von Mangoldt関数

1：$\psi(x)$ に $0$ でない寄与をするのは $p^k\le x$（$k\ge1$）となる素数冪で、寄与はそれぞれ $\log p$ である。素数 $p\le x$ を固定すると、$p^k\le x$ となる $k\ge1$ は $k\le\log x/\log p$ を満たすものだから、ちょうど $m_p:=\lfloor\log x/\log p\rfloor$ 個ある。よって $\psi(x)=\sum_{p\le x}m_p\log p$ である。
2：$N:=\lfloor x\rfloor$、$D:=\operatorname{lcm}(1,\dots,N)$ とおく。素数 $p$ について、$D$ を割る $p$ の最大の冪の指数は、$1,\dots,N$ の中の数を割る $p$ の冪の指数の最大値である。$p^{m_p}\le x$ かつ整数なので $p^{m_p}\le N$ であり、$p^{m_p}$ 自身が $1,\dots,N$ の中にある。一方 $p^{m_p+1}>x\ge N$ なので、$N$ 以下の数で $p^{m_p+1}$ で割り切れるものはない。したがって $D=\prod_{p\le N}p^{m_p}$ であり、対数をとって 1 から $\log D=\sum_{p\le x}m_p\log p=\psi(x)$ である。
3：$p^k\le x$ は $p\le x^{1/k}$ と同値である。そこで $\psi(x)$ の和を、指数 $k$ ごとにまとめると
$$ \psi(x)=\sum_{k\ge1}\sum_{p\le x^{1/k}}\log p=\sum_{k\ge1}\theta(x^{1/k}) $$
である。$x^{1/k}<2$ なら内側の和は空で $0$ である。$\square$

1：thm-vm-lcm の 3 により $\psi(x)-\theta(x)=\sum_{k\ge2}\theta(x^{1/k})$ で、各項は $0$ 以上である。$\theta(x^{1/k})\ne0$ となるのは $x^{1/k}\ge2$、すなわち $k\le\log x/\log2$ のときだけなので、$0$ でない項は高々 $\log x/\log2$ 個である。$y\ge1$ について、$y$ 以下の素数は $y$ 個以下で、それぞれ $\log p\le\log y$ なので $\theta(y)\le y\log y$ である。$k\ge2$ なら $y=x^{1/k}\le\sqrt x$、$\log y=\frac1k\log x\le\frac12\log x$ だから、各項は $\sqrt x\cdot\frac12\log x$ 以下である。項の個数を掛けて
$$ \psi(x)-\theta(x)\le\frac{\log x}{\log2}\cdot\frac{\sqrt x\log x}{2}=\frac{\sqrt x\,(\log x)^2}{2\log2} $$
を得る。$x$ で割ると右辺は $(\log x)^2/(2\log2\sqrt x)$ で、$x\to\infty$ で $0$ に近づく（$t=\log x$ とおけば $t^2e^{-t/2}\to0$）。
2：1 より $\psi(x)/x-\theta(x)/x\to0$ なので、$\psi(x)/x\to1$ と $\theta(x)/x\to1$ は同値である。$\theta(x)\sim x$ と $\pi(x)\sim x/\log x$ の同値は 素数定理 の記事の命題「素数定理の Chebyshev の関数による言い換え」である。$\square$

整数 $a,b\ge0$ について $J(a,b):=\int_0^1t^a(1-t)^b\,dt$ とおく。$b\ge1$ なら部分積分により
$$ J(a,b)=\left[\frac{t^{a+1}}{a+1}(1-t)^b\right]_0^1+\frac{b}{a+1}\int_0^1t^{a+1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{b}{a+1}J(a+1,b-1) $$
である（境界の項は $t=0$ でも $t=1$ でも $0$）。これを $b$ 回くり返すと、$J(a+b,0)=1/(a+b+1)$ なので
$$ J(a,b)=\frac{b!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+b)}\cdot\frac1{a+b+1}=\frac{a!\,b!}{(a+b+1)!} $$
である。$a=m-1$、$b=n-m$ とおくと
$$ J(m-1,n-m)=\frac{(m-1)!\,(n-m)!}{n!}=\frac1{m\binom nm} $$
である。他方、二項定理 で $(1-t)^{n-m}$ を展開して項ごとに積分すると
$$ J(m-1,n-m)=\sum_{r=0}^{n-m}(-1)^r\binom{n-m}r\int_0^1t^{m-1+r}\,dt=\sum_{r=0}^{n-m}(-1)^r\binom{n-m}r\frac1{m+r} $$
である。分母 $m+r$ は $m$ 以上 $n$ 以下の整数なので $D_n$ を割り切り、各項に $D_n$ を掛けると整数になる。したがって $D_n\,J(m-1,n-m)=D_n/\bigl(m\binom nm\bigr)$ は整数であり、$m\binom nm$ は $D_n$ を割り切る。$\square$

