常微分方程式

(i)：$y$ の各成分は微分可能で、$y_j'=x^{(j)}=y_{j+1}$（$j< k$）、$y_k'=x^{(k)}=f(t,y_1,\dots,y_k)$ である。これは $y'=G(t,y)$ にほかならない。$(t,y(t))\in U$ は解の定義の条件そのものである。

(ii)：$j$ についての帰納法で、$y_1$ は $j$ 回微分可能で $y_1^{(j-1)}=y_j$（$1\le j\le k$）となる：$j=1$ は自明であり、$y_1^{(j-1)}=y_j$ で $y_j$ が微分可能なら $y_1^{(j)}=y_j'=y_{j+1}$ である。最後に $y_1^{(k)}=\bigl(y_1^{(k-1)}\bigr)'=y_k'=f(t,y_1,\dots,y_k)=f\bigl(t,x,\dots,x^{(k-1)}\bigr)$ である。$\square$

$\beta=0$ なら仮定そのものである。$\beta>0$ とする。$\psi$ は連続なので $\Phi'=\psi$ であり（微分積分学の基本定理）、仮定は $\Phi'(t)\le\alpha+\beta\Phi(t)$ と書ける。そこで

$$\frac{d}{dt}\Bigl(e^{-\beta(t-t_0)}\Phi(t)\Bigr)=e^{-\beta(t-t_0)}\bigl(\Phi'(t)-\beta\Phi(t)\bigr)\le\alpha e^{-\beta(t-t_0)}$$

であり、$t_0$ から $t$ まで積分すると（$\Phi(t_0)=0$）$e^{-\beta(t-t_0)}\Phi(t)\le\frac\alpha\beta\bigl(1-e^{-\beta(t-t_0)}\bigr)$、すなわち $\beta\Phi(t)\le\alpha\bigl(e^{\beta(t-t_0)}-1\bigr)$ となる。仮定に戻すと $\psi(t)\le\alpha+\beta\Phi(t)\le\alpha e^{\beta(t-t_0)}$ である。$\square$

$\mathcal{S}$ を、この初期値問題の解（開区間上で定義されたもの）全体とする。thm-ode-picard から $\mathcal{S}$ は空でない。$x\in\mathcal{S}$ の定義域を $I_x$ と書き、$I:=\bigcup_{x\in\mathcal{S}}I_x$ とおく。各 $I_x$ は $t_0$ を含む開区間なので、$I$ も $t_0$ を含む開区間である。

$t\in I$ に対し、$t\in I_x$ となる $x\in\mathcal{S}$ をとって $x_{\max}(t):=x(t)$ と定める。cor-ode-uniqueness から、2 つの解 $x,y\in\mathcal{S}$ は $I_x\cap I_y$ の上で一致するので、この値は $x$ の選び方によらない。各 $t\in I$ の近くでは $x_{\max}$ はある解 $x\in\mathcal{S}$ と一致する（$I_x$ は開区間なので $t$ の近傍を含む）から、$x_{\max}$ は $I$ 上の解である。作り方から、すべての $x\in\mathcal{S}$ は $x_{\max}$ の制限であり、$x_{\max}$ の延長もまた $\mathcal{S}$ に属するので定義域は $I$ に含まれる。よって $x_{\max}$ は最大解である。最大解 $\tilde x$ がもう 1 つあれば、$\tilde x\in\mathcal{S}$ なので $\tilde x$ は $x_{\max}$ の制限であり、$\tilde x$ の最大性から $\tilde x=x_{\max}$ である。$\square$

そうでないとすると、ある $\gamma\in(0,\delta)$ と $\tau_m\to T_+$ があって $\lvert x(\tau_m)-y\rvert\ge\gamma$ となる。$t_m\to T_+$、$x(t_m)\to y$、$\tau_m\to T_+$ なので、番号を取り直して、すべての $m$ で $t_m>T_+-\delta$、$\lvert x(t_m)-y\rvert<\gamma$、$t_m<\tau_m$ としてよい。中間値の定理（$t\mapsto\lvert x(t)-y\rvert$ に使う）から、$t_m$ より後で初めて $\lvert x(t)-y\rvert=\gamma$ となる時刻 $\sigma_m\in(t_m,\tau_m]$ があり、$[t_m,\sigma_m]$ の上では $(t,x(t))\in V$ である。lem-ode-integral から

$$\gamma=\lvert x(\sigma_m)-y\rvert\le\lvert x(\sigma_m)-x(t_m)\rvert+\lvert x(t_m)-y\rvert\le\int_{t_m}^{\sigma_m}\lvert f(s,x(s))\rvert\,ds+\lvert x(t_m)-y\rvert\le M(\sigma_m-t_m)+\lvert x(t_m)-y\rvert$$

