Galois理論

$L=\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ は $(x^2-2)(x^2-3)$ の分解体で、$[L:\mathbb{Q}]=4$ である（体の拡大 の記事の例「2 つの平方根の添加」）。Galois 拡大の特徴づけにより $G=\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数は $4$ であり、各元は $(\sqrt2,\sqrt3)$ の行き先 $(\pm\sqrt2,\pm\sqrt3)$ で決まるので、4 通りすべてが実現する。
$$ \sigma\colon(\sqrt2,\sqrt3)\mapsto(-\sqrt2,\sqrt3),\qquad \tau\colon(\sqrt2,\sqrt3)\mapsto(\sqrt2,-\sqrt3) $$
とおくと $G=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$ で、単位元以外はすべて位数 $2$ なので、$G$ は Kleinの四元群である。部分群は $\{1\}$、$\langle\sigma\rangle$、$\langle\tau\rangle$、$\langle\sigma\tau\rangle$、$G$ の 5 つである（位数 $2$ の部分群は位数 $2$ の元 1 つで生成され、位数は Lagrangeの定理 により $1,2,4$ のいずれか）。
固定体を求める。$\sigma$ は $\sqrt3$ を、$\tau$ は $\sqrt2$ を、$\sigma\tau$ は $\sqrt6=\sqrt2\sqrt3$ を固定する（$\sigma\tau(\sqrt6)=(-\sqrt2)(-\sqrt3)$）。たとえば $L^{\langle\sigma\rangle}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt3)$ を含み、基本定理の 2 により $[L:L^{\langle\sigma\rangle}]=|\langle\sigma\rangle|=2=[L:\mathbb{Q}(\sqrt3)]$ なので $L^{\langle\sigma\rangle}=\mathbb{Q}(\sqrt3)$ である。同様にして、対応は次のとおりである（左は部分群、右は中間体の図）。
$$ \begin{array}{ccccc} & & \{1\} & & \\ & \swarrow & \downarrow & \searrow & \\ \langle\sigma\rangle & & \langle\tau\rangle & & \langle\sigma\tau\rangle \\ & \searrow & \downarrow & \swarrow & \\ & & G & & \end{array} \qquad\longleftrightarrow\qquad \begin{array}{ccccc} & & L & & \\ & \swarrow & \downarrow & \searrow & \\ \mathbb{Q}(\sqrt3) & & \mathbb{Q}(\sqrt2) & & \mathbb{Q}(\sqrt6) \\ & \searrow & \downarrow & \swarrow & \\ & & \mathbb{Q} & & \end{array} $$
矢印は、群の図では包含 $\subset$、体の図では包含 $\supset$ を表し、2 つの図の同じ位置にあるものどうしが Galois 対応で移り合う。基本定理の 1 により、$L/\mathbb{Q}$ の中間体はこの 5 つで尽きる。特に $\mathbb{Q}(\sqrt2)$、$\mathbb{Q}(\sqrt3)$、$\mathbb{Q}(\sqrt6)$ は相異なり、これら以外に $\mathbb{Q}$ の 2 次拡大は $L$ の中にない。$G$ はアーベル群なのですべての部分群が正規であり、すべての中間体が $\mathbb{Q}$ 上 Galois 拡大である。

$\alpha=\sqrt[3]2\in\mathbb{R}$、$\omega=e^{2\pi i/3}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\alpha,\omega)$ を $x^3-2$ の分解体とする。$[L:\mathbb{Q}]=6$ であり（分解体 の記事の例「$x^3-2$ の分解体」）、標数 $0$ なので $x^3-2$ は分離多項式、$L/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大である。$G=\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は位数 $6$ で、根 $\alpha_1=\alpha$、$\alpha_2=\omega\alpha$、$\alpha_3=\omega^2\alpha$ の置換として $S_3$ に単射に埋め込まれる。位数が等しいので $G\cong S_3$ である。
$S_3$ の部分群は、$\{1\}$、根 $\alpha_i$ を固定し残る 2 根を入れ替える互換 $\tau_i$ が生成する位数 $2$ の 3 つの部分群 $\langle\tau_i\rangle$、位数 $3$ の交代群 $A_3=\langle\rho\rangle$（$\rho$ は $\alpha_1\mapsto\alpha_2\mapsto\alpha_3\mapsto\alpha_1$）、$S_3$ の 6 つであり、このうち正規部分群は $\{1\}$、$A_3$、$S_3$ である（3次の対称群 の記事の命題「部分群と正規部分群」）。

