フリップ(双有理幾何学)

1. $Y$ は正規で $f$ は固有双有理なので、Zariski の主定理によりファイバーは連結である。$y\in Y$ のファイバーが $1$ 点 $z$ なら、$f$ は $z$ の近傍で準有限であり、やはり Zariski の主定理により $y$ の近傍で同型になる。ファイバーが正の次元をもてば、そのどの点でも $f$ は局所同型でない。よって $f(\operatorname{Exc}(f))$ の点のファイバーは $\operatorname{Exc}(f)$ に含まれ、$f^{-1}(U)$ は $\operatorname{Exc}(f)$ の補集合に等しく、$f^{-1}(U)\to U$ は同型である。$\dim f(\operatorname{Exc}(f))\le\dim\operatorname{Exc}(f)$ なので $Y\setminus U$ の余次元は $2$ 以上である。

2. 両側の素因子はどちらも補集合が余次元 $2$ 以上の開集合 $f^{-1}(U)\cong U$ と交わり、その交わりで決まるので全単射である。$V\subset Y$ を開集合とすると、正規多様体の上の因子の層の切断は「素因子に沿う位数の条件」で定まるので、補集合が余次元 $2$ 以上の開集合の上の切断と同じである。よって $H^0(f^{-1}V,\mathcal{O}_Z(D))=H^0(V\cap U,\mathcal{O}(D))=H^0(V,\mathcal{O}_Y(f_*D))$ である。標準因子は $U$ の上で一致するので $f_*K_Z=K_Y$ である。$\square$

問題は $Y$ 上で局所的で、Proj は張り合うので、$Y=\operatorname{Spec}A$ はアフィンとしてよい。$F:=\mathbb{C}(Y)$ とし、$R_i:=H^0(Y,\mathcal{O}_Y(iK_Y))\subset F$、$R:=\bigoplus_{i\ge0}R_it^i\subset F[t]$ とおく。$R_1\ne0$ なので $\operatorname{Frac}R=F(t)$ である。$d>0$ について $R^{(d)}:=\bigoplus_iR_{di}t^{di}$ と書く。$\operatorname{Proj}R=\operatorname{Proj}R^{(d)}$ である。

1. $mK_Z$ が Cartier で、$\mathcal{L}:=\mathcal{O}_Z(mK_Z)$ が $g$ 豊富であるとする。lem-fl-small により $H^0(Z,\mathcal{L}^{\otimes i})=R_{mi}$ である。$\mathcal{L}^{\otimes a}$ が $A$ 上非常に豊富になる $a>0$ をとり、$Z\subset\mathbb{P}^N_A$ と埋め込む。$R_{mai}=H^0(Z,\mathcal{L}^{\otimes ai})$ は有限 $A$ 加群で、$i\gg0$ では $H^0(\mathbb{P}^N_A,\mathcal{O}(i))$ からの制限が全射である（Har77 III, Theorem 5.2, p. 228）。よって $T:=R^{(ma)}$ は有限生成 $A$ 代数である。$R$ の斉次元の $ma$ 乗は $T$ に入るので、$R$ は $T$ の $F(t)$ における整閉包に含まれる。$F(t)$ は $\operatorname{Frac}T=F(t^{ma})$ の有限次拡大で、$T$ は $\mathbb{C}$ 上有限生成の整域だから、その整閉包は有限 $T$ 加群である。$T$ は Noether なので $R$ も有限 $T$ 加群であり、$R$ は有限生成である。さらに相対的に豊富な $\mathcal{L}$ について $Z\cong\operatorname{Proj}_Y\bigoplus_ig_*\mathcal{L}^{\otimes i}$ である（Stacks Tag 0C6J）。右辺は $\operatorname{Proj}R^{(m)}=\operatorname{Proj}R$ である。

2. $R$ が有限生成であるとする。$c_P:=\operatorname{mult}_PK_Y$ とおく。各素因子 $P$ について、$\sum_if_it^i\mapsto\min_i(v_P(f_i)+ic_P)$ は $F(t)$ の離散付値 $w_P$ に延び、$R=F[t]\cap\bigcap_P\mathcal{O}_{w_P}$ である。よって $R$ は $F(t)$ で整閉である。$R$ は有限生成なので、ある $m>0$ で $S:=R^{(m)}$ は $A$ 上 $S_1$ で生成される。$S=R\cap F[t^m]$ も整閉である。$Z:=\operatorname{Proj}S$ は正規で $Y$ 上射影的であり、$g\colon Z\to Y$ とおく。

