進位相に関する形式的滑らかさと正則性

要点：1・2 は持上げを順に作るか、テンソル積の普遍性で読み替える。3 は $\widehat R/\widehat{\mathfrak m}^\nu\cong R/\mathfrak m^\nu$ から、試験に使う連続な準同型が両者で一致することによる。4 は冪零元への代入で切断した多項式環を経由させる。

段階 0：素体と完備な場合への帰着。 $k_0\subset k$ を素体（$\mathbb Q$ または $\mathbb F_p$）とする。$k_0$ は完全体なので $k/k_0$ は分離的であり（分離生成拡大 の系「完全体上の拡大」）、$k$ は $k_0$ 上（離散位相で）形式的に滑らかである（体の拡大の形式的滑らかさ の定理「体の拡大の形式的滑らかさ」）。prop-afs-basic の 1 により $R$ は $k_0$ 上 $\mathfrak m$ 進的に形式的に滑らかであり、同じ命題の 3 により $\widehat R$ もそうである。$\widehat R$ は Noether 完備局所環で、$\dim\widehat R=\dim R$ であり、$R$ が正則であることと $\widehat R$ が正則であることは同値である（完備化 の定理「Noether 環の完備化は Noether 環」）。よって、$R$ は完備で $k=k_0$ と仮定してよい。
段階 1：2 次までの同一視。 $n=\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2$ とし、$y_1,\dots,y_n\in\mathfrak m$ を $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の基底の持上げとする（Nakayamaの補題により $\mathfrak m=(y_1,\dots,y_n)$）。$R$ は体を含む完備局所環なので係数体 $K'\subset R$ をもつ（Cohenの構造定理 の定理「等標数完備局所環の係数体」）。剰余写像が与える同型を $\rho\colon K'\xrightarrow{\sim}\kappa$ とする。$P=\kappa[\![X_1,\dots,X_n]\!]$、$\mathfrak X=(X_1,\dots,X_n)$ とおく。$R/\mathfrak m^2$ の元は $c+\sum_ia_i\bar y_i$（$c,a_i\in K'$）とただ一通りに書け、$(\mathfrak m/\mathfrak m^2)^2=0$ なので、
$$\theta_2\Bigl(c+\sum_ia_i\bar y_i\Bigr)=\rho(c)+\sum_i\rho(a_i)X_i$$
は環の同型 $R/\mathfrak m^2\cong P/\mathfrak X^2$ を与える。環準同型はすべて素体 $k_0$ 上の準同型なので、$R\to R/\mathfrak m^2\xrightarrow{\theta_2}P/\mathfrak X^2$ は連続な $k_0$ 代数の準同型である。これも $\theta_2$ と書く。
段階 2：持上げの列。 $r\ge2$ について、全射 $P/\mathfrak X^{r+1}\to P/\mathfrak X^r$ の核 $\mathfrak X^r/\mathfrak X^{r+1}$ は平方零である。$\theta_r\colon R\to P/\mathfrak X^r$ が連続な $k_0$ 代数の準同型として得られたとき、$\mathfrak m$ 進的な形式的滑らかさにより、それを持ち上げる $k_0$ 代数の準同型 $\theta_{r+1}\colon R\to P/\mathfrak X^{r+1}$ がある。$\theta_{r+1}$ と $P/\mathfrak X^{r+1}\to P/\mathfrak X=\kappa$ の合成は剰余写像 $R\to\kappa$ に等しいので $\theta_{r+1}(\mathfrak m)\subset\mathfrak X/\mathfrak X^{r+1}$、したがって $\theta_{r+1}(\mathfrak m^{r+1})=0$ で、$\theta_{r+1}$ も連続である。こうして両立する列 $(\theta_r)_r$ が得られ、$P=\varprojlim_rP/\mathfrak X^r$ への環準同型 $\psi\colon R\to P$ が定まる。$\psi(\mathfrak m^r)\subset\mathfrak X^r$、$\psi(y_i)\equiv X_i\pmod{\mathfrak X^2}$、$c\in K'$ について $\psi(c)\equiv\rho(c)\pmod{\mathfrak X}$ である。
段階 3：$\psi$ は全射。 $L'=\psi(K')$ は $P$ の部分体で、剰余写像 $P\to\kappa$ により $\kappa$ と同型に写る。すなわち $L'$ は $P$ の係数体である。$z_i=\psi(y_i)$ は $\mathfrak X/\mathfrak X^2$ の基底を代表するので、Nakayama の補題により $\mathfrak X=(z_1,\dots,z_n)$ である。Cohenの構造定理 の命題「有限生成極大イデアルと級数表示」により、任意の $f\in P$ は $f=\sum_\alpha\lambda_\alpha z^\alpha$（$\lambda_\alpha\in L'$、多重指数 $\alpha$ についての $\mathfrak X$ 進収束級数）と書ける。$\lambda_\alpha=\psi(c_\alpha)$、$c_\alpha\in K'$ とし、$R$ の完備性により $x=\sum_\alpha c_\alpha y^\alpha\in R$ をとる。各 $r$ について $x-\sum_{|\alpha|< r}c_\alpha y^\alpha\in\mathfrak m^r$ なので、$\psi(x)-\sum_{|\alpha|< r}\lambda_\alpha z^\alpha\in\mathfrak X^r$ であり、$f$ も同じ部分和との差が $\mathfrak X^r$ に入る。$\bigcap_r\mathfrak X^r=0$ より $\psi(x)=f$ である。
段階 4：次元の比較。 $P\cong R/\ker\psi$ であり、$P$ は $n$ 次元の正則局所環である（正則局所環 の例「体・冪級数環・多項式環の局所化」）。剰余環の素イデアルの鎖は $R$ の素イデアルの鎖に持ち上がるので $\dim R\ge\dim P=n$ である。一方、$\mathfrak m$ は $n$ 個の元で生成されるので、Krull の一般高さ定理（Krullの高さ定理 の定理「Krullの一般高さ定理」）により $\dim R=\operatorname{ht}\mathfrak m\le n$ である。よって $\dim R=n=\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2$ であり、$R$ は正則局所環である。$\square$

