろうこと、予想が Tate 予想を含むことを証明する。次に、証明されている部分（ℓ 部分の同値、Tate 予想からの帰結、Birch–Swinnerton-Dyer 予想との同値）と未解決の部分を区別して整理し、射影平面で公式を確かめる。
設定
$k=\mathbb{F}_q$（$q=p^a$）を有限体、$\bar k$ を代数閉包とする。$X$ を $k$ 上の滑らかな射影曲面で、$\bar X:=X\otimes_k\bar k$ が連結なものとし、$\ell\ne p$ を素数とする。
- ゼータ関数。 $\zeta(X,s)=Z(X,q^{-s})$ を合同ゼータ関数、$P_i(X,T)=\det\bigl(1-\varphi T\mid H^i(\bar X,\mathbb{Q}_\ell)\bigr)$ を Frobenius の特性多項式とする。このとき
$$ \zeta(X,s)=\frac{P_1(X,q^{-s})\,P_3(X,q^{-s})}{(1-q^{-s})\,P_2(X,q^{-s})\,(1-q^{2-s})} $$
であり、$P_i$ は $\ell$ によらない整数係数の多項式である（Tat66 (4.1)、p. 426。Mil75 序文、p. 517）。Weil予想（Deligne の定理）により、$P_i$ の逆数根（$P_i(T)=\prod(1-\alpha T)$ の $\alpha$）はすべての複素埋め込みで絶対値 $q^{i/2}$ をもつ。 - Néron–Severi 群。 $\operatorname{NS}(X)$ を、$\operatorname{Pic}(X)$ の $\operatorname{NS}(\bar X)$（代数的同値で割った因子類群、Néron–Severi群）における像とする（Tat66 p. 427）。これは有限生成アーベル群で、その階数を $\rho(X)$、捩れ部分群を $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ と書く。交点数 $D\cdot E$ は $\operatorname{NS}(X)$ 上の対称双線形形式を与える。
- Brauer 群。 $\operatorname{Br}(X)=H^2(X_{\mathrm{et}},\mathbb{G}_m)$ とする（コホモロジー的Brauer群。$X$ は次元 $2$ の正則スキームなので Brauer群 と一致する。Tat66 p. 425）。
- 不変量 $\alpha(X)$。 $\alpha(X):=\chi(X,\mathcal{O}_X)-1+\dim\operatorname{PicVar}(X)$ とおく（$\operatorname{PicVar}(X)$ は Picard 多様体）。$\alpha(X)\ge0$ である（Tat66 (4.2)、p. 427）。
予想
$\operatorname{Br}(X)$ は有限群であり、$D_1,\dots,D_\rho$（$\rho=\rho(X)$）を $\operatorname{NS}(X)$ の捩れを法とした基底とすると、$s\to1$ のとき
$$
P_2(X,q^{-s})\ \sim\ \frac{\#\operatorname{Br}(X)\cdot\bigl|\det(D_i\cdot D_j)\bigr|}{q^{\alpha(X)}\,\bigl(\#\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}\bigr)^2}\,\bigl(1-q^{1-s}\bigr)^{\rho(X)}
$$
が成り立つ（両辺の比が $1$ に近づく）。
Tat66 の予想 (C)（pp. 426–427）である。Mil75（序文、p. 517）は、一次独立な $D_1,\dots,D_\rho\in\operatorname{NS}(X)$ と $B:=\sum_i\mathbb{Z}D_i$ を使って
$$
P_2(X,q^{-s})\ \sim\ \frac{(-1)^{\rho(X)-1}\,\#\operatorname{Br}(X)\cdot\det(D_i\cdot D_j)}{q^{\alpha(X)}\,[\operatorname{NS}(X):B]^2}\,\bigl(1-q^{1-s}\bigr)^{\rho(X)}
$$
と書いている。2 つの形が同じ主張であることは prop-artin-tate-forms と prop-artin-tate-sign で示す。
$P_2(X,T)$ が $(1-qT)$ でちょうど $m$ 回割り切れるとき、$R(T):=P_2(X,T)/(1-qT)^m$ とおく。$1-q\cdot q^{-s}=1-q^{1-s}$ なので、予想は $m=\rho(X)$ と、$s=1$ での値の等式
$$
R(q^{-1})=\frac{\#\operatorname{Br}(X)\cdot|\det(D_i\cdot D_j)|}{q^{\alpha(X)}(\#\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}})^2}
$$
を合わせたものである（prop-artin-tate-implies-tate）。
予想の形についての基本的な性質
