一点コンパクト化
概要
一点コンパクト化（one-point compactification）とは、コンパクトでない局所コンパクトHausdorff空間 $X$ に点 $\infty$ を一つ加え、コンパクト集合の補集合に $\infty$ を加えた集合を $\infty$ の開近傍と定めて得られるコンパクトHausdorff空間 $X^+$ のことで、Alexandroffコンパクト化ともいう。一点を加えてHausdorffになるのは $X$ が局所コンパクトHausdorffのときに限り、コンパクトHausdorff空間から一点を除いて $X$ になるものは $X^+$ と同相である。$\mathbb{R}^n$ の一点コンパクト化は球面 $S^n$ であり、直積はスマッシュ積に、固有写像は無限遠点を保つ連続写像に、無限遠で消える関数は $\infty$ で $0$ になる連続関数に対応する。
前提知識: 局所コンパクト空間, コンパクト空間, Hausdorff空間, 商空間
数直線 $\mathbb{R}$ の両端 $+\infty$ と $-\infty$ を同じ一点 $\infty$ とみなして付け加えると、円周 $S^1$ ができる。平面 $\mathbb{R}^2$ に「無限遠点」を一つ付け加えると球面 $S^2$ になり、複素平面では Riemann 球面とよばれる。このように、コンパクトでない空間に点を一つだけ付け加えてコンパクトにする操作が 一点コンパクト化（one-point compactification）である。Alexandroff が導入したので Alexandroff コンパクト化 ともいう。
一点コンパクト化の考え方は単純で、「付け加えた点 $\infty$ に近いこと」を「どのコンパクト集合からも外れていること」と定める。この定め方のおかげで、局所コンパクト Hausdorff 空間の性質の多くが、コンパクト Hausdorff 空間の言葉に翻訳される。無限遠で $0$ に近づく関数は $\infty$ で値 $0$ をとる連続関数になり、コンパクト集合の逆像がコンパクトな写像（固有写像）は $\infty$ を $\infty$ に送る連続写像になり、コンパクト台のコホモロジーは一点コンパクト化のコホモロジーで計算できることが多い。
この記事では、一点コンパクト化を任意の位相空間に対して定義し、それがコンパクト Hausdorff 空間になる条件、付け加える点が一つのコンパクト化としての特徴づけ、閉集合を潰す商との関係を証明する。そのうえで、直積とスマッシュ積の関係、無限遠で消える関数、距離化可能性、連結性を扱う。
定義
$X$ を位相空間とし、$X$ に属さない一点 $\infty$ を付け加えた集合を $X^+:=X\sqcup\{\infty\}$ とする。$X^+$ の部分集合で次のいずれかの形のものを $X^+$ の開集合と定める。
- $X$ の開集合 $U$。
- $X^+\setminus C$。ここで $C$ は $X$ の閉集合であってコンパクトなものである。
この位相空間 $X^+$ を $X$ の Alexandroff 拡大 という。$X$ がコンパクトでない局所コンパクト Hausdorff 空間のとき、$X^+$ を $X$ の 一点コンパクト化 といい、$\infty$ を 無限遠点 という。
記号は文献によって $X^+$、$X^*$、$\alpha X$、$\hat X$ などが使われる。ホモトピー論では、コンパクトな $X$ に孤立点を付け加えた空間 $X\sqcup\{\ast\}$ を $X_+$ と書くことが多く、これは $X$ がコンパクトなときの Alexandroff 拡大と一致する（thm-opc-basic の 3）。
$X$ が Hausdorff 空間なら、コンパクト集合は閉集合なので（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」）、2 の条件は「$C$ がコンパクト」だけでよく、局所コンパクト空間 の定理「一点を付け加えるコンパクト化」の構成と一致する。Hausdorff でない $X$ では、閉でないコンパクト集合 $C$ を許すと $(X^+\setminus C)\cap X=X\setminus C$ が $X$ の開集合でなくなり、$X$ が $X^+$ の部分空間にならない。2 で $C$ を閉集合に限るのはこのためである。
$\infty$ の開近傍は 2 の形の集合だけである。したがって、$X$ の点列や網が $\infty$ に収束することは、「どのコンパクト閉集合 $C$ についても、いずれ $C$ の外に出て戻らない」ことを意味する。$X=\mathbb{R}^n$ では、これは $\lvert x\rvert\to\infty$ のことにほかならない。
基本性質
$X$ を位相空間とする。
- def-opc-main の集合族は $X^+$ の位相であり、$X$ は $X^+$ の開部分空間である。また $X^+$ はコンパクトである。
