Bevan点
概要
Bevan点（Bevan point）とは、三角形 $ABC$ の 3 つの傍心を頂点とする三角形（傍心三角形）の外心 $V$ である。$A,B,C$ は傍心三角形の垂線の足で、内心 $I$ は傍心三角形の垂心なので、九点円の定理により $ABC$ の外接円は傍心三角形の九点円になる。したがって外心 $O$ は線分 $IV$ の中点で、傍心三角形の外接円（Bevan 円）の半径は $ABC$ の外接円の半径 $R$ の 2 倍である。Euler の三角形の定理から、内接円の半径を $r$ として $IV=2\sqrt{R^2-2Rr}$ となる。$V$ は Nagel 点と de Longchamps 点を結ぶ線分の中点でもある。
前提知識: 三角形の内心と傍心, 九点円, Eulerの三角形の定理, de Longchamps点
高校での出発点：3 つの傍心を通る円
三角形 $ABC$ には、内接円のほかに 3 つの傍接円がある。その中心である 3 つの傍心 $I_A$、$I_B$、$I_C$ は三角形をつくる（三角形の内心と傍心）。この三角形の外接円を描くと、その中心と半径は、もとの三角形とどんな関係にあるだろうか。まず座標で計算する。点とその位置ベクトルを同じ文字で表す。
$A(0,3)$、$B(4,0)$、$C(0,0)$ をとる。辺の長さは $a=BC=4$、$b=CA=3$、$c=AB=5$ である。三角形の内心と傍心 の例「内心と傍心を公式で求める」のとおり、内心と傍心は
$$
I(1,1),\qquad I_A(3,-3),\qquad I_B(-2,2),\qquad I_C(6,6)
$$
である。
(1) 3 つの傍心から等距離の点 $V(x,y)$ を求める。$VI_B^2=VI_C^2$ は
$$
(x+2)^2+(y-2)^2=(x-6)^2+(y-6)^2
$$
で、展開して整理すると $16x+8y=64$、つまり $2x+y=8$ である。$VI_A^2=VI_B^2$ は
$$
(x-3)^2+(y+3)^2=(x+2)^2+(y-2)^2
$$
で、整理すると $-10x+10y=-10$、つまり $y=x-1$ である。連立すると $3x-1=8$ より $x=3$、$y=2$ で、$V(3,2)$ である。半径は $VI_A=\sqrt{0^2+5^2}=5$ である。
(2) もとの三角形の外接円。$C$ が直角なので、外心は斜辺 $AB$ の中点 $O\left(2,\dfrac32\right)$ で、外接円の半径は $R=\dfrac52$ である。
(3) 見比べると、$\dfrac{I+V}2=\left(\dfrac{1+3}2,\dfrac{1+2}2\right)=\left(2,\dfrac32\right)=O$ で、外心 $O$ は内心 $I$ と $V$ の中点になっている。しかも半径 $5$ は $2R$ に等しい。
$A(-5,12)$、$B(0,0)$、$C(4,0)$ をとる。$a=BC=4$、$b=CA=\sqrt{81+144}=15$、$c=AB=13$ で、$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-5,12)\cdot(4,0)=-20<0$ なので $B$ の角は鈍角である。内心と傍心の公式から
$$
I\left(1,\frac32\right),\qquad I_A(3,-2),\qquad I_B(16,24),\qquad I_C(-12,8)
$$
である。外心は $O\left(2,\dfrac{63}8\right)$、$R=\dfrac{65}8$ である。$V=2O-I=\left(3,\dfrac{57}4\right)$ とおくと、$V$ から 3 つの傍心までの距離はどれも $\dfrac{65}4=2R$ になる。
内心・傍心・外心と距離の計算を開く
内心と傍心は 三角形の内心と傍心 の定理「3 辺の直線から等距離の 4 点」の公式による。$I=\dfrac{4A+15B+13C}{32}=\dfrac{(-20+52,\ 48)}{32}=\left(1,\dfrac32\right)$、$I_A=\dfrac{-4A+15B+13C}{24}=\dfrac{(20+52,\ -48)}{24}=(3,-2)$、$I_B=\dfrac{4A-15B+13C}{2}=\dfrac{(-20+52,\ 48)}{2}=(16,24)$、$I_C=\dfrac{4A+15B-13C}{6}=\dfrac{(-20-52,\ 48)}{6}=(-12,8)$ である。
外心は辺 $BC$ の垂直二等分線 $x=2$ の上にあり、$O(2,y)$ で $OB^2=OA^2$ から $4+y^2=49+(y-12)^2$、$24y=189$、$y=\dfrac{63}8$ である。$R^2=4+\dfrac{3969}{64}=\dfrac{4225}{64}$、$R=\dfrac{65}8$ である。