以下の 3 つの命題は予想を仮定しない。
$D_1,\dots,D_\rho\in\operatorname{NS}(X)$ を一次独立な元、$B=\sum_i\mathbb{Z}D_i$ とし、$E_1,\dots,E_\rho$ を $\operatorname{NS}(X)$ の捩れを法とした基底とする。このとき $[\operatorname{NS}(X):B]$ は有限で
$$
\frac{\det(D_i\cdot D_j)}{[\operatorname{NS}(X):B]^2}=\frac{\det(E_i\cdot E_j)}{(\#\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}})^2}
$$
である。とくに右辺は基底の取り方によらず、conj-artin-tate と rem-artin-tate-source の右辺は絶対値が等しい。
$T:=\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$、$N:=\operatorname{NS}(X)/T$ とおく。$N$ は階数 $\rho$ の自由アーベル群で、$E_i$ の像 $e_i$ がその基底である。$t\in T$ が $mt=0$ を満たせば $m(t\cdot D)=0$ なので $t\cdot D=0$ であり、交点形式は $N$ 上の形式から来る。
$\sum_in_iD_i\in T$ なら、ある $m\ge1$ で $\sum_imn_iD_i=0$ となり、一次独立性から $n_i=0$ である。よって $B\cap T=0$ で、$B$ は $N$ への像 $\bar B$ と同型である。$\bar B$ は階数 $\rho$ の自由部分群なので $[N:\bar B]$ は有限であり、$\operatorname{NS}(X)/(B+T)\cong N/\bar B$、$(B+T)/B\cong T$ から
$$
[\operatorname{NS}(X):B]=[N:\bar B]\cdot\#T
$$
である。$D_i$ の像を $d_i=\sum_jM_{ij}e_j$（$M\in M_\rho(\mathbb{Z})$）と書くと $|\det M|=[N:\bar B]$ であり、Gram 行列は $(d_i\cdot d_j)=M(e_i\cdot e_j)M^{\mathsf T}$ を満たすので、$\det(D_i\cdot D_j)=(\det M)^2\det(E_i\cdot E_j)$ である。これらを合わせて等式を得る。基底の取り替えでは $M\in\mathrm{GL}_\rho(\mathbb{Z})$、$\det M=\pm1$ なので右辺は変わらない。$\square$
- $P_2(X,T)=(1-qT)^mR(T)$、$R(q^{-1})\ne0$ と書くと、$R(q^{-1})>0$ である。
- $\operatorname{NS}(X)$ の捩れを法とした基底 $E_i$ について、$\det(E_i\cdot E_j)$ の符号は $(-1)^{\rho(X)-1}$ である。
したがって rem-artin-tate-source の右辺の係数は正であり、conj-artin-tate の絶対値を外した形と一致する。
1：$P_2$ は整数係数なので、$R(T)=\prod_{\alpha\ne q}(1-\alpha T)$（$\alpha$ は $q$ 以外の逆数根を重複度こみで動く）は実数係数で、非実の $\alpha$ は複素共役 $\bar\alpha$ と同じ重複度で現れる。Deligne の定理により $|\alpha|=q$ である。実数の $\alpha\ne q$ は $\alpha=-q$ だけで、その因子は $1-(-q)q^{-1}=2>0$ である。非実の対の因子は $(1-\alpha/q)(1-\bar\alpha/q)=|1-\alpha/q|^2>0$ である。よって $R(q^{-1})>0$ である。
2：Hodge の指数定理により、$\operatorname{NS}(\bar X)$ を捩れで割った格子の上の交点形式は非退化で、符号は $(1,\rho(\bar X)-1)$ である（Néron–Severi群 の本文、Har77 Theorem V.1.9・Remark V.1.9.1、p. 364。この記事では証明しない）。豊富な因子 $H$ を $X$ 上にとると、その類は $\operatorname{NS}(X)$ に属して $H^2>0$ を満たし、$H$ の直交補空間では形式は負定値である。$\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{R}$ は $H$ を含む部分空間なので、その上の形式は $H$ の方向で正、$\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{R}$ の中の $H$ の直交補空間で負定値であり、符号は $(1,\rho(X)-1)$ である。対称行列の行列式の符号は負の固有値の個数の偶奇で決まるので、$(-1)^{\rho(X)-1}$ である。$\square$