• $\langle\tau_i\rangle$ に対応する中間体は $\mathbb{Q}(\alpha_i)$ である。$\tau_i$ は $\alpha_i$ を固定するので $\mathbb{Q}(\alpha_i)\subset L^{\langle\tau_i\rangle}$ である。$[\mathbb{Q}(\alpha_i):\mathbb{Q}]=3$ なので $[L:\mathbb{Q}(\alpha_i)]=2$ であり、基本定理の 2 により $[L:L^{\langle\tau_i\rangle}]=|\langle\tau_i\rangle|=2$ なので、両者は一致する。
• $A_3$ に対応する中間体は $\mathbb{Q}(\omega)$ である。$\rho(\omega)=\rho(\alpha_2)/\rho(\alpha_1)=\alpha_3/\alpha_2=\omega$ なので $\mathbb{Q}(\omega)\subset L^{A_3}$ であり、$[\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=2=[G:A_3]$ なので一致する。
  よって $L/\mathbb{Q}$ の中間体は $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\alpha)$、$\mathbb{Q}(\omega\alpha)$、$\mathbb{Q}(\omega^2\alpha)$、$\mathbb{Q}(\omega)$、$L$ のちょうど 6 つである。基本定理の 3 のとおり、正規部分群 $A_3$ に対応する $\mathbb{Q}(\omega)$ は $x^2+x+1$ の分解体で $\mathbb{Q}$ 上 Galois であり、制限写像は同型 $G/A_3\cong\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q})$（位数 $2$）を与える。正規でない $\langle\tau_i\rangle$ に対応する $\mathbb{Q}(\alpha_i)$ は $\mathbb{Q}$ 上正規でない（正規拡大 の記事の例「反例：2 の立方根を添加した体」）。3 つの部分群 $\langle\tau_i\rangle$ は互いに共役であり、それに対応して 3 つの体 $\mathbb{Q}(\alpha_i)$ は $G$ の元で互いに移り合う（たとえば $\rho(\mathbb{Q}(\alpha_1))=\mathbb{Q}(\alpha_2)$）。これは thm-galois-theory-fundamental の 3 の例である。

$p$ を素数、$n\ge1$ とし、$L=\mathbb{F}_{p^n}$ を位数 $p^n$ の有限体とする。$L/\mathbb{F}_p$ は Galois 拡大で、$G=\operatorname{Gal}(L/\mathbb{F}_p)$ は Frobenius写像 $\phi(x)=x^p$ で生成される位数 $n$ の巡回群である（Galois拡大 の記事の例「有限体の拡大」）。位数 $n$ の巡回群の部分群は、$n$ の各正の約数 $d$ に対して $\langle\phi^d\rangle$（位数 $n/d$）がただ 1 つずつある（巡回群 の記事の命題「有限巡回群の部分群と約数」）。対応する固定体 $L^{\langle\phi^d\rangle}=\{x\in L\mid x^{p^d}=x\}$ の $\mathbb{F}_p$ 上の次数は基本定理の 2 により $[G:\langle\phi^d\rangle]=d$ なので、これは位数 $p^d$ の部分体である。
したがって $\mathbb{F}_{p^n}$ の部分体は、$n$ の約数 $d$ ごとにただ 1 つある位数 $p^d$ の体で尽き、$d\mid d'$ と $\mathbb{F}_{p^d}\subset\mathbb{F}_{p^{d'}}$ が対応する。これは 有限体 の記事の命題「有限体の部分体」を Galois 対応から読み直したものである。$G$ はアーベル群なので、すべての部分体は $\mathbb{F}_p$ 上 Galois である。

$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ とする。$[L:\mathbb{Q}]=3$ は素数なので、中間体は $\mathbb{Q}$ と $L$ の 2 つだけである（体の拡大 の記事の系「中間体の次数と元の次数」）。一方、$\operatorname{Aut}(L/\mathbb{Q})$ は自明群である（$\sqrt[3]2$ の行き先になる $x^3-2$ の根は $L\subset\mathbb{R}$ の中に $\sqrt[3]2$ しかない）。したがって $M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)$ は 2 つの中間体を同じ部分群 $\{1\}$ に送り、単射でない。固定体の側から見ても $L^{\{1\}}=L$ であり、$\mathbb{Q}$ は固定体として現れない。
この例は「有限次拡大」「分離拡大」を満たすが「正規拡大」を満たさず、含意「有限次拡大 $L/K$ では $M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)$ が中間体と $\operatorname{Aut}(L/K)$ の部分群の全単射を与える」を破る。基本定理が Galois 拡大を仮定するのはこのためである。

$p$ を素数、$K=\mathbb{F}_p(t)$ を有理関数体、$L=K(u)$（$u^p=t$）とする。$[L:K]=p$ は素数なので中間体は $K$ と $L$ だけであるが、$\operatorname{Aut}(L/K)$ は自明群である（Galois拡大 の記事の例「反例：分離でない拡大 $\mathbb{F}_p(t)(t^{1/p})/\mathbb{F}_p(t)$」）。前の例と同じく $M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)$ は単射でない。
この例は「有限次の正規拡大」を満たすが「分離拡大」を満たさず、ex-galois-theory-not-normal と同じ含意を破る。正規性だけでも分離性だけでも Galois 対応には足りない。