$V\left(3,\dfrac{57}4\right)$ から $I_A(3,-2)$ までは $\dfrac{57}4+2=\dfrac{65}4$、$I_B(16,24)$ までは $\sqrt{13^2+\left(\dfrac{39}4\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2704+1521}{16}}=\dfrac{65}4$、$I_C(-12,8)$ までは $\sqrt{15^2+\left(\dfrac{25}4\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3600+625}{16}}=\dfrac{65}4$ である。
直角三角形 ABC（黒）とその外接円（青）、3 つの傍心でできる三角形（緑の破線）とその外接円（赤）。内心 I、外心 O、赤い円の中心 V が一直線に並び、O は I と V の中点である
鈍角三角形で同じものを描いた図。赤い円の半径は青い円の半径のちょうど 2 倍で、O は線分 IV の中点である
どちらの三角形でも、3 つの傍心を通る円の中心 $V$ は $V=2O-I$ で、半径は外接円の半径の 2 倍だった。図 1・図 2 の灰色の点線は、傍心から頂点を通って向かいの辺に下ろした垂線で、内心 $I$ で交わっている。この記事で答える問いは次の 3 つである。
- $V=2O-I$ と半径 $2R$ は、いつも成り立つか。なぜか。→ thm-bev-main
- 内心と $V$ の距離は何で決まるか。→ cor-bev-dist
- $V$ は、ほかの有名な点とどう関係するか。→ prop-bev-nagel
高校の計算 この記事の言葉 使う道具 3 つの傍心を頂点とする三角形 傍心三角形 内心と傍心の公式 3 つの傍心から等距離の点 $V$ Bevan 点 外接円の中心 傍心から頂点を通る 3 本の垂線が内心で交わる 内心は傍心三角形の垂心 内角と外角の二等分線は垂直 $O$ が $IV$ の中点、半径 $2R$ 外接円は傍心三角形の九点円 九点円の定理
言葉の準備：傍心三角形と Bevan 点
以下、三角形 $ABC$ の辺の長さを $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$、周の長さの半分を $s$、外心を $O$、外接円を $\Gamma$、その半径を $R$、内心を $I$、内接円の半径を $r$ とする。頂点の角の大きさも $A$、$B$、$C$ で表す。
三角形 $ABC$ の 3 つの傍心 $I_A$、$I_B$、$I_C$ を頂点とする三角形 $I_AI_BI_C$ を、三角形 $ABC$ の 傍心三角形 という。傍心三角形の外心 $V$ を三角形 $ABC$ の Bevan 点 といい、傍心三角形の外接円を Bevan 円 という。
傍心三角形が本当に三角形になる（3 つの傍心が一直線上にない）ことと、次の 3 つの性質は、三角形の内心と傍心 の命題「内心は傍心の三角形の垂心」で示されている。
(R1) 頂点 $A$、$B$、$C$ は、それぞれ辺 $I_BI_C$、$I_CI_A$、$I_AI_B$ の上（線分の上）にある。
(R2) 直線 $I_AA$ は直線 $I_BI_C$ に垂直で、$I_BB\perp I_CI_A$、$I_CC\perp I_AI_B$ も成り立つ。
(R3) 内心 $I$ は傍心三角形 $I_AI_BI_C$ の垂心である。
理由は、$A$ を通る内角の二等分線の上に $I$ と $I_A$ が、外角の二等分線の上に $I_B$ と $I_C$ があり、内角と外角の二等分線が垂直だからである。条件 (ii) は、$A$、$B$、$C$ が傍心三角形の 垂線の足 であることを言っている。つまり三角形 $ABC$ は、傍心三角形の垂線の足を結んだ三角形（垂足三角形）である。
傍心三角形の角は、もとの三角形の角で書ける。
傍心三角形 $I_AI_BI_C$ の角は
$$
\angle I_BI_AI_C=90^\circ-\frac A2,\qquad \angle I_CI_BI_A=90^\circ-\frac B2,\qquad \angle I_AI_CI_B=90^\circ-\frac C2
$$
である。とくに傍心三角形はつねに鋭角三角形である。
方針：$B$ と $C$ は傍心三角形の辺の上にあるので、傍心三角形の $I_A$ での角は、三角形 $I_ABC$ の $I_A$ での角と同じである。三角形 $I_ABC$ の $B$、$C$ での角は外角の二等分線から分かる。
段 1（三角形 $I_ABC$ の角）。$I_A$ は $B$ の外角の二等分線の上にあり、$\angle I_ABC=90^\circ-\dfrac B2$、同じく $\angle I_ACB=90^\circ-\dfrac C2$ である（三角形の内心と傍心 の定義「内心・傍心・内接円・傍接円」の後の段落）。三角形の内角の和から
