整閉包

1. $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の中で整閉であり、$\widetilde{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}$ である。より一般に、一意分解整域は整閉整域である（整拡大 の記事の例「一意分解整域は整閉」）。とくに体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ は整閉整域である。
2. $\mathbb{Z}$ の $\mathbb{C}$ における整閉包 $\overline{\mathbb{Z}}^{\mathbb{C}}$ は、定義により代数的整数全体の環 $\overline{\mathbb{Z}}$ である（代数的整数 の記事の定義「代数的整数」）。代数体 $K$ における $\mathbb{Z}$ の整閉包は $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ である。
3. 付値環は整閉整域である（付値環 の記事の命題「付値環は整閉」）。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt5)=\{a+b\sqrt5\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$、$\varphi:=(1+\sqrt5)/2$ とする。$\mathbb{Z}$ の $K$ における整閉包は
$$ \overline{\mathbb{Z}}^{K}=\mathbb{Z}[\varphi]=\{u+v\varphi\mid u,v\in\mathbb{Z}\} $$
である。
$\varphi$ は $x^2-x-1$ の根なので $\mathbb{Z}$ 上整であり、整閉包は部分環なので $\mathbb{Z}[\varphi]\subset\overline{\mathbb{Z}}^{K}$ である。$\varphi^2=\varphi+1$ なので $\mathbb{Z}[\varphi]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\varphi$ である。
逆に $x=a+b\sqrt5$（$a,b\in\mathbb{Q}$）が $\mathbb{Z}$ 上整であるとする。$\sigma(a+b\sqrt5):=a-b\sqrt5$ は、直接の計算 $(a+b\sqrt5)(c+d\sqrt5)=(ac+5bd)+(ad+bc)\sqrt5$ からわかるように $K$ の環の自己同型で、$\mathbb{Q}$ の元を動かさない。$x$ の整従属関係に $\sigma$ を施すと、$\sigma(x)$ も同じモニックな多項式の根になり、$\mathbb{Z}$ 上整である。整な元の和と積は整なので、
$$ m:=x+\sigma(x)=2a,\qquad x\sigma(x)=a^2-5b^2 $$
は $\mathbb{Z}$ 上整な有理数であり、ex-integral-closure-ufd の 1 により整数である。$4(a^2-5b^2)-m^2=-20b^2$ も整数である。$b=p/q$（$p,q$ は互いに素な整数、$q\ge1$）と書くと $q^2\mid20p^2$ から $q^2\mid20$、したがって $q\in\{1,2\}$ であり、$n:=2b$ は整数である。$m^2-5n^2=4(a^2-5b^2)$ は $4$ の倍数で、$5n^2\equiv n^2\pmod4$ なので $m^2\equiv n^2\pmod4$ である。平方数は偶数なら $4$ で割って $0$、奇数なら $1$ 余るので、$m\equiv n\pmod2$ である。よって
$$ x=\frac{m+n\sqrt5}{2}=\frac{m-n}{2}+n\varphi\in\mathbb{Z}[\varphi] $$
である。
$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}[\sqrt5]\subset\mathbb{Z}[\varphi]$ はどれも整拡大なので、$\mathbb{Z}[\sqrt5]$ の $K$ における整閉包も $\mathbb{Z}[\varphi]$ である（prop-integral-closure-intermediate）。$K$ は $\mathbb{Z}[\sqrt5]$ の商体なので、$\mathbb{Z}[\sqrt5]$ の正規化は $\mathbb{Z}[\varphi]$ であり、$\varphi\notin\mathbb{Z}[\sqrt5]$ なので $\mathbb{Z}[\sqrt5]$ は整閉整域でない。一般の 2 次体の整数環は 代数的整数 の記事の命題「2 次体の整数環の決定」で、最小多項式の係数を使う別の方法で決定されている。