- $X^+$ が Hausdorff 空間であることと、$X$ が局所コンパクト Hausdorff 空間であることは同値である。
- $X$ が $X^+$ で稠密であることと、$X$ がコンパクトでないことは同値である。$X$ がコンパクトなら $\infty$ は $X^+$ の孤立点である。
とくに、$X$ がコンパクトでない局所コンパクト Hausdorff 空間なら、$X^+$ は $X$ を開かつ稠密な部分空間として含むコンパクト Hausdorff 空間である。
1．1 の形の集合を「型 1」、2 の形の集合を「型 2」とよび、$X$ の閉集合でコンパクトなものを「コンパクト閉集合」とよぶ。位相の公理と部分空間であることは、コンパクト閉集合の有限和・任意の共通部分・閉部分集合がまたコンパクト閉集合であることから従う。
位相であることと部分空間であることの確認を開く
$\emptyset$ は型 1、$X^+=X^+\setminus\emptyset$ は型 2 である。有限個の共通部分：型 1 どうしは $X$ の開集合である。$U\cap(X^+\setminus C)=U\cap(X\setminus C)$ は、$C$ が閉なので $X$ の開集合である。$(X^+\setminus C_1)\cap(X^+\setminus C_2)=X^+\setminus(C_1\cup C_2)$ で、$C_1\cup C_2$ はコンパクト閉集合である。
任意個の和：型 1 だけの和は $X$ の開集合である。型 2 の集合 $X^+\setminus C_\lambda$（$\lambda\in\Lambda\ne\emptyset$）の和は $X^+\setminus\bigcap_\lambda C_\lambda$ であり、$\bigcap_\lambda C_\lambda$ は閉集合で、コンパクト集合 $C_{\lambda_0}$ の閉部分集合なのでコンパクトである。両方の型が混じる和は、$U$ を型 1 の部分の和、$C$ を型 2 の部分の補集合の共通部分として $U\cup(X^+\setminus C)=X^+\setminus(C\setminus U)$ と書け、$C\setminus U=C\cap(X\setminus U)$ はコンパクト集合 $C$ の閉部分集合なのでコンパクト閉集合である。
部分空間：型 1 の $U$ について $U\cap X=U$、型 2 について $(X^+\setminus C)\cap X=X\setminus C$ はどちらも $X$ の開集合であり、逆に $X$ の開集合はそのまま型 1 である。よって $X$ の相対位相はもとの位相に一致し、$X$ 自身が型 1 なので $X$ は $X^+$ の開集合である。
コンパクト性：$X^+$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとる。$\infty$ を含む成員は型 2 の $X^+\setminus C$ である。$\mathcal{U}$ の各成員と $X$ との共通部分は $X$ の開集合で $C$ を覆うので、有限個の成員 $W_1,\dots,W_m$ で $C$ が覆われる。これに $X^+\setminus C$ を加えた有限個が $X^+$ を覆う。
2．$X$ が局所コンパクト Hausdorff 空間だとする。$X$ の相異なる 2 点は $X$ の交わらない開集合で分離でき、それらは $X^+$ でも開である。$x\in X$ と $\infty$ については、$x$ のコンパクト近傍 $K$ をとると、$K$ は Hausdorff 空間のコンパクト集合なので閉であり、$\operatorname{Int}K$ と $X^+\setminus K$ が $x$ と $\infty$ を分離する交わらない開集合である。
逆に $X^+$ が Hausdorff 空間だとする。$X$ は Hausdorff 空間の部分空間なので Hausdorff である。$x\in X$ をとり、$x$ と $\infty$ を交わらない開集合 $V\ni x$、$W\ni\infty$ で分離する。$W$ は $\infty$ を含むので型 2 であり、$W=X^+\setminus C$（$C$ はコンパクト閉集合）と書ける。$V\cap W=\emptyset$ から $V\subset C$ であり、$V\cap X$ は $X$ における $x$ の開近傍なので、$C$ は $x$ のコンパクト近傍である。よって $X$ は局所コンパクトである。
