t分布

要点：1 は置換 $z=\sqrt y$ と $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ による。2 は、畳み込みで得た $V+W$ の密度が $g_{a+b}$ の定数倍になり、両方の積分が $1$ であることから定数が $1$ と決まる。3 はその定数についての等式である。

$Z_1^2,\dots,Z_k^2$ は独立で（Dur19 §2.1）、thm-tdist-chi2-sum の 1 によりどれも $\chi^2_1$ に従う。$Z_1^2+\cdots+Z_{j-1}^2$ と $Z_j^2$ も独立なので、thm-tdist-chi2-sum の 2 を $j=2,\dots,k$ と順に使えばよい。$\square$

$V>0$ は確率 $1$ で成り立つので $T$ は確率 $1$ で定まる。$\varphi(z)=(2\pi)^{-1/2}e^{-z^2/2}$、$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x\varphi$ とする。実数 $t$ を固定する。
段 1（$v$ ごとに条件をつける）。 $\{T\le t\}=\{Z\le t\sqrt{V/\nu}\}$ なので、節「独立性と密度についての約束」の 2 つめの事実を関数 $(z,v)\mapsto\mathbf{1}\{z\le t\sqrt{v/\nu}\}$（$v\le0$ では $0$ とおく）に使い、$z$ についての積分を先に行うと
$$ P(T\le t)=\int_0^\infty g_\nu(v)\,\Phi\bigl(t\sqrt{v/\nu}\bigr)\,dv $$
である。$v>0$ を固定し、$\Phi$ の積分で $z=u\sqrt{v/\nu}$ と置換すると $\Phi(t\sqrt{v/\nu})=\int_{-\infty}^t\varphi(u\sqrt{v/\nu})\sqrt{v/\nu}\,du$ となる。被積分関数はすべて $0$ 以上なので、Fubiniの定理（Tonelli の形）により積分の順序を入れ替えて
$$ P(T\le t)=\int_{-\infty}^t k(u)\,du,\qquad k(u):=\int_0^\infty g_\nu(v)\,\varphi\bigl(u\sqrt{v/\nu}\bigr)\sqrt{\frac v\nu}\,dv $$
を得る。よって $T$ は密度 $k$ をもつ。
段 2（ガンマ積分で計算する）。 $g_\nu$ と $\varphi$ を代入すると、指数の部分は $e^{-v/2}e^{-u^2v/(2\nu)}=e^{-v(1+u^2/\nu)/2}$、$v$ の冪は $v^{\nu/2-1}v^{1/2}=v^{\frac{\nu+1}2-1}$ なので
$$ k(u)=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac\nu2)\sqrt{2\pi\nu}}\int_0^\infty v^{\frac{\nu+1}2-1}\exp\Bigl(-\frac{1+u^2/\nu}{2}\,v\Bigr)dv $$
である。Γ関数 の例「尺度変換と Laplace 型積分」を $z=\frac{\nu+1}2$、$a=\frac{1+u^2/\nu}2$ で使うと、積分は $\Gamma(\frac{\nu+1}2)\bigl(\frac{2}{1+u^2/\nu}\bigr)^{\frac{\nu+1}2}$ に等しい。$2^{\frac{\nu+1}2}/(2^{\nu/2}\sqrt{2\pi\nu})=1/\sqrt{\nu\pi}$ なので
$$ k(u)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}2)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac\nu2)}\Bigl(1+\frac{u^2}{\nu}\Bigr)^{-\frac{\nu+1}2}=f_\nu(u) $$
である。$\square$

段 1（標準化と回転）。 $Z_i:=(X_i-\mu)/\sigma$ とおくと $Z_1,\dots,Z_n$ は独立で $N(0,1)$ に従う。独立な正規分布に従う確率変数の 1 次結合は正規分布に従う（正規分布 の定理「1 次変換で正規分布は保たれる」と定理「独立な正規分布の和」を、項の個数についての帰納法で使う。係数が $0$ の項は分散 $0$ の退化した正規分布と見る）ので、$Z:=(Z_1,\dots,Z_n)^{\top}$ は多変量正規分布 $N_n(0,I_n)$ に従う。
$u:=(1/\sqrt n,\dots,1/\sqrt n)^{\top}$ は長さ $1$ のベクトルなので、$u$ を含む $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底 $u,w_2,\dots,w_n$ がとれる（Gram–Schmidt の直交化）。これらを行とする行列 $Q$ は直交行列である。$Y:=QZ$ とおくと、多変量正規分布 の定理「1 次変換で多変量正規分布は保たれる」により $Y\sim N_n(0,QQ^{\top})=N_n(0,I_n)$ であり、同じ記事の定理「無相関なら独立」により $Y_1,\dots,Y_n$ は独立で、どれも $N(0,1)$ に従う。
段 2（平均と平方和を $Y$ で書く）。 $Y_1=u^{\top}Z=\sqrt n\,\bar Z$（$\bar Z:=\frac1n\sum_iZ_i$）である。$Q^{\top}Q=I_n$ なので $\sum_iY_i^2=Y^{\top}Y=Z^{\top}Q^{\top}QZ=Z^{\top}Z=\sum_iZ_i^2$ であり、
$$ \sum_{i=2}^nY_i^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2-n\bar Z^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} $$
となる（中央の等号は $\sum_i(Z_i-\bar Z)^2=\sum_iZ_i^2-2\bar Z\sum_iZ_i+n\bar Z^2$ と $\sum_iZ_i=n\bar Z$ による。最後の等号は $X_i-\bar X=\sigma(Z_i-\bar Z)$ による）。
段 3（結論）。 1：$\bar X=\mu+\sigma\bar Z=\mu+\frac{\sigma}{\sqrt n}Y_1$ で $Y_1\sim N(0,1)$ なので $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ である。2：$(n-1)S^2/\sigma^2=\sum_{i\ge2}Y_i^2$ は cor-tdist-chi2-normal により $\chi^2_{n-1}$ に従う。3：$\bar X$ は $Y_1$ の関数、$S^2$ は $(Y_2,\dots,Y_n)$ の関数なので、節「独立性と密度についての約束」の 1 つめの事実により独立である。4：$V:=\sum_{i\ge2}Y_i^2$ とおくと、$S/\sigma=\sqrt{V/(n-1)}$ なので
$$ T=\frac{\sigma Y_1/\sqrt n}{\sigma\sqrt{V/(n-1)}/\sqrt n}=\frac{Y_1}{\sqrt{V/(n-1)}} $$
であり、$Y_1\sim N(0,1)$ と $V\sim\chi^2_{n-1}$ は独立だから、thm-tdist-ratio により $T\sim t_{n-1}$ である。$\square$

要点：Γ関数 の対数凸性を、$x+\frac12$ が $x$ と $x+1$ の中点であること、$x+1$ が $x+\frac12$ と $x+\frac32$ の中点であることに使う。

要点：1 は lem-tdist-gamma-ratio による $c_\nu\to1/\sqrt{2\pi}$ と $(1+t^2/\nu)^{-\frac{\nu+1}2}\to e^{-t^2/2}$ による。2 は $0\le(\varphi-f_\nu)^+\le\varphi$ に優収束定理を使う（Scheffé の議論）。

要点：1 は $f_\nu(t)$ が $\lvert t\rvert^{-(\nu+1)}$ と同程度に減ることによる。3 は $T=Z/\sqrt{V/\nu}$ と書いて $E[T^2]=\nu E[1/V]$、$E[1/V]=1/(\nu-2)$ を計算する。