$$
\angle BI_AC=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right)-\left(90^\circ-\frac C2\right)=\frac{B+C}2=\frac{180^\circ-A}2=90^\circ-\frac A2
$$
である。
段 2（傍心三角形の角）。条件 (i) により $C$ は線分 $I_AI_B$ の上、$B$ は線分 $I_CI_A$ の上にある。よって半直線 $I_AC$ は半直線 $I_AI_B$ と、半直線 $I_AB$ は半直線 $I_AI_C$ と一致し、$\angle I_BI_AI_C=\angle CI_AB=90^\circ-\dfrac A2$ である。$I_B$、$I_C$ での角も同じである。
段 3（鋭角）。$0^\circ< A<180^\circ$ なので $0^\circ<90^\circ-\dfrac A2<90^\circ$ である。3 つの角がどれも鋭角なので、傍心三角形は鋭角三角形である。$\square$
ex-bev-start の三角形では $C=90^\circ$ なので、$I_C$ での角は $90^\circ-45^\circ=45^\circ$ のはずである。$\overrightarrow{I_CI_A}=(3-6,\,-3-6)=(-3,-9)$、$\overrightarrow{I_CI_B}=(-2-6,\,2-6)=(-8,-4)$ から
$$
\cos\angle I_AI_CI_B=\frac{(-3)(-8)+(-9)(-4)}{\sqrt{90}\,\sqrt{80}}=\frac{60}{\sqrt{7200}}=\frac{60}{60\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}
$$
で、確かに $45^\circ$ である。
傍心三角形が鋭角三角形なので、その垂心 $I$ は傍心三角形の内部にあり、垂線の足 $A$、$B$、$C$ は辺（線分）の上にある。これは条件 (i) と合っている。
主定理：外接円は傍心三角形の九点円
九点円 の定理によれば、どんな三角形でも、3 辺の中点、3 本の垂線の足、垂心と頂点を結ぶ線分の中点の 9 点は、外心と垂心を結ぶ線分の中点を中心とし、外接円の半径の半分を半径とする 1 つの円（九点円）の上にある。これを傍心三角形に当てはめる。
三角形 $ABC$ の外接円 $\Gamma$ は、傍心三角形 $I_AI_BI_C$ の九点円である。したがって、Bevan 点を $V$ とすると
$$
O=\frac{I+V}2,\qquad\text{つまり}\qquad \overrightarrow{OV}=-\overrightarrow{OI}
$$
であり、Bevan 円（傍心三角形の外接円）の半径は $2R$ である。
方針：$A,B,C$ は傍心三角形の垂線の足なので、傍心三角形の九点円は $A,B,C$ を通る。3 点を通る円は 1 つしかないので、それは $\Gamma$ である。あとは九点円の中心と半径の性質を読みかえる。
段 1（垂線の足）。条件 (ii) により、$A$ は傍心 $I_A$ から直線 $I_BI_C$ に下ろした垂線の足である。同じく $B$、$C$ は $I_B$、$I_C$ からの垂線の足である。
段 2（九点円は $A,B,C$ を通る）。九点円 の定理「九点円の定理」を傍心三角形に使うと、傍心三角形の九点円は 3 本の垂線の足 $A$、$B$、$C$ を通る。
段 3（同じ円）。$A$、$B$、$C$ は一直線上にないので、3 点を通る円はただ 1 つである（中心は 2 本の垂直二等分線の交点としてただ 1 つに決まる）。$\Gamma$ も $A,B,C$ を通るので、傍心三角形の九点円は $\Gamma$ である。
段 4（中心）。同じ定理により、傍心三角形の九点円の中心は、傍心三角形の外心 $V$ と垂心の中点である。条件 (iii) により傍心三角形の垂心は $I$ である。段 3 から九点円の中心は $\Gamma$ の中心 $O$ なので、$O=\dfrac{I+V}2$ である。これを書きかえると $\vec v-\vec o=\vec o-\vec i$、つまり $\overrightarrow{OV}=-\overrightarrow{OI}$ である。
段 5（半径）。九点円の半径は外接円の半径の半分である。傍心三角形の九点円は半径 $R$ の $\Gamma$ なので、傍心三角形の外接円（Bevan 円）の半径は $2R$ である。$\square$
証明で使った 2 つの三角形の関係を図式にしておく。三角形に「垂線の足を結んだ三角形」「外接円」「九点円」を対応させることを矢印で表す。