3．$X$ が稠密でないことは、$X^+\setminus X=\{\infty\}$ が開集合であることと同値である。$\{\infty\}$ は $\infty$ を含むので、開であるのは型 2 の $X^+\setminus C$ に等しいとき、すなわち $C=X$ がコンパクト閉集合であるときに限る。$X$ は $X$ 自身の閉集合なので、これは $X$ がコンパクトであることと同値である。このとき $\{\infty\}$ が開なので $\infty$ は孤立点である。$\square$
2 の「逆」の部分は、点を一つ加えてコンパクト Hausdorff 空間にできるのは局所コンパクト Hausdorff 空間に限ることを述べている（Mun00 Theorem 29.1, p. 183 の Step 3）。
特徴づけと一意性
一点コンパクト化は、「コンパクト Hausdorff 空間から一点を除くと $X$ になる」という性質だけで同相を除いて決まる。具体的な空間を一点コンパクト化として見分けるときは、もっぱらこの定理を使う。
$Y$ をコンパクト Hausdorff 空間、$p\in Y$、$X$ を位相空間とし、$h\colon X\to Y\setminus\{p\}$ を同相写像とする（$Y\setminus\{p\}$ には相対位相を入れる）。このとき、$h^+|_X=h$、$h^+(\infty)=p$ で定まる写像 $h^+\colon X^+\to Y$ は同相写像である。とくに $X$ は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、$X$ がコンパクトでなければ $Y$ は $X$ の一点コンパクト化と同相である。
$h^+$ は全単射である。連続性を示す。$W\subset Y$ を開集合とする。
$p\notin W$ のとき：$W$ は $Y\setminus\{p\}$ の開集合なので、$(h^+)^{-1}(W)=h^{-1}(W)$ は $X$ の開集合、したがって $X^+$ の型 1 の開集合である。
$p\in W$ のとき：$D:=Y\setminus W$ はコンパクト空間 $Y$ の閉集合なのでコンパクトであり、$D\subset Y\setminus\{p\}$ である。$D$ は $Y\setminus\{p\}$ の閉集合でもある。$h$ は同相写像なので $C:=h^{-1}(D)$ は $X$ のコンパクト閉集合であり、$(h^+)^{-1}(W)=X^+\setminus C$ は型 2 の開集合である。
よって $h^+$ は連続な全単射である。thm-opc-basic の 1 により $X^+$ はコンパクトで、$Y$ は Hausdorff なので、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射として $h^+$ は閉写像、したがって同相写像である（閉集合はコンパクト、その像はコンパクトで閉）。$X^+\cong Y$ は Hausdorff なので、thm-opc-basic の 2 により $X$ は局所コンパクト Hausdorff 空間である。$\square$
この一意性は Mun00 Theorem 29.1（p. 183）の Step 1 と同じ内容である。コンパクト化 の記事の定理「一点コンパクト化の最小性」から、剰余が一点のコンパクト化はすべて同値であることも導かれる。ここでの証明は、$Y$ が $X$ のコンパクト化であること（$X$ の稠密性）を使わないので、$X$ がコンパクトな場合も含めて通用する。
例
$n\ge1$ とし、$N=(0,\dots,0,1)\in S^n$ を北極とする。立体射影 $\sigma\colon S^n\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^n$（立体射影 の定義「立体射影」）は同相写像なので、thm-opc-characterization を $h=\sigma^{-1}$、$Y=S^n$、$p=N$ に適用して
$$
(\mathbb{R}^n)^+\cong S^n
$$
を得る。$\mathbb{R}^n$ の点が $\infty$ に近づくことは、$S^n$ 上で北極に近づくことに対応する。開球 $B^n$ や開区間 $(0,1)$ は $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{R}$ と同相なので、$(B^n)^+\cong S^n$、$(0,1)^+\cong S^1$ でもある。$n=2$ で $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ とみたものが Riemann球面 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ である（Mun00 Example 4, p. 185）。