$V\subset Y$ を滑らかな部分とする。$V$ のアフィン開集合 $V'$ で $K_Y=\operatorname{div}h$ となるものの上では $\mathcal{R}_Y|_{V'}=\mathcal{O}_{V'}[h^{-1}t]$ なので、$g$ は $V$ の上で同型で、$\mathcal{O}_Z(1)|_V\cong\mathcal{O}_V(mK_V)$ である。

$Z$ の素因子 $P$ で $g^{-1}(Y\setminus V)$ に含まれるものはないことを示す。あったとすると、$P$ は高さ $1$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}\subset S$ に対応し、$S$ は正規 Noether なので $S_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環である。$\mathfrak{q}:=\mathfrak{p}\cap A$ の高さは $2$ 以上である。$0\ne a\in\mathfrak{q}$ をとり、$a$ を含む高さ $1$ の素イデアルのどれにも入らない $b\in\mathfrak{q}$ を素イデアル回避でとる。各 $M=R_i$ は $M=\bigcap_{\operatorname{ht}P=1}M_P$ を満たす。$x,y\in M$、$bx=ay$ とすると、$x/a=y/b$ は $a\notin P$ なら $M_P$ に入り（$x/a$ の形）、$a\in P$ なら $b\notin P$ だから $M_P$ に入る（$y/b$ の形）。よって $x\in aM$ であり、$a,b$ は $S$ の正則列である。これを $\mathfrak{p}$ で局所化すると、$1$ 次元の局所環 $S_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルの中の長さ $2$ の正則列が得られて矛盾する。

よって $Z\setminus g^{-1}(V)$ は余次元 $2$ 以上で、$g$ は小さい。可逆層 $\mathcal{O}_Z(1)$ と反射的層 $\mathcal{O}_Z(mK_Z)$ は $g^{-1}(V)$ の上で一致するので、$Z$ 全体で一致する。したがって $mK_Z$ は Cartier で $g$ 豊富である。最後の主張は、$Y$ が同じであることから 1 と 2 をフリップの定義に当てたものである。$\square$

$\varphi^+$ についても $B=\varphi^+(\operatorname{Exc}(\varphi^+))$ である。実際 $U=Y\setminus B$ の上では $\operatorname{id}_U$ が thm-fl-canonical-algebra の 1 の性質をもつので $\varphi^+$ は $U$ の上で同型であり、$\varphi^+$ が同型である開集合の上では $K_Y$ は $\mathbb{Q}$ Cartier なので、prop-fl-not-qcartier により $\varphi$ もそこで同型である。

$Y$ 上射影的で滑らかな $W$ と $p\colon W\to X$、$q\colon W\to X^+$ を $E$ が $W$ の素因子になるようにとり（以下の取り替えでも $Y$ 上射影的に保つ）、$\psi:=\varphi p=\varphi^+q$ とする。$G:=p^*K_X-q^*K_{X^+}$ とおく。lem-fl-small により $X$ と $X^+$ の標準因子は余次元 $1$ で一致するので $G$ は $\psi$ 例外的で、$G=\sum_E(a(E,X^+)-a(E,X))E$ である。$M:=q^*K_{X^+}-p^*K_X=-G$ は、$\varphi^+$ 豊富な因子の引き戻しと $\varphi$ 豊富な因子の引き戻しの和なので $\psi$ ネフである。$0\equiv M+G$ に負性補題 BCHM08 Lemma 3.6.2 (2)（p. 32）を $L=0$ で当てると $G\ge0$ である。

$E$ の中心 $Z\subset Y$ が $B$ に含まれないときは、$\varphi,\varphi^+$ は $Z$ の生成点の上で同型なので $E$ の係数は $0$ である。$Z\subset B$ のとき、$\varphi^{-1}(Z)$ の既約成分 $T$ で $Z$ の上に正の次元のファイバーをもつものをとる。$W$ を取り替えて、$T$ の爆発の例外因子 $F$ が $W$ の素因子となり、$F$ が $T$ の上に写るようにする。$F$ の曲線 $c$ で $Z$ の点に写り $T$ の曲線に有限に写るものをとると、$M\cdot c\ge(-K_X)\cdot p_*c>0$ である。よって $M|_F$ は $\psi$ 上数値的に自明でなく、$F$ と $E$ は $Y$ の上の中心が同じなので、同じ補題の後半により $E$ は $G$ の成分である。

最後の主張。$E$ が $X^+$ の例外素因子とする。$E$ は $X$ の素因子ではない（$X$ の素因子は lem-fl-small により $X^+$ の素因子である）。よって $a(E,X^+)\ge a(E,X)>0$ である。$\square$

$A_0$ は多項式環の不変式環なので正規である。$A[z]$ に $\deg z=-1$ と次数をつけると $\bigoplus_{i\ge0}A_iz^i$ が不変式環になるので、$X_x$ も正規である。$X_y$ も同様である。重みの最大公約数が $1$ なので $T$ の作用は一般の点で自由であり、$X_x,X_y,Y$ はどれも $n-1$ 次元である。