1：thm-vm-lcm の 1 の各項は $\lfloor\log x/\log p\rfloor\log p\le\log x$ で、項は $\pi(x)$ 個なので $\psi(x)\le\pi(x)\log x$ である。$x\ge2$ なら 素数定理 の記事の定理「Chebyshevの評価」の 2 により $\pi(x)<7x/\log x$ なので $\psi(x)<7x$ である。$1\le x<2$ では $\psi(x)=0<7x$ である。
2：$D_n:=\operatorname{lcm}(1,\dots,n)$ とし、$k\ge1$ とする。lem-vm-beta を $n=2k+1$、$m=k+1$ に使うと、
$$ (k+1)\binom{2k+1}{k+1}=\frac{(2k+1)!}{k!\,k!}=(2k+1)\binom{2k}k $$
が $D_{2k+1}$ を割り切る。また $n=2k$、$m=k$ に使うと $k\binom{2k}k$ が $D_{2k}$ を割り切り、$D_{2k}$ は $D_{2k+1}$ を割り切る。$N:=\binom{2k}k$ とおくと、$(2k+1)N$ と $kN$ がともに $D_{2k+1}$ を割り切るので、それらの最小公倍数 $N\operatorname{lcm}(2k+1,k)$ も $D_{2k+1}$ を割り切る。$\gcd(k,2k+1)=\gcd(k,1)=1$ だから $\operatorname{lcm}(2k+1,k)=k(2k+1)$ で、
$$ D_{2k+1}\ge k(2k+1)\binom{2k}k\ge k\cdot4^k $$
である。最後の不等式は 素数定理 の記事の補題「中央二項係数の大きさと素因数」の 1 の $4^k\le(2k+1)\binom{2k}k$ である。
$n$ が奇数 $n=2k+1\ge5$（$k\ge2$）なら $D_n\ge k\cdot4^k\ge2\cdot4^k=2^n$ である。$n$ が偶数 $n=2k+2\ge10$（$k\ge4$）なら $D_n\ge D_{2k+1}\ge k\cdot4^k\ge4^{k+1}=2^n$ である。残る $n=8$ では $D_8=840\ge256=2^8$ である。よって $n\ge7$ のすべてで $D_n\ge2^n$ である。最後に、$x\ge7$ なら $\lfloor x\rfloor\ge7$ で、thm-vm-lcm の 2 により $\psi(x)=\log D_{\lfloor x\rfloor}\ge\lfloor x\rfloor\log2>(x-1)\log2$ である。$\square$