- $[0,1)$ の一点コンパクト化は $[0,1]$ である。$Y=[0,1]$、$p=1$、$h$ を包含写像として thm-opc-characterization を適用すればよい。$[0,\infty)$ は $[0,1)$ と同相なので、$[0,\infty)^+\cong[0,1]$ でもある。$\mathbb{R}^+\cong S^1$ と比べると、両端が別々の点で閉じるか、一点で閉じるかの違いがある。
- 正の整数全体の離散空間 $\mathbb{N}_{>0}$ の一点コンパクト化は、$\mathbb{R}$ の部分空間 $Y=\{1/n\mid n\ge1\}\cup\{0\}$ と同相である。$Y$ は有界閉集合なのでコンパクト Hausdorff であり、$h(n)=1/n$ は離散空間 $\mathbb{N}_{>0}$ から $Y\setminus\{0\}$（各点が孤立点の離散空間）への同相写像なので、$p=0$ として thm-opc-characterization を適用する。$\infty$ の近傍は有限集合の補集合であり、「$n\to\infty$ で収束する列」がちょうど $\infty$ に収束する列になる。
- 2 本の直線の非交和 $\mathbb{R}\sqcup\mathbb{R}$ の一点コンパクト化は、2 つの円周を一点でつないだ 8 の字 $S^1\vee S^1$（ウェッジ和）である。8 の字から接点 $p$ を除くと、2 つの円周から一点ずつ除いたものの非交和で、各成分は $\mathbb{R}$ と同相だからである。
閉集合を潰す商
コンパクト Hausdorff 空間の開集合の一点コンパクト化は、補集合を一点に潰した商空間として得られる。
$K$ をコンパクト Hausdorff 空間、$Z\subset K$ を空でない閉集合とし、$U:=K\setminus Z$ とおく。$\pi\colon K\to K/Z$ を $Z$ を一点 $\ast$ に潰す商写像とする。このとき、$\pi|_U$ と $\infty\mapsto\ast$ で定まる写像 $U^+\to K/Z$ は同相写像である。
$K/Z$ はコンパクト Hausdorff 空間である（スマッシュ積 の補題「コンパクトHausdorff空間の閉集合による商」）。$g:=\pi|_U\colon U\to(K/Z)\setminus\{\ast\}$ は全単射で連続である。$g$ が開写像であることを示す。$V\subset U$ を $U$ の開集合とすると、$U$ は $K$ の開集合なので $V$ は $K$ の開集合であり、$V\cap Z=\emptyset$ から $\pi^{-1}(\pi(V))=V$ である。商位相の定義により $\pi(V)$ は $K/Z$ の開集合、したがって $(K/Z)\setminus\{\ast\}$ の開集合である。よって $g$ は同相写像であり、thm-opc-characterization を $Y=K/Z$、$p=\ast$、$h=g$ に適用すればよい。$\square$
- $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、$U\subset X$ を開集合とする。このとき $U^+\cong X^+/(X^+\setminus U)$ である。
- 1 の状況で、$U$ 上では恒等写像、$X^+\setminus U$ を $\infty$ に送る写像 $c\colon X^+\to U^+$ は連続である。これを 潰し写像（collapse map）という。
- $X,Y$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とし、$X^+$、$Y^+$ を $\infty$ を基点とする基点付き空間とみなす。このとき $(X\times Y)^+\cong X^+\wedge Y^+$（スマッシュ積）である。
- $n\ge1$ について、閉円板 $D^n$ の内部 $\operatorname{Int}D^n$ について $(\operatorname{Int}D^n)^+\cong D^n/S^{n-1}\cong S^n$ である。
1．thm-opc-basic により $K:=X^+$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、$Z:=X^+\setminus U$ は $\infty$ を含む空でない閉集合である。$K\setminus Z=U$ なので thm-opc-quotient による。
2．$c$ は商写像 $X^+\to X^+/(X^+\setminus U)$ と 1 の同相写像の逆との合成である。
3．$K:=X^+\times Y^+$ はコンパクト Hausdorff 空間の直積としてコンパクト Hausdorff であり（Tychonoffの定理）、$Z:=(X^+\times\{\infty\})\cup(\{\infty\}\times Y^+)$ は閉集合で、$K\setminus Z=X\times Y$ である。$Z$ は基点 $(\infty,\infty)$ に関する $X^+\vee Y^+$ であり、$K/Z$ はスマッシュ積 $X^+\wedge Y^+$ の定義そのものである。thm-opc-quotient により $(X\times Y)^+\cong X^+\wedge Y^+$ である。