1. 定数でない重み $0$ の単項式は $x$ と $y$ の両方を含むので、$\{x=0\}\cup\{y=0\}$ の上で消え、この集合は $o$ に写る。$\{x\ne0,y\ne0\}$ の $T$ 軌道は閉であるので、$Y\setminus\{o\}$ はその商であり、$\{x\ne0,y\ne0\}/T$ は $X_x,X_y$ の開集合でもあって、$\varphi_x,\varphi_y$ はこの上で同型である（Tha94 Corollary 1.4, p. 5）。補集合 $\{x\ne0,y=0\}/T=\mathbb{P}(a)$ の次元は $p-1\ge1$ で、余次元は $q\ge2$ である。この上で $\varphi_x$ は 1 点に潰れるので例外集合に含まれる。$\varphi_y$ も同じである。

次に準備をする。点 $(x,y)$ の固定部分群は $0$ でない座標の重みの最大公約数の位数の巡回群である。仮定により、$0$ の座標が高々 $1$ 個の点では自由である。よって $V^\circ:=\{x\ne0,y\ne0,\text{ 作用が自由}\}$ の $\mathbb{C}^n$ における補集合は余次元 $2$ 以上で、$\pi\colon V^\circ\to U^\circ:=V^\circ/T$ は主 $T$ 束である。$U^\circ$ は滑らかで、$X_x,X_y,Y$ の開集合であり、それぞれの補集合は余次元 $2$ 以上である。$e\in\mathbb{Z}$ について、$V^\circ$ の上の重み $e$ の関数のなす $U^\circ$ 上の可逆層を $\mathcal{L}_e$ とする。Hartogs の定理により $H^0(U^\circ,\mathcal{L}_e)=A_e$ であり、$\mathcal{O}_{X_x}(e)|_{U^\circ}\cong\mathcal{L}_e$、$\mathcal{O}_{X_y}(e)|_{U^\circ}\cong\mathcal{L}_{-e}$（$e$ は $N$ の倍数）である。

2. $D$ を $X_x$ の素因子とする。$\pi^{-1}(D\cap U^\circ)$ の閉包は $\mathbb{C}^n$ の $T$ 不変な超曲面なので、斉次多項式 $f\in A_e$ の零点集合である。すると $ND$ は $\mathcal{O}_{X_x}(Ne)$ の切断 $f^N$ の因子と $U^\circ$ の上で一致するので、$ND$ は Cartier で $\mathcal{O}_{X_x}(Ne)$ に対応する。よって因子類群を $\mathbb{Q}$ 上で $\mathcal{O}_{X_x}(N)$ が生成し、$\rho(X_x/Y)=1$ である。$X_y$ も同じである。

3, 4. $\Omega:=dx_1\wedge\cdots\wedge dy_q$ は $t^*\Omega=t^w\Omega$ を満たす。作用のベクトル場 $\xi:=\sum_ia_ix_i\partial_{x_i}-\sum_jb_jy_j\partial_{y_j}$ で縮約した $\eta:=\iota_\xi\Omega$ は $V^\circ$ の上で零にならない $(n-1)$ 形式で、$\iota_\xi\eta=0$、$t^*\eta=t^w\eta$ である。$U^\circ$ の局所的な $(n-1)$ 形式 $\alpha$ について、$\pi^*\alpha=f\eta$ となる関数 $f$ がただ 1 つあり、$\pi^*\alpha$ の $T$ 不変性から $f$ は重み $-w$ である。逆も同様なので、$\omega_{U^\circ}\cong\mathcal{L}_{-w}$、$\omega_{U^\circ}^{\otimes i}\cong\mathcal{L}_{-iw}$ である。$U^\circ$ の補集合は余次元 $2$ 以上なので、$H^0(Y,\mathcal{O}_Y(iK_Y))=H^0(U^\circ,\mathcal{L}_{-iw})=A_{-iw}$ である。$\mathcal{O}_{X_x}(NK_{X_x})$ と $\mathcal{O}_{X_x}(-Nw)$ は $U^\circ$ の上で $\mathcal{L}_{-Nw}$ に等しく、可逆層は余次元 $2$ の外の値で決まるので一致する。$X_y$ も同様である。

結論。$\mathcal{O}_{X_x}(N)$ と $\mathcal{O}_{X_y}(N)$ は $Y$ 上豊富である（Proj の構成による）。$w>0$ なら 4 により $-K_{X_x}$ は $\varphi_x$ 豊富、$K_{X_y}$ は $\varphi_y$ 豊富である。$\square$