$R$ を正則局所環、$\kappa/k$ を分離的とする。$\widehat R$ も正則局所環で剰余体は $\kappa$ であり（完備化 の定理「Noether 環の完備化は Noether 環」）、prop-afs-basic の 3 により $\mathfrak m$ 進的な形式的滑らかさは $\widehat R$ で調べればよい。以下 $R$ は完備とする。
係数体。 体の拡大の形式的滑らかさ の系「指定した体を含む係数体」により、$R$ は $k$ を含む係数体 $K'$ をもつ。$K'$ は $k$ 代数として $\kappa$ と同型である。
冪級数環との同型。 $n=\dim R$ とし、正則パラメータ系 $y_1,\dots,y_n$ をとる。$Q=K'[\![T_1,\dots,T_n]\!]$ から $R$ への $k$ 代数の準同型 $\Phi\colon\sum_\alpha c_\alpha T^\alpha\mapsto\sum_\alpha c_\alpha y^\alpha$ は、Cohenの構造定理 の命題「有限生成極大イデアルと級数表示」により全射である。$Q$ は $n$ 次元の正則局所環なので整域である（正則局所環 の命題「正則局所環は整域」）。$\ker\Phi\ne0$ と仮定すると、$R\cong Q/\ker\Phi$ の長さ $n$ の素イデアルの鎖 $\mathfrak q_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak q_n$ は $\ker\Phi$ を含む $Q$ の素イデアルの鎖に持ち上がり、$\ker\Phi\ne0$ なので $0\subsetneq\mathfrak q_0$ を先頭に付け加えられる。これは長さ $n+1$ の鎖で $\dim Q=n$ に反する。よって $\Phi$ は同型であり、$R\cong K'[\![T_1,\dots,T_n]\!]\cong\kappa[\![T_1,\dots,T_n]\!]$（$k$ 代数として）である。
形式的滑らかさ。 $K'\cong\kappa$ は $k$ 上分離的なので、$K'$ は $k$ 上（離散位相で）形式的に滑らかである（体の拡大の形式的滑らかさ の定理「体の拡大の形式的滑らかさ」）。$Q$ は $K'$ 上 $(T_1,\dots,T_n)$ 進的に形式的に滑らかである（prop-afs-basic の 4）。離散位相をもつ $K'$ から $Q$ への写像は連続なので、prop-afs-basic の 1 により $Q$、したがって $R$ は $k$ 上 $\mathfrak m$ 進的に形式的に滑らかである。$\square$

形式的に滑らかなら幾何的に正則。 $k'/k$ を有限次拡大とし、$R'=R\otimes_kk'$ とおく。$R'$ は有限階数の自由 $R$ 加群なので Noether 環で、$R\to R'$ は単射な整拡大である。prop-afs-basic の 2 により、$R'$ は $k'$ 上 $\mathfrak mR'$ 進的に形式的に滑らかである。$\mathfrak n$ を $R'$ の極大イデアルとすると、整拡大での極大イデアルの縮約は極大なので（整拡大 の系「極大イデアルの縮約」）$\mathfrak n\cap R=\mathfrak m$、すなわち $\mathfrak mR'\subset\mathfrak n$ である。局所化 $R''=R'_{\mathfrak n}$ は極大イデアル $\mathfrak n''=\mathfrak nR''$ をもつ Noether 局所環で、$R'\to R''$ は（離散位相で）形式的エタールである（形式的滑らかさ の命題「底変換・合成・局所化」の 3）。定義の後の注意 3 により $R''$ は $R'$ 上 $\mathfrak n''$ 進的にも形式的に滑らかであり、$\mathfrak mR''\subset\mathfrak n''$ から $R'\to R''$ は連続である。prop-afs-basic の 1 により $R''$ は $k'$ 上 $\mathfrak n''$ 進的に形式的に滑らかであり、主定理の 1 から $R''=R'_{\mathfrak n}$ は正則局所環である。正則局所環の局所化は正則なので（正則局所環 の定理「正則局所環の局所化は正則」）、$R'$ のすべての素イデアルでの局所化は正則であり、$R'$ は正則環である。
幾何的に正則なら形式的に滑らか（$\kappa/k$ が分離的な場合）。 $k'=k$ として $R$ は正則局所環であり、主定理の 2 から従う。
4。 $k$ が完全体なら $\kappa/k$ は分離的なので、1 と 2 から従う。$\square$

要点：1 ⇒ 2 は $B\to B_\nu$ を $E$ へ持ち上げればよく、2 ⇒ 1 は試験環 $C$ と $B_\nu$ の引戻しに 2 を当てればよい。