であり、右辺は $m\to\infty$ で $0$ に近づく。これは $\gamma>0$ に反する。（ベクトル値の積分の絶対値の評価 $\bigl\lvert\int g\bigr\rvert\le\int\lvert g\rvert$ は、$\int g$ の方向の単位ベクトル $e$ との内積 $e\cdot\int g=\int e\cdot g\le\int\lvert g\rvert$ から従う。）

(i)：$\|A^k\|_{\mathrm{op}}\le\|A\|_{\mathrm{op}}^k$ なので $\lvert(A^k)_{ij}\rvert/k!\le\|A\|_{\mathrm{op}}^k/k!$ であり、右辺の和 $e^{\|A\|_{\mathrm{op}}}$ と比べて各成分は絶対収束する。部分和の $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$ は $\sum_{k\le m}\|A\|_{\mathrm{op}}^k/k!$ 以下で、$\lvert Bu\rvert$ は $B$ の成分について連続なので、極限でも $\|e^A\|_{\mathrm{op}}\le e^{\|A\|_{\mathrm{op}}}$ である。

(ii)：$e^{tA}$ の $(i,j)$ 成分は冪級数 $\sum_kc_kt^k$、$c_k:=(A^k)_{ij}/k!$ である。$\lvert t\rvert\le R$ で、項別に微分した級数 $\sum_{k\ge1}kc_kt^{k-1}$ の各項は $\|A\|_{\mathrm{op}}^kR^{k-1}/(k-1)!$ 以下なので一様収束し（一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」）、一様収束 の定理「一様収束と微分の交換」から項別に微分できる。よって $\frac{d}{dt}e^{tA}=\sum_{k\ge1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^k$ であり、これは $A\sum_j\frac{t^j}{j!}A^j=Ae^{tA}$ にも、$e^{tA}A$ にも等しい（有限和で $A$ を外に出してから極限をとる）。

(iii)：$s$ を固定し、$X(t):=e^{(s+t)A}$、$Y(t):=e^{sA}e^{tA}$ とおく。(ii) と合成関数の微分から $X'=AX$、$Y'=e^{sA}Ae^{tA}=Ae^{sA}e^{tA}=AY$（$e^{sA}$ と $A$ は可換）であり、$X(0)=Y(0)=e^{sA}$ である。$X$、$Y$ の各列は同じ初期値をもつ $x'=Ax$ の解なので、cor-ode-uniqueness から $X=Y$ である。$s=-t$ とすれば $e^{-tA}e^{tA}=e^{0}=I$ である。

(iv)：$AB=BA$ なら $B$ は $A^k$ と可換なので $e^{tA}B=Be^{tA}$ である。$Z(t):=e^{tA}e^{tB}$ は積の微分法から $Z'=Ae^{tA}e^{tB}+e^{tA}Be^{tB}=(A+B)Z$、$Z(0)=I$ を満たし、$e^{t(A+B)}$ も同じ初期値問題を満たすので、両者は一致する。$t=1$ とすればよい。後半は $(PAP^{-1})^k=PA^kP^{-1}$ から部分和が $P(\cdot)P^{-1}$ で移り合い、極限でも等しい。$\square$

prop-ode-matrix-exp の性質 (iii) から $x(t)=e^{tA}\Bigl(e^{-t_0A}x_0+\int_{t_0}^te^{-sA}b(s)\,ds\Bigr)$ と書ける。括弧の中は 微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」（成分ごと）により微分可能で、導関数は $e^{-tA}b(t)$ である。積の微分法から $x'(t)=Ae^{tA}(\cdots)+e^{tA}e^{-tA}b(t)=Ax(t)+b(t)$ であり、$x(t_0)=x_0$ である。