ある $0< C<\infty$ について $s\to1$ のとき $P_2(X,q^{-s})\sim C\,(1-q^{1-s})^{\rho(X)}$ が成り立てば、$q$ は $P_2(X,T)$ の逆数根として重複度 $\rho(X)$ をもち、$C=R(q^{-1})$ である。このとき $\zeta(X,s)$ は $s=1$ で位数 $\rho(X)$ の極をもつ。とくに conj-artin-tate が成り立てば、$\rho(X)$ は $\zeta(X,s)$ の $s=1$ での極の位数に等しい。
$P_2(X,q^{-s})=(1-q^{1-s})^mR(q^{-s})$ で、実数 $s\to1$ のとき $1-q^{1-s}\to0$、$R(q^{-s})\to R(q^{-1})\ne0$ である。よって $P_2(X,q^{-s})/(1-q^{1-s})^{\rho}=(1-q^{1-s})^{m-\rho}R(q^{-s})$ が $0$ でない有限の値に収束するのは $m=\rho$ のときに限り、そのとき極限は $R(q^{-1})$ である。
ゼータ関数の表示で、$s=1$ では $1-q^{-1}\ne0$、$1-q\ne0$ であり、$P_1$ と $P_3$ の逆数根は絶対値 $q^{1/2}$、$q^{3/2}$ なので $P_1(X,q^{-1})P_3(X,q^{-1})\ne0$ である。したがって $\zeta(X,s)$ の $s=1$ での極の位数は $m$ に等しい。$\square$
$\rho(X)$ が $s=1$ での極の位数に等しいという主張は、Tate予想 の因子の場合（$T^1$）の、極の位数による形である（Tate予想 の命題「階数・代数的類・不変部分・極の位数の不等式」）。Artin–Tate 予想はこれに $s=1$ での主要項の値を付け加えたものである。
証明されていること
ℓ 部分（Artin–Tate）
$\ell\ne p$ とする。次は同値である。
- $\operatorname{Br}(X)$ の $\ell$ 準素部分 $\operatorname{Br}(X)(\ell)$ は有限である。
- サイクル写像 $\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{Z}_\ell\to H^2(\bar X,T_\ell(\mu))^G$（$G=\operatorname{Gal}(\bar k/k)$）は全単射である。
- $\rho(X)=\operatorname{rank}_{\mathbb{Z}_\ell}H^2(\bar X,T_\ell(\mu))^G$ である。
- $\rho(X)$ は $P_2(X,T)$ の逆数根 $q$ の重複度に等しい。
これらが 1 つの $\ell$ について成り立てば、$p$ と素な部分 $\operatorname{Br}(X)(\text{non-}p)=\bigoplus_{\ell\ne p}\operatorname{Br}(X)(\ell)$ は有限であり、ある整数 $\nu$ について
$$ R(q^{-1})=\pm p^{\nu}\,\frac{\#\operatorname{Br}(X)(\text{non-}p)\cdot\det(D_i\cdot D_j)}{(\#\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}})^2} $$
が成り立つ。すなわち、予想は $\pm p^\nu$ の因子を除いて成り立つ。
Tat66 Theorem 5.2（p. 436）による（この記事では証明しない）。4 の条件は $\ell$ によらないので、1 つの $\ell$ で成り立てばすべての $\ell\ne p$ で成り立つ。証明は、Kummer 列 $0\to\mu_{\ell^n}\to\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m\to0$ から得られる完全列
$$
0\longrightarrow\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{Z}_\ell\longrightarrow H^2(\bar X,T_\ell(\mu))^G\longrightarrow T_\ell\operatorname{Br}(X)\longrightarrow0
$$
（同書 (5.10)）と、Hochschild–Serre スペクトル系列・Poincaré 双対性による指数の数え上げである。同じ節で Tate は、$\operatorname{Br}(X)(\text{non-}p)$ に歪対称な形式があり、その核が可除元からなることを示し、$\operatorname{Br}(X)(\text{non-}p)$ が有限なら位数は平方数または平方数の 2 倍であると結論している（同書 Theorem 5.1、p. 432）。1〜3 の同値は Tate予想 の定理「曲面の場合の同値（引用）」と同じ内容である。
Tate 予想からの帰結（Milne）
$k$ の標数が $2$ でないとする。次は同値である。
- $\rho(X)$ は $P_2(X,T)$ の逆数根 $q$ の重複度に等しい（Tate 予想 $T^1$）。
- ある素数 $\ell$（$\ell=p$ でもよい）について $\operatorname{Br}(X)(\ell)$ は有限である。