4．$K=D^n$、$Z=S^{n-1}$ に thm-opc-quotient を適用すると $(\operatorname{Int}D^n)^+\cong D^n/S^{n-1}$ であり、$\operatorname{Int}D^n=B^n$ なので ex-opc-sphere により $S^n$ と同相である。$\square$
3 と ex-opc-sphere を合わせると、
$$
S^m\wedge S^n\cong(\mathbb{R}^m)^+\wedge(\mathbb{R}^n)^+\cong(\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n)^+=(\mathbb{R}^{m+n})^+\cong S^{m+n}
$$
となり、スマッシュ積 の命題「球面のスマッシュ積」の別証明が得られる。2 の潰し写像は、開集合の包含 $U\hookrightarrow X$ と逆向きの連続写像 $X^+\to U^+$ を与える。コンパクト台コホモロジー が開集合の包含に関して共変になる（零拡張をもつ）ことは、この向きの写像の現れである。
固有写像と関手性
連続写像 $f\colon X\to Y$ が 固有（proper）であるとは、$Y$ の任意のコンパクト集合の逆像がコンパクトであることをいう（固有写像 の定義「固有写像」）。局所コンパクト Hausdorff 空間の間の連続写像 $f$ について、$f$ を $f^+(\infty)=\infty$ で延ばした $f^+\colon X^+\to Y^+$ が連続であることと $f$ が固有であることは同値である（固有写像 の定理「一点コンパクト化による特徴づけ」）。$(g\circ f)^+=g^+\circ f^+$、$(\mathrm{id}_X)^+=\mathrm{id}_{X^+}$ なので、一点コンパクト化は、局所コンパクト Hausdorff 空間と固有写像のなす圏から、コンパクト Hausdorff な基点付き空間と基点を保つ連続写像のなす圏への関手である。同相写像は固有なので、同相な空間の一点コンパクト化は同相である。
たとえば $f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への固有写像で、$f^+\colon S^1\to S^1$ は $\infty$ を $\infty$ に送る連続写像になる。定数写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は固有でなく（一点の逆像 $\mathbb{R}$ がコンパクトでない）、$\infty$ に収束する列 $x_k=k$ の像は $\infty$ に近づかないので、$f^+$ は連続にならない。
無限遠で消える関数
$X$ を位相空間とする。連続関数 $f\colon X\to\mathbb{C}$ が 無限遠で消える とは、任意の $\varepsilon>0$ について $\{x\in X\mid\lvert f(x)\rvert\ge\varepsilon\}$ がコンパクトであることをいう。その全体を $C_0(X)$ と書く。
$X=\mathbb{R}^n$ では、$f\in C_0(\mathbb{R}^n)$ は $\lvert x\rvert\to\infty$ のとき $f(x)\to0$ となる連続関数のことである。$e^{-\lvert x\rvert^2}$ や、コンパクト台をもつ連続関数は $C_0(\mathbb{R}^n)$ に属し、定数関数 $1$ や $\sin x_1$ は属さない。
$X$ をコンパクトでない局所コンパクト Hausdorff 空間とする。
- 連続関数 $f\colon X\to\mathbb{C}$ について、$f\in C_0(X)$ であることと、$f$ を $\tilde f(\infty)=0$ で延ばした $\tilde f\colon X^+\to\mathbb{C}$ が連続であることは同値である。
- $C(X^+)$ を $X^+$ 上の複素数値連続関数全体とすると、$F\mapsto\bigl((F-F(\infty))|_X,\ F(\infty)\bigr)$ は複素ベクトル空間の同型 $C(X^+)\cong C_0(X)\oplus\mathbb{C}$ を与え、その逆は $(f,c)\mapsto\tilde f+c$ である。