段 1（$\log\lfloor x\rfloor!$ の大きさ）． $N:=\lfloor x\rfloor\ge1$、$T(x):=\sum_{m\le x}\log m=\log N!$、$F(t):=t\log t-t$ とおく。$\log$ は増加関数なので、$m\ge2$ について $\int_{m-1}^m\log t\,dt\le\log m\le\int_m^{m+1}\log t\,dt$ である。右の不等式は $m=1$ でも $\log1=0\le\int_1^2\log t\,dt$ として成り立つ。左の不等式を $m=2,\dots,N$ で、右の不等式を $m=1,\dots,N-1$ で足すと
$$ \int_1^N\log t\,dt\le T(x)\le\int_1^N\log t\,dt+\log N $$
である（$\log1=0$ を使った）。$\int_1^N\log t\,dt=F(N)+1$ なので $T(x)=F(N)+1+\eta$、$0\le\eta\le\log N$ と書ける。また $F'(t)=\log t$ だから $0\le F(x)-F(N)=\int_N^x\log t\,dt\le(x-N)\log x\le\log x$ である。よって
$$ T(x)-F(x)=1+\eta-\bigl(F(x)-F(N)\bigr) $$
は $1-\log x$ 以上 $1+\log x$ 以下であり、$\lvert T(x)-F(x)\rvert\le1+\log x$ である。
段 2（$\Lambda$ による表示）． 約数にわたる和と Möbius 関数による表示の節で示したとおり $T(x)=\sum_{d\le x}\Lambda(d)\lfloor x/d\rfloor$ である。$\lfloor x/d\rfloor=x/d-\{x/d\}$（$0\le\{x/d\}<1$）と書き、$S(x):=\sum_{d\le x}\Lambda(d)/d$、$R(x):=\sum_{d\le x}\Lambda(d)\{x/d\}$ とおくと
$$ T(x)=xS(x)-R(x),\qquad0\le R(x)\le\psi(x)<7x $$
である（最後は thm-vm-chebyshev の 1）。
段 3（まとめ）． 段 1 と段 2 から
$$ S(x)-\log x=\frac{T(x)-F(x)}x-1+\frac{R(x)}x $$
である。$\log x\le x-1$ なので $\lvert T(x)-F(x)\rvert/x\le(1+\log x)/x\le1$ であり、$0\le R(x)/x<7$ である。したがって $-1-1+0\le S(x)-\log x<1-1+7$、すなわち $-2\le S(x)-\log x<7$ である。$\square$

段 1（絶対収束）． $\sigma_0>1$ とし、$\varepsilon:=(\sigma_0-1)/2>0$ とおく。$y>0$ について $\log y\le y-1< y$ なので、$y=n^\varepsilon$ として $\varepsilon\log n< n^\varepsilon$ である。よって $\operatorname{Re}s\ge\sigma_0$ なら
$$ 0\le\Lambda(n)\lvert n^{-s}\rvert\le(\log n)\,n^{-\sigma_0}< \frac1\varepsilon\,n^{-(1+\varepsilon)} $$
であり、$\sum n^{-(1+\varepsilon)}$ は収束するので、2 つの級数は半平面 $\operatorname{Re}s\ge\sigma_0$ で絶対かつ一様に収束する。各項は $s$ の正則関数なので、Riemannゼータ関数 の記事の補題「正則関数の一様極限」により、和 $G(s):=\sum\Lambda(n)n^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>1$ で正則である。
段 2（積の等式）． 数論的関数 の記事の定理「絶対収束する Dirichlet 級数の積」を、係数 $\mathbf 1$ と $\Lambda$ の 2 つの絶対収束する級数に使うと、積は係数 $\mathbf 1*\Lambda$ の Dirichlet 級数に等しい。$(\mathbf 1*\Lambda)(n)=\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n$ なので、1 つ目の等式を得る。
段 3（実数の $s$ での微分）． $1< a< b$ とし、閉区間 $[a,b]$ 上の関数 $f_N(s):=\sum_{n\le N}n^{-s}$ を考える。$f_N'(s)=-\sum_{n\le N}(\log n)n^{-s}$ であり、$[a,b]$ 上で $\lvert(\log n)n^{-s}\rvert\le(\log n)n^{-a}$ で $\sum(\log n)n^{-a}$ は収束するから、$f_N'$ は $[a,b]$ 上で $-\sum_n(\log n)n^{-s}$ に一様収束する。$f_N(a)\to\zeta(a)$ でもあるので、一様収束する導関数の列についての定理（Leb26a Theorem 6.2.10、p. 239）により、$[a,b]$ 上で $\zeta'(s)=-\sum_n(\log n)n^{-s}$ である。$a,b$ は任意なので、これはすべての実数 $s>1$ で成り立つ。実数 $s>1$ では $\zeta(s)\ge1>0$ なので、段 2 の等式を $\zeta(s)$ で割って $-\zeta'(s)/\zeta(s)=G(s)$ を得る。
段 4（複素数の $s$ への延長）． Riemannゼータ関数 の記事の定理「級数の収束」と定理「Euler 積」により、$\zeta$ は $\operatorname{Re}s>1$ で正則で $0$ にならないので、$-\zeta'/\zeta$ はそこで正則である。$G$ も段 1 により正則である。2 つの正則関数は連結な開集合 $\{\operatorname{Re}s>1\}$ の中の半直線 $(1,\infty)$ 上で一致し、この半直線は集積点をもつので、一致の定理 により $\operatorname{Re}s>1$ 全体で一致する。$\square$