Hartogsの拡張定理

$\varphi(\cdot+z)$ に置き換えれば $z=0$ としてよい。示すべき式は $\varphi(0)=-\frac1\pi\int_{\mathbb{C}}\frac{\partial\varphi}{\partial\bar\zeta}(\zeta)\frac{dA(\zeta)}{\zeta}$ である。$\frac{\partial\varphi}{\partial\bar\zeta}$ は有界で台がコンパクトであり、半径 $\rho$ の円板の上で $\int_{|\zeta|<\rho}\frac{dA}{|\zeta|}=2\pi\rho<\infty$ なので、被積分関数は可積分である。したがって優収束定理により、右辺の積分は $\varepsilon\to0$ のときの $\int_{|\zeta|\ge\varepsilon}$ の極限に等しい。
極座標 $\zeta=re^{i\theta}$ では、連鎖律により $\partial_r=\cos\theta\,\partial_x+\sin\theta\,\partial_y$、$\partial_\theta=r(-\sin\theta\,\partial_x+\cos\theta\,\partial_y)$ なので
$$ \partial_r+\frac ir\partial_\theta=(\cos\theta-i\sin\theta)\partial_x+(\sin\theta+i\cos\theta)\partial_y=e^{-i\theta}(\partial_x+i\partial_y)=2e^{-i\theta}\frac{\partial}{\partial\bar\zeta} $$
である。よって $\frac1\zeta\frac{\partial\varphi}{\partial\bar\zeta}=\frac1{2r}\bigl(\partial_r\varphi+\frac ir\partial_\theta\varphi\bigr)$ であり、$dA=r\,dr\,d\theta$ と合わせて、$\varphi$ の台が $|\zeta|< R$ に含まれるとき
$$ \int_{|\zeta|\ge\varepsilon}\frac{\partial\varphi}{\partial\bar\zeta}\frac{dA}{\zeta}=\frac12\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^R\partial_r\varphi(re^{i\theta})\,dr\,d\theta+\frac i2\int_\varepsilon^R\frac1r\int_0^{2\pi}\partial_\theta\varphi(re^{i\theta})\,d\theta\,dr $$
である（被積分関数は $[\varepsilon,R]\times[0,2\pi]$ 上で連続なので積分の順序を交換できる）。第 2 項の内側の積分は $\varphi(re^{2\pi i})-\varphi(re^{0})=0$ である。第 1 項の内側の積分は $\varphi(Re^{i\theta})-\varphi(\varepsilon e^{i\theta})=-\varphi(\varepsilon e^{i\theta})$ である。したがって
$$ \int_{|\zeta|\ge\varepsilon}\frac{\partial\varphi}{\partial\bar\zeta}\frac{dA}{\zeta}=-\frac12\int_0^{2\pi}\varphi(\varepsilon e^{i\theta})\,d\theta\longrightarrow-\pi\varphi(0)\qquad(\varepsilon\to0) $$
であり（$\varphi$ の連続性による）、示すべき式を得る。

$z'=(z_2,\dots,z_n)$ と書く。
滑らかさ：$z$ を $|z_1|\le\rho$ の範囲で動かすと、被積分関数は $|\zeta|\le\rho+R$ の外で $0$ である。$z$ の実座標についての任意の偏導関数 $\partial^\beta$ をとると、$\partial^\beta\bigl[g_1(z_1-\zeta,z')\bigr]=(\partial^\beta g_1)(z_1-\zeta,z')$ であり、これは $\sup|\partial^\beta g_1|$ で押さえられる。$\frac{1}{|\zeta|}$ は $|\zeta|\le\rho+R$ で可積分なので、優収束定理による積分記号下の微分により、$u$ は $C^\infty$ 級で、偏導関数は積分の中で微分して得られる。
方程式：$k=1,\dots,n$ について、積分記号下で微分し、両立条件を使うと
$$ \frac{\partial u}{\partial\bar z_k}(z)=\frac1\pi\int_{\mathbb{C}}\frac{\partial g_1}{\partial\bar z_k}(z_1-\zeta,z')\,\frac{dA(\zeta)}{\zeta}=\frac1\pi\int_{\mathbb{C}}\frac{\partial g_k}{\partial\bar z_1}(z_1-\zeta,z')\,\frac{dA(\zeta)}{\zeta} $$
である（$k=1$ のときは両立条件を使うまでもない）。$w:=z_1-\zeta$ と変数を変えると（面積要素は変わらない）、右辺は
$$ \frac1\pi\int_{\mathbb{C}}\frac{\partial g_k}{\partial\bar w}(w,z')\,\frac{dA(w)}{z_1-w} $$
となり、$\varphi(w):=g_k(w,z')$ に lem-hartogs-pompeiu を使えば $g_k(z_1,z')$ に等しい。
台：$|z_2|>R$ なら、すべての $\zeta$ について $(z_1-\zeta,z_2,\dots)\notin P_R$ なので被積分関数は $0$ で、$u(z)=0$ である。次に $V:=\mathbb{C}^n\setminus P_R$ とおく。$V$ の上では $g_k=0$ なので $\frac{\partial u}{\partial\bar z_k}=0$ であり、prop-hartogs-basic の 3 により $u$ は $V$ 上で正則である。$V=\bigcup_jV_j$、$V_j:=\{z\mid|z_j|>R\}$ で、各 $V_j$ は連結（$\mathbb{C}^{n-1}$ と円板の外部との積）、$V_j\cap V_k\neq\emptyset$ なので、$V$ は連結である。$u$ は $V$ の空でない開集合 $V_2$ の上で $0$ なので（ここで $n\ge2$ を使う）、prop-hartogs-basic の 2 により $V$ 全体で $u=0$ である。