1．$\tilde f$ は開部分空間 $X$ の上では $f$ なので連続であり、問題は $\infty$ での連続性だけである。$f\in C_0(X)$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。$C:=\{x\mid\lvert f(x)\rvert\ge\varepsilon\}$ は $f$ の連続性から閉集合であり、仮定からコンパクトなので、$X^+\setminus C$ は $\infty$ の開近傍で、その上で $\lvert\tilde f\rvert<\varepsilon$ である。よって $\tilde f$ は $\infty$ で連続である。逆に $\tilde f$ が連続なら、$\{x\in X\mid\lvert f(x)\rvert\ge\varepsilon\}=X^+\setminus\{y\mid\lvert\tilde f(y)\rvert<\varepsilon\}$ は $X^+$ の閉集合（$\infty$ を含む開集合の補集合）であり、コンパクト空間 $X^+$ の閉集合なのでコンパクトである。
2．$F\in C(X^+)$ なら $F-F(\infty)$ は $\infty$ で $0$ になる連続関数なので、1 によりその制限は $C_0(X)$ に属する。逆向きの写像 $(f,c)\mapsto\tilde f+c$ は 1 により $C(X^+)$ に値をとり、2 つの写像が互いに逆であることは定義から直ちにわかる。どちらも線形である。$\square$
距離化可能性と連結性
$X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。$X^+$ が距離化可能であることと、$X$ が第2可算公理を満たすことは同値である。
$X^+$ が距離化可能だとする。$X^+$ はコンパクトなので Lindelöf 空間であり、距離空間では Lindelöf 性と第 2 可算性は同値である（第2可算公理 の定理「距離空間における同値性」）。よって $X^+$ は第 2 可算で、その部分空間 $X$ も第 2 可算である（同記事の命題「部分空間への遺伝」）。
逆に $X$ が可算な開基 $\mathcal{B}$ をもつとする（$X=\emptyset$ なら $X^+$ は一点で明らか）。$\mathcal{B}'$ を、閉包 $\overline{B}$ がコンパクトになる $B\in\mathcal{B}$ の全体とする。$\mathcal{B}'$ も開基である。実際、$x\in O$（$O$ は開集合）に対し、局所コンパクト空間 の定理「コンパクト近傍の同値な形」の 3 により、閉包がコンパクトで $O$ に含まれる開近傍 $V\ni x$ がとれ、$x\in B\subset V$ となる $B\in\mathcal{B}$ の閉包は $\overline{V}$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$\mathcal{B}'=\{B_1,B_2,\dots\}$ と番号を付け（有限なら同じものを繰り返す）、
$$
K_m:=\overline{B_1}\cup\cdots\cup\overline{B_m},\qquad N_m:=X^+\setminus K_m
$$
とおく。$K_m$ はコンパクト閉集合なので $N_m$ は $\infty$ の開近傍である。$\infty$ の任意の開近傍 $X^+\setminus C$（$C$ はコンパクト）について、$C$ は $\mathcal{B}'$ の有限個で覆われるので、ある $m$ について $C\subset K_m$、すなわち $N_m\subset X^+\setminus C$ である。よって $\{N_m\}$ は $\infty$ の近傍基である。$X$ は $X^+$ の開部分空間なので、$\mathcal{B}'\cup\{N_m\mid m\ge1\}$ は $X^+$ の可算な開基である。
$X^+$ はコンパクト Hausdorff 空間なので正規、とくに正則で $T_1$ である（正規空間 の定理「コンパクト Hausdorff 空間は正規」）。第 2 可算な正則 $T_1$ 空間は距離化可能である（Urysohnの距離化定理 の定理「Urysohnの距離化定理」）。よって $X^+$ は距離化可能である。$\square$
とくに、位相多様体（定義により第 2 可算な局所コンパクト Hausdorff 空間）の一点コンパクト化はコンパクト距離化可能空間である。一方、非可算集合 $D$ 上の離散空間は局所コンパクト Hausdorff だが第 2 可算でないので、$D^+$ はコンパクト Hausdorff 空間でありながら距離化できない。
$X$ をコンパクトでない局所コンパクト Hausdorff 空間とする。$X^+$ が連結であることと、$X$ が空でないコンパクトな開集合をもたないことは同値である。とくに、$X$ が連結なら $X^+$ も連結である。
