完全距離化可能空間

各 $X_n$ の完備な適合距離 $d_n$ をとり、$\delta_n:=\min\{d_n,1\}$、$D(x,y):=\sum_n 2^{-n}\delta_n(x_n,y_n)$ とおく。$D$ は直積位相に適合する距離である（距離化可能空間 の定理「距離化可能空間の可算積」）。$\delta_n$ と $d_n$ は $1$ 未満の距離で一致するので、$\delta_n$ についての Cauchy 列は $d_n$ についても Cauchy で、$\delta_n$ も完備である。
$(x^{(k)})_k$ を $D$ についての Cauchy 列とする。$\delta_n(x^{(k)}_n,x^{(l)}_n)\le 2^nD(x^{(k)},x^{(l)})$ なので、各成分 $(x^{(k)}_n)_k$ は $\delta_n$ について Cauchy であり、極限 $x_n\in X_n$ をもつ。$x:=(x_n)_n$ とおく。$\varepsilon>0$ に対し $2^{-N}<\varepsilon/2$ となる $N$ をとり、$k$ を大きくとって $n\le N$ の各成分で $\delta_n(x^{(k)}_n,x_n)<\varepsilon/2$ とすれば、
$$ D(x^{(k)},x)\le\sum_{n\le N}2^{-n}\cdot\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{n>N}2^{-n}<\frac{\varepsilon}{2}+2^{-N}<\varepsilon $$
となる。よって $x^{(k)}\to x$ であり、$D$ は完備である。$\square$

$U=X$ なら明らかなので $U\ne X$ とし、$X$ の完備な適合距離 $d$ をとる。$F:=X\setminus U$ は空でない閉集合なので、$\rho(x):=d(x,F)$ は連続で、$U$ の上で正である。$\varphi:=1/\rho\colon U\to\mathbb{R}$ も連続である。
$$ f\colon U\to X\times\mathbb{R},\qquad f(x):=(x,\varphi(x)) $$
は連続な単射で、逆写像 $f(U)\to U$ は第 1 成分への射影の制限なので連続である。よって $f$ は埋め込みである。
$f(U)$ が $X\times\mathbb{R}$ の閉集合であることを示す。$f(x_k)=(x_k,\varphi(x_k))\to(x,t)$ とする。$\varphi(x_k)\to t$ なので $\varphi(x_k)$ は有界であり、ある $c>0$ について $\rho(x_k)\ge c$ がすべての $k$ で成り立つ。$\rho$ は連続なので $\rho(x)\ge c>0$、すなわち $x\in U$ であり、$\varphi$ の連続性から $t=\varphi(x)$ である。よって $(x,t)=f(x)\in f(U)$ である。
$X\times\mathbb{R}$ は prop-cms-product（有限積の場合）により完全距離化可能で、その閉部分空間 $f(U)$ も完全距離化可能である（ex-cms-basic の 3）。$U$ は $f(U)$ と同相なので完全距離化可能である。$\square$

$A=\bigcap_{n\ge1}U_n$（各 $U_n$ は $X$ の開集合）と書く。lem-cms-open により各 $U_n$ は完全距離化可能であり、prop-cms-product により $P:=\prod_n U_n$ も完全距離化可能である。対角写像
$$ \Delta\colon A\to P,\qquad \Delta(a):=(a,a,a,\dots) $$
は連続な単射で、逆写像は第 1 成分への射影の制限なので連続である。よって $\Delta$ は埋め込みである。
$\Delta(A)$ が $P$ の閉集合であることを示す。$\Delta(a_k)\to u=(u_1,u_2,\dots)\in P$ とすると、各成分で $a_k\to u_n$（$X$ の中で）となる。$X$ は Hausdorff なので極限は一意であり、$u_1=u_2=\cdots=:u_0$ である。$u_0=u_n\in U_n$ がすべての $n$ で成り立つので $u_0\in A$、$u=\Delta(u_0)\in\Delta(A)$ である。
よって $A$ は完全距離化可能空間 $P$ の閉部分空間 $\Delta(A)$ と同相であり、完全距離化可能である。$\square$

$X$ の適合距離を $d$、$M$ の部分空間位相に適合する完備な距離を $\rho$ とし、$\overline M$ を $X$ での閉包とする。$n\ge1$ について
$$ O_n:=\{x\in\overline M\mid x\text{ の }X\text{ での開近傍 }V\text{ で } \operatorname{diam}_\rho(V\cap M)<1/n\text{ となるものがある}\} $$
とおく。$O_n$ は $\overline M$ の開集合である（上の $V$ の点はすべて $O_n$ に入る）。
段 1：$M\subset O_n$。$m\in M$ の $\rho$-開球 $B_\rho(m,\tfrac1{3n})$ は $M$ の開集合なので、$X$ の開集合 $W$ により $W\cap M=B_\rho(m,\tfrac1{3n})$ と書ける。$V:=W$ とすれば $\operatorname{diam}_\rho(V\cap M)\le\tfrac2{3n}<\tfrac1n$ である。
段 2：$\bigcap_nO_n\subset M$。$x\in\bigcap_nO_n$ をとり、$O_n$ の定義の開近傍 $V_n$ を選ぶ。$W_n:=V_1\cap\dots\cap V_n\cap B_d(x,\tfrac1n)$ は $x$ の開近傍で、$x\in\overline M$ なので点 $m_n\in W_n\cap M$ がとれる。$k\ge n$ なら $m_k,m_n\in V_n\cap M$ なので $\rho(m_k,m_n)<\tfrac1n$ であり、$(m_n)$ は $\rho$ について Cauchy 列である。$\rho$ は完備なので $\rho$-極限 $m\in M$ をもつ。$\rho$ は $M$ の部分空間位相を定めるので、$X$ の中でも $m_n\to m$ である。一方 $d(m_n,x)<\tfrac1n$ なので $m_n\to x$ である。$X$ は Hausdorff なので $x=m\in M$ である。
段 3：以上より $M=\bigcap_nO_n$ である。$O_n=G_n\cap\overline M$（$G_n$ は $X$ の開集合）と書け、距離空間の閉集合 $\overline M$ は $G_\delta$-集合である（G_δ-集合 の命題「距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合」）。よって $M=\bigcap_nG_n\cap\overline M$ は $G_\delta$-集合である。$\square$

$\Leftarrow$ は thm-cms-gdelta、$\Rightarrow$ は thm-cms-converse（$X$ は距離化可能）による。$\square$

稠密性と開集合は位相だけで決まるので、完備な適合距離を 1 つとって Baireのカテゴリー定理 の定理「Baire のカテゴリー定理」の 1 を当てればよい。$\square$

1・2 は上に述べたとおりである。3：可分距離化可能空間は第 2 可算な $T_3$ 空間なので $Q$ に埋め込める（Tychonoffの埋め込み定理 の定理「Urysohnの埋め込み定理」）。埋め込みの像を $X'$ とする。$Q$ はコンパクト距離空間なので完備であり、完全距離化可能である。$X$ が Polish なら $X'$ も完全距離化可能なので、thm-cms-converse により $X'$ は $Q$ の $G_\delta$-集合である。逆に $X'$ が $Q$ の $G_\delta$-集合なら thm-cms-gdelta により完全距離化可能であり、$X$ は可分なので Polish である。$\square$