$$
\xymatrix{
I_AI_BI_C \ar[r]^{\text{垂足三角形}} \ar[dr]_{\text{九点円}} & ABC \ar[d]^{\text{外接円}} \\
& \Gamma
}
$$
図式が可換であるとは、傍心三角形から直接に九点円をとっても、垂足三角形 $ABC$ に移ってからその外接円をとっても、同じ円 $\Gamma$ になることである。等式で書くと「傍心三角形の九点円 $=$ 三角形 $ABC$ の外接円」で、これが thm-bev-main である。この等式は、直角三角形でないどんな三角形 $T$ でも「$T$ の九点円 $=$（$T$ の垂足三角形）の外接円」として成り立つ（段 2・段 3 と同じ理由。直角三角形では 2 つの垂線の足が直角の頂点に重なり、垂足三角形ができない）。傍心三角形はつねに鋭角三角形なので（lem-bev-angles）、ここではこの心配はない。
$A(5,12)$、$B(0,0)$、$C(14,0)$（$a=14$、$b=15$、$c=13$）では、内心 $I(6,4)$、傍心 $I_A(8,-12)$、$I_B(21,14)$、$I_C\left(-7,\dfrac{21}2\right)$、外心 $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$、$R=\dfrac{65}8$ である。thm-bev-main から $V=2O-I=\left(8,\dfrac{17}4\right)$ で、
$$
VI_A=\frac{17}4+12=\frac{65}4,\qquad VI_B^2=13^2+\left(\frac{39}4\right)^2=\frac{4225}{16},\qquad VI_C^2=15^2+\left(\frac{25}4\right)^2=\frac{4225}{16}
$$
なので、$V$ から 3 つの傍心までの距離はどれも $\dfrac{65}4=2R$ である。
$ABC$ の点や円が、傍心三角形のどんな点や円に当たるかをまとめる。後の cor-bev-arcs で確かめる行も含めた。
| 三角形 $ABC$ の | 傍心三角形 $I_AI_BI_C$ の |
|---|---|
| 頂点 $A$、$B$、$C$ | 垂線の足 |
| 内心 $I$ | 垂心 |
| 外接円 $\Gamma$（半径 $R$） | 九点円 |
| 外心 $O$ | 九点円の中心 |
| Bevan 点 $V=2O-I$ | 外心（外接円の半径 $2R$） |
| $\Gamma$ と内角の二等分線 $AI$ の交点（弧 $BC$ の中点） | 垂心 $I$ と頂点 $I_A$ を結ぶ線分の中点 |
| $\Gamma$ の上で弧 $BC$ の中点と直径の両端をなす点（外角の二等分線 $I_BI_C$ の上） | 辺 $I_BI_C$ の中点 |
de Longchamps点 の倍の三角形も、$\Gamma$ を九点円にもつ三角形だった（倍の三角形の中点三角形が $ABC$ なので、倍の三角形の九点円は $ABC$ の外接円である）。2 つの大きな三角形を並べると次のようになる。
| 倍の三角形 $A'B'C'$ | 傍心三角形 $I_AI_BI_C$ | |
|---|---|---|
| $ABC$ はその | 中点三角形 | 垂足三角形 |
| $\Gamma$ はその | 九点円 | 九点円 |
| 外心 | 垂心 $H$ | Bevan 点 $V$ |
| 垂心 | de Longchamps 点 $L$ | 内心 $I$ |
| 外接円の半径 | $2R$ | $2R$ |
| 外心と垂心の中点 | $O=\frac{H+L}2$ | $O=\frac{V+I}2$ |
主定理から分かること
内心と Bevan 点の距離
$$
IV=2\,OI=2\sqrt{R^2-2Rr}
$$
である。とくに $I=V$ となるのは $I=O$ のとき、つまり正三角形のときに限る。
thm-bev-main から $O$ は線分 $IV$ の中点なので $IV=2\,OI$ である。Eulerの三角形の定理 の定理「Euler の三角形の定理」により $OI^2=R^2-2Rr$ なので、$IV=2\sqrt{R^2-2Rr}$ である。$I=V$ は $OI=0$、つまり内心と外心が一致することで、これは正三角形のときに限る（三角形の五心 の定理「2 つの心が一致すれば正三角形」）。$\square$
ex-bev-start の三角形では $R=\dfrac52$、$r=\dfrac{S}{s}=\dfrac66=1$（$S$ は面積）なので、$R^2-2Rr=\dfrac{25}4-5=\dfrac54$、$IV^2=4\cdot\dfrac54=5$ である。座標では $I(1,1)$、$V(3,2)$ から $IV^2=2^2+1^2=5$ で一致する。
