変形した長い半直線

要点：コンパクト Hausdorff 空間 $K$ の正則性を $K$ の中で使い、得た集合を $K$ の内部で切り詰める。

1：$R$ の二点は $R$ の開集合で分離でき、それらは $A$ でも開である。$x=(\gamma,t)\in R$ と $p$ については、$z:=(\gamma+1,0)$ とおく。$\{y\in R\mid y< z\}$ は $x$ を含む開集合である。$\{y\in R\mid y>z\}\cup\{p\}$ は、$R$ の点のまわりでは $R$ の開集合であり、$p$ のまわりでは $U_{\gamma+2}$ を含むので、$A$ の開集合である。両者は交わらない。
2：$p$ の開近傍 $V$ は開基の元を含むが、$p$ を含む開基の元は $U_\alpha$ の形なので、ある $U_\alpha\subset V$ がある。$\gamma\ge\alpha$ とすると、点 $(\gamma,0)$ の $A$ における任意の開近傍は $R$ の開近傍を含み、それはある $s>0$ について $\{\gamma\}\times(0,s)$ を含む。これは $U_\alpha$ の部分集合なので、$(\gamma,0)\in\overline{U_\alpha}\subset\overline V$ である。$(\gamma,0)\notin U_1$ なので $\overline V\not\subset U_1$ である。正則空間なら $p$ の開近傍 $U_1$ に対し $p\in V\subset\overline V\subset U_1$ となる開集合 $V$ がとれるはずなので、$A$ は正則でない。1 により一点集合は閉集合で、一点と閉集合を分離できない $A$ は正規でもない。
3：$p$ がコンパクトな近傍をもてば、1 と alr-lem-shrink により $p\in V\subset\overline V\subset U_1$ となる開集合 $V$ があり、2 に反する。$R$ の点 $x$ については、$x< y$ となる $y$ をとれば $[0_R,y]$ が実数の閉区間と同相（長い直線の記事の命題「有界な区間と局所モデル」）なコンパクト近傍である。$\square$

1：点列に $p$ が無限回現れれば定値の部分列をとる。そうでなければ、ある番号から先は $R$ の点列であり、$R$ の高々可算な部分集合は有界なので（長い直線の記事の補題「有界集合の可算合併は有界」）、ある $[0_R,b]$ に収まる。$[0_R,b]$ は実数の閉区間と同相なので収束する部分列があり、$R$ は開部分空間なので、それは $A$ でも収束する。点列コンパクト空間は可算コンパクトである（可算コンパクト空間の記事の命題「点列コンパクト空間は可算コンパクト」）。
2：$\mathcal U:=\{U_1\}\cup\{[0_R,(\alpha,0))\mid 1\le\alpha<\omega_1\}$ は $A$ の開被覆である。実際、$p$ と、第 1 座標が $1$ 以上で順序数座標でない点は $U_1$ に、$(\gamma,t)$ は $[0_R,(\gamma+1,0))$ に属する。可算部分族の $[0_R,(\alpha_n,0))$ たちについて、$\alpha^*:=\sup_n\alpha_n$ は可算順序数であり（長い直線の記事の冒頭で引用している $\omega_1$ の性質）、点 $(\alpha^*,0)$ はどの $[0_R,(\alpha_n,0))$ にも $U_1$ にも属さない。よって $\mathcal U$ は可算部分被覆をもたず、有限部分被覆ももたない。
3：$D\subset A$ を高々可算とすると、$D\setminus\{p\}$ はある $b\in R$ 以下に収まり、空でない開集合 $\{y\in R\mid b< y\}$ は $D$ と交わらない。$p$ の近傍の可算族 $(N_n)$ をとり、$U_{\beta_n}\subset N_n$ となる $\beta_n$ を選ぶ。$\beta^*:=\sup_n\beta_n+1<\omega_1$ とおくと、$U_{\beta^*}$ はどの $N_n$ も含まない。$(\beta_n,1/2)\in U_{\beta_n}\subset N_n$ だが、$\beta_n<\beta^*$ なので $(\beta_n,1/2)\notin U_{\beta^*}$ だからである。$R$ が稠密であることは alr-thm-connected の証明で見る。$R$ の点列はある $(\delta,0)$ 以下に収まるので、近傍 $U_{\delta+1}$ に一度も入らない。$\square$

連結性：$R$ は弧状連結なので連結であり、$p$ の近傍 $U_\beta$ はどれも $R$ の点を含むので $R$ は $A$ で稠密である。連結集合の閉包として $A$ は連結である。
道が存在しないこと：$x\in R$ から $p$ への道 $\gamma\colon[0,1]\to A$ があるとし、$t_0:=\min\gamma^{-1}(p)>0$ とおく（$\gamma^{-1}(p)$ は空でない閉集合）。$S:=\gamma([0,t_0))\subset R$ は $x$ を含む連結集合である。まず $S$ は非有界である。実際、$S\subset[0_R,b]$ なら、$[0_R,b]$ は $A$ の閉集合（補集合 $\{y\in R\mid y>b\}\cup\{p\}$ は、$b=(\delta,s)$ のとき $U_{\delta+1}$ を含むので開）なので、$p=\gamma(t_0)\in\overline S\subset[0_R,b]$ となり矛盾する。$R$ の連結集合は順序凸なので（拡張長い半直線の定理「連結だが弧状連結でない」の証明と同じ理由）、$S$ は $\{y\in R\mid y\ge x\}$ を含む。$S$ は $[0,t_0)$ の連続像なので可分だが、$S$ の高々可算な部分集合はある $b$ 以下に収まり、$S$ の空でない開集合 $S\cap\{y\mid y>b\}$ と交わらない。これは矛盾である。$\square$

連続性：$\overline R$ の開基は $R$ の開集合と $(a,\infty]$（$a\in R$）からなる。前者の逆像は $R$ の開集合なので $A$ で開である。$a=(\delta,s)$ のとき $\iota^{-1}((a,\infty])=\{y\in R\mid y>a\}\cup\{p\}$ は、$R$ の点のまわりでは $R$ の開集合で、$p$ のまわりでは $U_{\delta+1}$ を含むので、$A$ で開である。
同相でないこと：$\iota(U_1)$ は $\infty$ を含むが、$\infty$ のどの近傍 $(a,\infty]$ も、$a$ の第 1 座標より大きい $\gamma$ について順序数座標の点 $(\gamma,0)\notin\iota(U_1)$ を含む。よって $\iota(U_1)$ は $\overline R$ で開でない。
最後の主張：$A$ がコンパクトなら、コンパクト空間から Hausdorff 空間 $\overline R$ への連続な全単射 $\iota$ は同相写像になる（コンパクト空間の記事の命題「保存と閉性」）。$\square$