- すべての素数 $\ell$ について $\operatorname{Br}(X)(\ell)$ は有限である。
さらに、これらが成り立てば conj-artin-tate が（$p$ 部分を含めて）成り立つ。
Mil75 Theorem 4.1（p. 525）と Theorem 6.1（p. 528）による（この記事では証明しない）。$p$ 部分には平坦コホモロジーとクリスタリンコホモロジーを使い、$q^{\alpha(X)}$ の因子はクリスタリンコホモロジーの傾き（slope）と Witt ベクトルのコホモロジーの計算から出る（同書 §7）。標数 $2$ の仮定は、当時の de Rham–Witt 複体の文献が $p$ を奇数と仮定していたことによるもので、著者の注釈では後の文献に替えれば外せると述べられている（Mil75c）。同じ注釈によれば、$\operatorname{Br}(X)$ の位数が（有限なら）つねに平方数であることは Liu–Lorenzini–Raynaud が示した。
とくに、予想は次の曲面で成り立つ（標数 $2$ でない場合）。$T^1$ が知られている曲面として、有限体上のアーベル曲面（Tate の定理。Tate予想 の定理「有限体上のアーベル多様体（Tate の定理）」）と K3 曲面（Tate予想 の節「現況（2026年9月時点）」）がある。曲線の積、有理曲面、楕円的な超特異 K3 曲面については、$T^1$ が成り立ち、そこから予想が従うことが Milne の論文以前に示されていた（Mil75 序文、p. 518）。
Birch–Swinnerton-Dyer 予想との関係
$V$ を $k$ 上の幾何的に既約な滑らかな射影曲線、$K=k(V)$ をその関数体、$f\colon X\to V$ を幾何的ファイバーが連結で生成ファイバーが滑らかな全射とし、$A$ を生成ファイバー $X_K$ のヤコビ多様体とする（曲線束）。Artin と Tate は、$A$ についての Birch–Swinnerton-Dyer予想（関数体版）が $X$ についての Artin–Tate 予想と同値であると予想した（Tat66 の予想 (d)、p. 427）。手がかりは、$f$ が切断をもつとき Artin が示した同型 $\operatorname{Br}(X)\cong Ш(A/K)$ である（Tat66 Theorem 3.1、pp. 424–425、Tate–Shafarevich群 の定理「曲線束の Brauer 群と Tate–Shafarevich 群」）。Tate は、予想 (d) を局所的な等式に帰着させると、Néron モデルの特殊ファイバーの $k(v)$ 有理点の個数 $n_v$ がそこに現れると述べている（Tat66 pp. 427–429）。$k(v)$ は有限体なので、Lang の定理により特殊ファイバーの有理点から成分群の有理点への写像は全射であり（Néronモデル の注意「出典とKodaira–Néronの分類」の議論）、$n_v$ は 玉河数 $c_v$ と単位成分の有理点の個数の積に等しい。
$f\colon X\to V$ を、固有・平坦で（0 次で）コホモロジー的に平坦な射とし、生成ファイバー $X_K$ が $K$ 上滑らかで幾何的に既約、次数 $1$ の $K$ 有理サイクルをもつとする。$A=\operatorname{Jac}(X_K)$ とすると、$X$ についての Artin–Tate 予想と $A$ についての Birch–Swinnerton-Dyer 予想は同値である。
Gor79 Theorem 6.1（pp. 191–192）による（この記事では証明しない）。楕円曲線については、Mil75 Theorem 8.1（pp. 531–532）が、標数 $2$ でない関数体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ について、$L(E,s)$ の $s=1$ での零点の位数が $E(K)$ の階数に等しいこと、ある $\ell$ について $Ш(E/K)(\ell)$ が有限であること、$Ш(E/K)$ が有限で Birch–Swinnerton-Dyer の公式が成り立つことの 3 つが同値であることを、thm-artin-tate-milne と、楕円曲面については BSD 予想（の公式）と Artin–Tate 予想が同値であるという既知の事実（Tat66 の予想 (B) と (C)。Mil75 p. 532）から導いている。
未解決の部分
一般の曲面について、Artin–Tate 予想は未解決である。上の定理により、予想は $T^1$（したがって $\operatorname{Br}(X)$ の有限性）と同値であり（標数 $2$ でない場合）、未解決なのはこの有限性そのものである。Tate予想 の節「現況（2026年9月時点）」のとおり、有限体上の曲面の $T^1$ は一般には未解決である。
例と反例
$X=\mathbb{P}^2_k$ とする。$\#X(\mathbb{F}_{q^n})=1+q^n+q^{2n}$ なので
$$
Z(X,t)=\exp\Bigl(\sum_{n\ge1}\frac{1+q^n+q^{2n}}{n}t^n\Bigr)=\frac{1}{(1-t)(1-qt)(1-q^2t)}