MathWorld の頁 Wei26a は同じ距離を $IO=OV=\sqrt{R^2-\dfrac{abc}{a+b+c}}$ と書いている。$abc=4RS$（正弦定理（高校数学） と面積の公式 $S=\frac12bc\sin A$ から $S=\frac{abc}{4R}$）と $a+b+c=2s$、$r=\dfrac Ss$ から $\dfrac{abc}{a+b+c}=\dfrac{4RS}{2s}=2Rr$ なので、2 つの式は同じである。
外接円の上の 9 点
九点円の定理が言う 9 点のうち、垂線の足の 3 点が $A,B,C$ だった。残りの 6 点も $\Gamma$ の上にある。
次の 6 点は、三角形 $ABC$ の外接円 $\Gamma$ の上にある。
- 線分 $II_A$、$II_B$、$II_C$ の中点。線分 $II_A$ の中点は、内角の二等分線 $AI$ と $\Gamma$ の $A$ 以外の交点である。
- 線分 $I_BI_C$、$I_CI_A$、$I_AI_B$ の中点。線分 $I_BI_C$ の中点は、$A$ での外角の二等分線の上にあり、$\Gamma$ の上で線分 $II_A$ の中点と直径の両端をなす点である。
さらに、線分 $II_A$ の中点と線分 $I_BI_C$ の中点を結ぶ線分は $\Gamma$ の直径である（ほかの 2 組も同じ）。
九点円 の定理「九点円の定理」を傍心三角形に使う。傍心三角形の垂心は $I$ なので、「垂心と頂点を結ぶ線分の中点」は線分 $II_A$、$II_B$、$II_C$ の中点で、「辺の中点」は線分 $I_BI_C$ などの中点である。これらは傍心三角形の九点円、つまり $\Gamma$（thm-bev-main）の上にある。同じ定理の「線分 $E_aM_a$ は九点円の直径」が、最後の主張である。
線分 $II_A$ の中点は、$I$ と $I_A$ を通る直線、つまり $A$ での内角の二等分線の上にある。傍心三角形は鋭角三角形なので（lem-bev-angles）、その垂心 $I$ は内部にあり、$I_A$ からの垂線の上で $I_A$ と足 $A$ の間にある。よって $A$ から見て $I$ と $I_A$ は同じ向きにあり、$AI< AI_A$ である。線分 $II_A$ の中点は $A$ から同じ向きに距離 $\dfrac{AI+AI_A}2>0$ の点なので $A$ ではなく、直線 $AI$ と $\Gamma$ の交点のうち $A$ でない方である。線分 $I_BI_C$ の中点は、直線 $I_BI_C$（$A$ での外角の二等分線）の上にあり、上の直径の主張から、$\Gamma$ の上で線分 $II_A$ の中点の反対側の点である。$\square$
ex-bev-start の三角形（$O\left(2,\dfrac32\right)$、$R=\dfrac52$）で、線分 $II_A$、$II_B$、$II_C$ の中点は
$$
(2,-1),\qquad \left(-\frac12,\frac32\right),\qquad \left(\frac72,\frac72\right)
$$
線分 $I_BI_C$、$I_CI_A$、$I_AI_B$ の中点は
$$
(2,4),\qquad \left(\frac92,\frac32\right),\qquad \left(\frac12,-\frac12\right)
$$
である。$O$ からの距離の 2 乗は、たとえば $(2,-1)$ では $0^2+\left(\dfrac52\right)^2=\dfrac{25}4$、$\left(\dfrac72,\dfrac72\right)$ では $\left(\dfrac32\right)^2+2^2=\dfrac{25}4$ で、6 点すべてで $\dfrac{25}4=R^2$ になる。$(2,-1)$ と $(2,4)$ の中点は $\left(2,\dfrac32\right)=O$ なので、この 2 点を結ぶ線分は $\Gamma$ の直径である。
3 辺 13, 14, 15 の三角形 ABC の外接円（青）の上に、傍心三角形（緑の破線）の垂線の足 A、B、C（黒の丸）、垂心 I と頂点を結ぶ線分の中点（橙の四角）、辺の中点（赤の三角）の 9 点が乗っていることを見る図
図 3 は 13, 14, 15 の三角形で 9 点を描いたものである。橙の四角は $ABC$ の内角の二等分線（灰色の点線）の上に、赤の三角は傍心三角形の辺（外角の二等分線）の上にある。
垂心系の残りの 3 つの三角形
4 点 $I,I_A,I_B,I_C$ はどれも残りの 3 点でできる三角形の垂心である（三角形の内心と傍心 の命題「内心は傍心の三角形の垂心」の 3）。九点円 の命題「垂心系の九点円」によれば、このような 4 点（垂心系）からできる 4 つの三角形は、同じ九点円をもつ。