$k$ を体、$f=y^2-x^2(x+1)\in k[x,y]$、$A=k[x,y]/(f)$ とする。$k$ の標数が $2$ でなければ原点は結節点である（標数 $2$ では原点は結節点でなく尖点になるが、以下の正規化の計算は標数によらない）。$A$ の正規化は 1 変数の多項式環 $k[t]$ である。
環準同型 $\psi\colon k[x,y]\to k[t]$ を $\psi(x)=t^2-1$、$\psi(y)=t(t^2-1)$ で定める。$\psi(f)=t^2(t^2-1)^2-(t^2-1)^2t^2=0$ である。逆に $\psi(g)=0$ とする。$f$ は $y$ についてモニックな 2 次式なので、$k[x][y]$ での割り算（除法の原理）により $g=fh+g_0(x)+g_1(x)y$（$h\in k[x,y]$、$g_0,g_1\in k[x]$）と書ける。
$$ 0=\psi(g)=g_0(t^2-1)+t(t^2-1)\,g_1(t^2-1) $$
の右辺の第 1 項は $t$ の偶数次の項だけ、第 2 項は奇数次の項だけからなるので、どちらも $0$ である。$g\mapsto g(t^2-1)$ は次数を 2 倍にし最高次の係数を保つので単射であり、$k[t]$ は整域で $t(t^2-1)\ne0$ なので、$g_0=g_1=0$ である。よって $\ker\psi=(f)$ であり、$\psi$ は同型 $A\cong R:=k[t^2-1,\,t^3-t]\subset k[t]$ を与える。とくに $A$ は整域である。
$t=(t^3-t)/(t^2-1)$ は $R$ の商体の元なので、$R$ の商体は $k(t)$ である。$t$ は $R$ 係数のモニックな多項式 $T^2-\bigl((t^2-1)+1\bigr)$ の根なので $R$ 上整であり、$k[t]=R[t]\subset\widetilde{R}$ である。逆に $\widetilde{R}$ の元は $R$ 上整なので $k[t]$ 上整な $k(t)$ の元であり、$k[t]$ は整閉整域（ex-integral-closure-ufd）なので $k[t]$ に属する。よって $\widetilde{R}=k[t]$ である。
$t\notin R$ である。実際 $R$ の元は $g_0(t^2-1)+(t^3-t)g_1(t^2-1)$ の形であり、これが $t$ に等しければ偶数次の部分から $g_0=0$、奇数次の部分から $1=(t^2-1)g_1(t^2-1)$ となるが、$t^2-1$ は $k[t]$ の単元でない。よって $A\cong R$ は整閉整域でない。
幾何学的には、$\operatorname{Spec}k[t]\to\operatorname{Spec}A$ は直線 $\mathbb{A}^1$ から曲線 $y^2=x^2(x+1)$ への写像 $t\mapsto(t^2-1,t^3-t)$ であり、原点に写る点は $t=1$ と $t=-1$ である。$k$ の標数が $2$ でなければこれは相異なる 2 点であり、原点で交わる 2 本の枝が正規化で分かれる。尖点の座標環 $k[t^2,t^3]$ の正規化も $k[t]$ である（整拡大 の記事の例「尖点の座標環」）。

$A\subset B$ を任意の環の拡大とする。$B$ の冪零元 $b$（$b^n=0$）は $x^n$ の根、冪等元 $e$（$e^2=e$）は $x^2-x$ の根なので、どちらも $A$ 上整であり、$\overline{A}^{B}$ に属する。とくに $B$ の冪零根基は $\overline{A}^{B}$ に含まれる。たとえば体 $k$ について、$k$ の $k[x]/(x^2)$ における整閉包は $k[x]/(x^2)$ 全体であり、$k$ の直積環 $k\times k$（$k$ は対角線 $\{(c,c)\}$ として含まれる）における整閉包は $k\times k$ 全体である。整閉包は整域でない環の中でも意味をもち、$B$ が整域でなければ $\overline{A}^{B}$ は整域とは限らない（上の 2 例のように、$B$ の冪零元や冪等元を含みうる）。

$A=\mathbb{Z}$、$B=\mathbb{Z}[\sqrt5]$ とする。$B$ は $\mathbb{Z}$ 上整なので $\overline{\mathbb{Z}}^{B}=B$ であり、整閉包 $\overline{\mathbb{Z}}^{B}$ は（どの整閉包もそうであるように）$B$ の中で整閉である。しかし ex-integral-closure-quadratic により $B=\mathbb{Z}[\sqrt5]$ は整閉整域でない。同じ $\mathbb{Z}$ でも、$\mathbb{Z}[\sqrt5]$ における整閉包は $\mathbb{Z}[\sqrt5]$、$\mathbb{Q}(\sqrt5)$ における整閉包は $\mathbb{Z}[\varphi]$ である。
この例は「$\overline{A}^{B}$ は $B$ の中で整閉」を満たすが「$\overline{A}^{B}$ は整閉整域」を満たさず、含意「整閉包は整閉整域である」を破る。整閉包が整閉整域になるのは、たとえば $A$ が整域で $B$ がその商体の代数拡大体の場合である（prop-integral-closure-denominators）。

$\overline{\mathbb{Z}}=\overline{\mathbb{Z}}^{\mathbb{C}}$ は $\mathbb{Z}$ 加群として有限生成でない（整拡大 の記事の例「反例：整だが有限でない拡大」）。一方、代数体 $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成である（thm-integral-closure-finiteness）。この例は「$\mathbb{Z}$ は Noether 整閉整域」を満たすが「$\mathbb{C}$ は商体 $\mathbb{Q}$ の有限次拡大」を満たさず、含意「整閉包は有限生成な加群である」を破る。