$$
である。ゼータ関数の表示と比べると $P_1(T)P_3(T)(1-qT)=P_2(T)$ を得る。$P_2$ の逆数根の絶対値はすべて $q$、$P_1P_3$ の逆数根の絶対値は $q^{1/2}$ か $q^{3/2}$ なので、$P_1P_3$ は逆数根をもたず $P_1=P_3=1$、$P_2(T)=1-qT$ である。
右辺の量を求める。$\operatorname{Pic}(X)=\mathbb{Z}[H]$（$H$ は直線。Har77 Proposition II.6.4、p. 132）で $\operatorname{NS}(\bar X)=\mathbb{Z}[H]$ なので $\operatorname{NS}(X)=\mathbb{Z}[H]$、$\rho=1$、捩れは $0$、$H\cdot H=1$ である。$\operatorname{Br}(\mathbb{P}^2_k)\cong\operatorname{Br}(k)$（Brauer群 の例「射影空間」）で、有限体の Brauer 群は $0$ である（同記事、Wedderburn の小定理）。$\chi(X,\mathcal{O}_X)=1$、$\operatorname{PicVar}(X)=0$ なので $\alpha(X)=0$ である。よって予想の右辺は $1\cdot1/(1\cdot1)\cdot(1-q^{1-s})$ で、左辺 $P_2(X,q^{-s})=1-q^{1-s}$ と（漸近ではなく恒等的に）一致する。
$X=\mathbb{P}^1_k\times\mathbb{P}^1_k$ では $\#X(\mathbb{F}_{q^n})=(1+q^n)^2$ から、同じ議論で $P_1=P_3=1$、$P_2(T)=(1-qT)^2$ を得る。2 つの成分のファイバー $F_1,F_2$ が $\operatorname{NS}(X)=\mathbb{Z}F_1\oplus\mathbb{Z}F_2$ の基底で、$F_1^2=F_2^2=0$、$F_1\cdot F_2=1$ である（Har77 Example V.1.4.3、p. 361）。$\rho=2$ で、$\det(F_i\cdot F_j)=-1$ の符号 $(-1)^{\rho-1}$ は prop-artin-tate-sign と合う。$\alpha(X)=0$ なので、予想はこの場合 $\#\operatorname{Br}(X)=1$ という主張になる。$X$ は有理曲面なので、予想は成り立つ（Mil75 序文、p. 518 が挙げる結果）。
$X=\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_{q^2}}$ を $\mathbb{F}_q$ 上の曲面と見る。$\mathbb{F}_{q^2}$ から $\mathbb{F}_{q^n}$ への埋め込みは $n$ が偶数なら 2 個、奇数なら 0 個なので、$\#X(\mathbb{F}_{q^n})$ は $n$ 偶数で $2(1+q^n+q^{2n})$、奇数で $0$ であり、
$$
Z(X,t)=\frac{1}{(1-t^2)(1-q^2t^2)(1-q^4t^2)}
$$
となる。これは $t=-1$ に極をもつ。ゼータ関数の表示では $P_1P_3$ が分子にあり、分母の極は $t=1$、$t=q^{-2}$ と $P_2$ の零点（絶対値 $q^{-1}$）に限られるので、$t=-1$ の極は現れない。この $X$ は滑らかで射影的だが $\bar X$ が 2 つの成分に分かれ、ゼータ関数の表示が成り立たなくなる（したがって予想の左辺の意味が変わる）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\bar X$ が連結 | $\mathbb{F}_q$ 上の曲面と見た $\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_{q^2}}$（ex-artin-tate-not-geometrically-connected） | ゼータ関数の表示（予想の左辺の形） |
| $D_1,\dots,D_\rho$ が一次独立（prop-artin-tate-forms） | $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ で $D_1=D_2=F_1$ | $[\operatorname{NS}(X):B]$ の有限性と右辺の値（$\det=0$） |
| 基礎体が有限体 | 代数閉体上の $E\times E$（Tate予想 の例「反例：代数閉体の上の楕円曲線の自己積」） | $\rho$ と 2 次コホモロジーの不変部分の次元の一致（予想 (C) の前提となる $T^1$） |
関連項目
- 前提: 合同ゼータ関数, Tate予想, Brauer群, Néron–Severi群, Weil予想
- 比較: Birch–Swinnerton-Dyer予想, Tate–Shafarevich群
- 直後に読む: 玉河数, 曲線束, コホモロジー的Brauer群
- 発展: 半安定還元, K3曲面, Hodge予想
参考文献
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