三角形 $II_BI_C$、$II_CI_A$、$II_AI_B$ の九点円も $\Gamma$ である。したがって、三角形 $II_BI_C$ の外心は $2O-I_A$ で、外接円の半径は $2R$ である（ほかの 2 つも同じ）。
九点円 の命題「垂心系の九点円」により、三角形 $II_BI_C$ の九点円は三角形 $I_AI_BI_C$ の九点円と同じで、thm-bev-main によりそれは $\Gamma$ である。三角形 $II_BI_C$ の垂心は $I_A$ なので、prf-thm-bev-main の段 4・段 5 と同じ理由で、その外心 $W$ は $O=\dfrac{I_A+W}2$、つまり $W=2O-I_A$ を満たし、外接円の半径は $2R$ である。$\square$
ex-bev-start の三角形で、$2O-I_A=(4,3)-(3,-3)=(1,6)$ である。この点から $I(1,1)$ までは $5$、$I_B(-2,2)$ までは $\sqrt{9+16}=5$、$I_C(6,6)$ までは $5$ で、確かに半径 $5=2R$ の円の中心である。
例と反例
thm-bev-main の証明で効いているのは、(1) 使う点が傍心三角形の 垂心（内心）であること、(2) $A,B,C$ が大きな三角形の 垂線の足 であること、の 2 つである。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 内心（傍心三角形の垂心）を使う | 内心の代わりに重心 $G$ を使い、$2O-G$ を作る | $2O-G$ は 3 つの傍心から等距離でない（ex-bev-cx-centroid） |
| $A,B,C$ が大きな三角形の垂線の足 | $\Gamma$ の $A,B,C$ での接線でできる三角形（$A,B,C$ は辺の上にあるが垂線の足でない） | 外接円の半径が $2R$ にならず、$\Gamma$ はその九点円でない（ex-bev-cx-tangent） |
ex-bev-start の三角形で、重心は $G\left(\dfrac43,1\right)$ で、$2O-G=\left(4-\dfrac43,\ 3-1\right)=\left(\dfrac83,2\right)$ である。これは $V(3,2)$ と違う。この点から傍心までの距離の 2 乗は
$$
I_A:\ \left(\frac13\right)^2+5^2=\frac{226}9,\qquad I_B:\ \left(\frac{14}3\right)^2+0^2=\frac{196}9
$$
で等しくないので、$\left(\dfrac83,2\right)$ を中心として 3 つの傍心を通る円はない。
ex-bev-main の 13, 14, 15 の三角形で、$\Gamma$ の $B$ と $C$ での接線の交点を $T_A$、$C$ と $A$ での接線の交点を $T_B$、$A$ と $B$ での接線の交点を $T_C$ とすると
$$
T_A\left(7,-\frac{392}{33}\right),\qquad T_B\left(\frac{239}{10},\frac{84}5\right),\qquad T_C\left(-\frac{11}2,\frac{28}3\right)
$$
である。$A$ は辺 $T_BT_C$ の上（接点）にあるが、$\overrightarrow{T_AA}\cdot\overrightarrow{T_BT_C}=-\dfrac{11830}{99}\ne0$ なので、$A$ は $T_A$ からの垂線の足ではない。三角形 $T_AT_BT_C$ の外接円の半径は
$$
R_T=\frac{845}{396}R=\frac{54925}{3168}\approx17.34
$$
で、$2R=\dfrac{65}4=16.25$ と違う。したがって三角形 $T_AT_BT_C$ の九点円の半径 $\dfrac{R_T}2\approx8.67$ は $R=8.125$ と違い、$\Gamma$ は $T_AT_BT_C$ の九点円ではない（$\Gamma$ は $T_AT_BT_C$ の 3 辺に接する円、つまり内接円である）。
接線の交点の計算を開く
外心は $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$ である。$B(0,0)$ での接線は $\overrightarrow{OB}=\left(-7,-\dfrac{33}8\right)$ に垂直な直線 $-7x-\dfrac{33}8y=0$、$C(14,0)$ での接線は $\overrightarrow{OC}=\left(7,-\dfrac{33}8\right)$ に垂直な直線 $7(x-14)-\dfrac{33}8y=0$ である。2 式を引くと $-14x+98=0$ で $x=7$、$y=-\dfrac{8\cdot49}{33}=-\dfrac{392}{33}$ である。$T_B$、$T_C$ も同じように求めた。外接円の中心は $W\left(\dfrac{2231}{198},\dfrac{5201}{1056}\right)$、$R_T^2=\dfrac{3016755625}{10036224}$ で、$R_T=\dfrac{54925}{3168}$ である。