$K=\emptyset$ なら $F=f$ でよいので、$K\neq\emptyset$ とする。

1. 切り落とし。隆起関数 の記事の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$C^\infty$ 級関数 $\chi\colon\mathbb{C}^n\to[0,1]$ で、$K$ のある開近傍 $N$ の上で $\chi=1$、台 $\operatorname{supp}\chi$ がコンパクトで $U$ に含まれるものがある。$U$ 上の関数 $f_0$ を、$U\setminus K$ では $(1-\chi)f$、$K$ の上では $0$ と定める。$f_0$ は $N\cap U$ の上で $0$、$U\setminus K$ の上で $C^\infty$ 級関数の積なので、$U$ 上の $C^\infty$ 級関数である。$U\setminus\operatorname{supp}\chi$ の上では $f_0=f$ である。
2. 補正の方程式。$g_j:=\frac{\partial f_0}{\partial\bar z_j}$ を $U$ 上で考え、$U$ の外では $0$ とおく。$f$ は正則なので（prop-hartogs-basic の 1）、$U\setminus\operatorname{supp}\chi$ の上で $g_j=\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}=0$ である。開集合 $U$ と $\mathbb{C}^n\setminus\operatorname{supp}\chi$ は $\mathbb{C}^n$ を覆い、$g_j$ はそれぞれの上で $C^\infty$ 級で、共通部分では $0$ として一致するから、$g_j$ は $\mathbb{C}^n$ 上の $C^\infty$ 級関数で、台は $\operatorname{supp}\chi$ に含まれる。両立条件は $\frac{\partial g_j}{\partial\bar z_k}=\frac{\partial^2f_0}{\partial\bar z_k\partial\bar z_j}=\frac{\partial g_k}{\partial\bar z_j}$ から成り立つ。$\operatorname{supp}\chi\subset P_R$ となる $R$ をとり、lem-hartogs-dbar の $u$ をとる。
3. $u$ が消える場所。$O:=\mathbb{C}^n\setminus\operatorname{supp}\chi$ の上では $\frac{\partial u}{\partial\bar z_j}=g_j=0$ なので、$u$ は $O$ 上で正則である。$V=\mathbb{C}^n\setminus P_R$ は連結で $O$ に含まれるから、$V$ を含む $O$ の連結成分 $W$ がある。$u$ は $V$ 上で $0$ なので、prop-hartogs-basic の 2 により $W$ 上で $u=0$ である。
4. $W\cap U\neq\emptyset$。$W$ は空でない開集合で、$\operatorname{supp}\chi\neq\emptyset$ なので $W\neq\mathbb{C}^n$ である。$\mathbb{C}^n$ は連結だから $W$ は閉集合でなく、$W$ の閉包の点 $q$ で $W$ に属さないものがある。もし $q\in O$ なら、$q$ を含む $O$ の連結成分は開集合で、$q$ が $W$ の閉包の点であることから $W$ と交わり、したがって $W$ に等しく、$q\in W$ となって矛盾する。よって $q\in\operatorname{supp}\chi\subset U$ である。$U$ は $q$ の近傍なので $W$ と交わる。
5. 延長。$F:=f_0-u$ を $U$ 上で定める。$F$ は $C^\infty$ 級で $\frac{\partial F}{\partial\bar z_j}=g_j-g_j=0$ なので、prop-hartogs-basic の 3 により $U$ 上で正則である。空でない開集合 $W\cap U$ は $U\setminus\operatorname{supp}\chi\subset U\setminus K$ に含まれ、その上で $f_0=f$、$u=0$ だから $F=f$ である。$F|_{U\setminus K}$ と $f$ は連結な $U\setminus K$ の上の正則関数で、空でない開集合の上で一致するので、prop-hartogs-basic の 2 により $U\setminus K$ 全体で $F=f$ である。
   一意性：$F_1,F_2$ が 2 つの延長なら、$F_1-F_2$ は連結な $U$ の上の正則関数で、空でない開集合 $U\setminus K$ の上で $0$ なので、$F_1=F_2$ である（$U\setminus K\neq\emptyset$ は、$U$ が空でない開集合で $K$ がコンパクトなことによる。$U=\emptyset$ なら主張は自明）。

$p$ を中心とする開球 $B\subset U$ をとる。$B\setminus\{p\}$ は弧状連結である。実際、$a,b\in B\setminus\{p\}$ について、線分 $[a,b]$ が $p$ を通らなければそれでつなげる。通るなら、$a,b,p$ は 1 本の実直線 $\ell$ の上にあり、$\mathbb{R}^{2n}$（$2n\ge4$）の中で $\ell$ の上にない点 $c\in B$ をとれば、線分 $[a,c]$ と $[c,b]$ は $\ell$ と端点 $a$、$b$ でしか交わらないので $p$ を通らず、凸集合 $B$ に含まれる。thm-hartogs-main を $B$ と $K=\{p\}$ に使うと、$f|_{B\setminus\{p\}}$ の延長 $F_B$ が得られる。$F$ を $U\setminus\{p\}$ では $f$、$p$ では $F_B(p)$ と定めると、$B$ の上で $F=F_B$ なので $F$ は $p$ の近くでも正則である。一意性は、$p$ の近くの値が連続性によって $f$ から決まることによる。

ある開球 $B\ni p$ の上で $p$ 以外に零点がないとする。$\frac1f$ は $B\setminus\{p\}$ 上で正則なので、cor-hartogs-point により $B$ 上の正則関数 $G$ に延びる。$B\setminus\{p\}$ の上で $f\,G=1$ であり、両辺は $B$ 上で連続だから $p$ でも $f(p)G(p)=1$ となるが、$f(p)=0$ に反する。