3 辺 13, 14, 15 の三角形 ABC（黒）とその外接円（青）、外接円の A、B、C での接線でできる三角形（緑）とその外接円（赤）。灰色の破線は同じ中心で半径 2R の円で、赤い円はこれより大きい
大学数学で見る：Nagel 点・de Longchamps 点との関係
外心 $O$ を原点にとると、三角形の多くの「中心」は $\vec a,\vec b,\vec c$ の 1 次式で書け、1 次式の足し算で関係が見える。thm-bev-main は、原点 $O$ のもとで
$$
\vec v=-\vec i
$$
と言いかえられる。これを、Gergonne点とNagel点 の Nagel 点 $N_a$ と、de Longchamps点 の $L$ に結びつける。Spieker 中心 $S_p$（中点三角形の内心）は Spieker中心 で扱う。
三角形 $ABC$ の垂心を $H$、Nagel 点を $N_a$、de Longchamps 点を $L$、Spieker 中心を $S_p$ とする。
- $V$ は線分 $N_aL$ の中点である。
- $V$ は、$H$ を $S_p$ に関して点対称に移した点である（$S_p$ は線分 $HV$ の中点）。
方針：外心 $O$ を原点にとり、$\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$、$\vec l=-\vec h$、$\vec v=-\vec i$ を使う。Nagel 点を $\vec h$ と $\vec i$ で書けば、あとは足し算である。
段 1（Nagel 点）。Gergonne点とNagel点 の定理「Gergonne 点と Nagel 点の位置ベクトル」により
$$
\vec n_a=\frac{(s-a)\vec a+(s-b)\vec b+(s-c)\vec c}{s}=(\vec a+\vec b+\vec c)-\frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{s}
$$
である。内心は $\vec i=\dfrac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}=\dfrac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{2s}$ なので、$\dfrac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}s=2\vec i$ で、$\vec n_a=\vec h-2\vec i$ である。
段 2（1 の証明）。$\dfrac{\vec n_a+\vec l}2=\dfrac{(\vec h-2\vec i)+(-\vec h)}2=-\vec i=\vec v$ である。
段 3（2 の証明）。Spieker中心 の定理「Spieker 中心と Nagel 線」により $S_p$ は線分 $IN_a$ の中点なので、$\vec s_p=\dfrac{\vec i+\vec n_a}2=\dfrac{\vec h-\vec i}2$ である。よって $\dfrac{\vec h+\vec v}2=\dfrac{\vec h-\vec i}2=\vec s_p$ で、$S_p$ は線分 $HV$ の中点である。$\square$
- ex-bev-start の直角三角形（$s=6$、$s-a=2$、$s-b=3$、$s-c=1$）で、$N_a=\dfrac{2(0,3)+3(4,0)+1(0,0)}6=(2,1)$ である。$L(4,3)$（de Longchamps点 の直角三角形の例と同じ三角形）なので、$\dfrac{N_a+L}2=(3,2)=V$ である。垂心は直角の頂点 $H=C(0,0)$、$S_p=\dfrac{I+N_a}2=\left(\dfrac32,1\right)$ で、$2S_p-H=(3,2)=V$ である。
- ex-bev-obtuse の鈍角三角形では $N_a(-3,9)$、$H\left(-5,-\dfrac{15}4\right)$、$L=2O-H=\left(9,\dfrac{39}2\right)$、$S_p\left(-1,\dfrac{21}4\right)$ で、$\dfrac{N_a+L}2=\left(3,\dfrac{57}4\right)=V$、$\dfrac{H+V}2=\left(-1,\dfrac{21}4\right)=S_p$ である（図 5）。
鈍角三角形 ABC で、Nagel 点 Na と de Longchamps 点 L を結ぶ線分（橙）の中点が Bevan 点 V であり、垂心 H と V を結ぶ線分（紫の破線）の中点が Spieker 中心 Sp であることを見る図。青の点線は内心 I、外心 O、V を結ぶ
名前の由来と、MathWorld の頁にあることを開く
MathWorld の頁 Wei26a によると、Bevan は 1806 年に「$O$ は $I$ と傍心三角形の外心の中点であり、傍心三角形の外接円の半径は $2R$ である」ことを証明する問題を出し、同じ年に Butterworth が解いた。点の名前はこれによる。同じ頁には、$V$ が Nagel 点と de Longchamps 点の中点であること、$H$ を Spieker 中心で点対称に移した点であること（prop-bev-nagel）、Kimberling の番号が $X_{40}$ であることも載っている。傍心三角形の頁 Wei26b には、$ABC$ の内心が傍心三角形の垂心、$ABC$ の外心が傍心三角形の九点円の中心であること（thm-bev-main の中身）と、傍心三角形の類似重心が $ABC$ の Mittenpunkt（$X_9$）であることが載っている。後者は Mittenpunkt で扱う。
演習
三角形 $T_0$ の傍心三角形を $T_1$、$T_1$ の傍心三角形を $T_2$、…とする。$T_0$ の 1 つの角を $\theta_0$ とし、$T_n$ の対応する角（lem-bev-angles の式でつながる角）を $\theta_n$ とする。$\theta_n$ を $n$ と $\theta_0$ で表し、$n$ を大きくすると $T_n$ の角はどれも $60^\circ$ に近づくことを示せ。角 $120^\circ,30^\circ,30^\circ$ の三角形から始めたとき、$T_1$、$T_2$ の角を求めよ。
解答を開く
lem-bev-angles から $\theta_{n+1}=90^\circ-\dfrac{\theta_n}2$ である。両辺から $60^\circ$ を引くと $\theta_{n+1}-60^\circ=-\dfrac12\left(\theta_n-60^\circ\right)$ なので、$\theta_n-60^\circ=\left(-\dfrac12\right)^n\left(\theta_0-60^\circ\right)$、つまり $\theta_n=60^\circ+\left(-\dfrac12\right)^n\left(\theta_0-60^\circ\right)$ である。$\left\lvert-\dfrac12\right\rvert<1$ なので $n\to\infty$ で $\theta_n\to60^\circ$ で、3 つの角すべてについて同じなので $T_n$ は正三角形に近づく。$120^\circ,30^\circ,30^\circ$ から始めると、$T_1$ の角は $90^\circ-60^\circ=30^\circ$、$90^\circ-15^\circ=75^\circ$、$75^\circ$ で、$T_2$ の角は $90^\circ-15^\circ=75^\circ$、$90^\circ-37.5^\circ=52.5^\circ$、$52.5^\circ$ である。この事実は Wei26b にも載っている。
さらに先へ
- Feuerbachの定理 は、どんな三角形でも九点円が内接円と 3 つの傍接円に接することを主張する。これを傍心三角形に当てはめると、三角形 $ABC$ の外接円 $\Gamma$ は、傍心三角形の内接円と 3 つの傍接円に接する。
- 傍心三角形の類似重心（中線を角の二等分線で折り返した 3 本の直線の交点）は、傍心と辺の中点を結ぶ 3 本の直線の交点 Mittenpunkt になる（Mittenpunkt）。
- de Longchamps点 の倍の三角形と傍心三角形は、どちらも $\Gamma$ を九点円にもつ「大きな三角形」だった。外心を原点にとると、その外心はそれぞれ $\vec h$ と $-\vec i$ である。
関連項目
- 前提: 三角形の内心と傍心, 九点円, Eulerの三角形の定理, de Longchamps点
- 前に読む: de Longchamps点, 三角形の内心と傍心, 九点円
- 次に読む: Mittenpunkt
- 関連（高校数学）: Eulerの三角形の定理, Feuerbachの定理, 三角形の垂心, Spieker中心
- 比較: Gergonne点とNagel点, 垂足三角形
参考文献
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