$X$ が空でないコンパクトな開集合 $C$ をもつとする。$C$ は $X$ の開集合なので $X^+$ の開集合であり、コンパクトなので Hausdorff 空間 $X^+$ の閉集合である。$\infty\notin C$ なので $C\ne X^+$ であり、$X^+$ は連結でない。
逆に $X^+=A\sqcup B$ と空でない開集合に分かれたとし、$\infty\in B$ とする。$A$ は $X^+$ の閉集合なのでコンパクトであり、$A\subset X$ かつ $A$ は $X^+$ の開集合なので $X$ の開集合である。よって $A$ は $X$ の空でないコンパクトな開集合である。
最後の主張：$X$ が連結なら、$X$ のコンパクトな開集合 $C$ は $X$ の閉集合でもあるので（$X$ は Hausdorff）、$C=\emptyset$ か $C=X$ であり、$X$ はコンパクトでないので $C=\emptyset$ である。$\square$
逆向き「$X^+$ が連結なら $X$ も連結」は成り立たない。$\mathbb{R}\sqcup\mathbb{R}$ は連結でないが、その一点コンパクト化 $S^1\vee S^1$（ex-opc-interval-sequence の 3）は連結である。一方、$\mathbb{N}_{>0}$ では各一点集合がコンパクトな開集合なので、$\mathbb{N}_{>0}^+$ は連結でない。
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $X$ の局所コンパクト性 | 有理数全体 $\mathbb{Q}$ | $X^+$ が Hausdorff になること（thm-opc-basic の 2） |
| $X$ の Hausdorff 性 | 原点を 2 つもつ直線 | $X^+$ が Hausdorff になること（thm-opc-basic の 2） |
| $X$ の非コンパクト性 | $X=[0,1]$ | $X$ が $X^+$ で稠密になること（thm-opc-basic の 3） |
| $Y$ の Hausdorff 性 | $Y=(0,1)\cup\{p\}$、$p$ の開近傍は $Y$ だけ | $Y$ が $X^+$ と同相になること（thm-opc-characterization） |
| $f$ の固有性 | 定数写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ | $f^+$ が連続になること |
| $X$ の第 2 可算性 | 非可算集合上の離散空間 | $X^+$ が距離化可能になること（thm-opc-metrizable） |
1 行目：$\mathbb{Q}$ は Hausdorff だが局所コンパクトでない（局所コンパクト空間 の例「反例：有理数全体」）。thm-opc-basic の 2 により $\mathbb{Q}^+$ はコンパクトだが Hausdorff でない。$0$ と $\infty$ が分離できないことの直接の確認は、コンパクト化 の例「反例：有理数の一点化」にある。
2 行目以降の確認を開く
2 行目：原点を 2 つもつ直線 $X$（$\mathbb{R}$ の 2 つの写しを $0$ 以外の点で貼り合わせた空間）は、各点が閉区間と同相なコンパクト近傍をもつので局所コンパクトだが、2 つの原点を分離できないので Hausdorff でない。$X$ は $X^+$ の部分空間なので $X^+$ も Hausdorff でない。
3 行目：thm-opc-basic の 3 により $\infty$ は $[0,1]^+$ の孤立点で、$[0,1]^+=[0,1]\sqcup\{\infty\}$ である。$[0,1]$ は稠密でなく、$[0,1]^+$ は $[0,1]$ のコンパクト化ではない。
4 行目：$Y$ の開集合を、$(0,1)$ の開集合と $Y$ 全体と定める。$Y$ の開被覆は $p$ を覆うために $Y$ 自身を含むので $Y$ はコンパクトであり、$Y\setminus\{p\}$ の相対位相は $(0,1)$ の位相である。しかし $p$ と $1/2$ は分離できず $Y$ は Hausdorff でない。$(0,1)^+\cong S^1$ は Hausdorff なので $Y\not\cong(0,1)^+$ である。
5 行目：定数写像 $f\equiv0$ について、$\infty$ に収束する列 $x_k=k$ の像は $0$ のままで、$f^+(\infty)=\infty$ に収束しない。
6 行目：非可算集合 $D$ 上の離散空間は、各点が一点集合というコンパクトな開近傍をもつので局所コンパクト Hausdorff である。一点集合はすべて開集合なので、どの開基も一点集合をすべて含み、可算にならない。thm-opc-metrizable により $D^+$ は距離化できない。
使われる場所
- コンパクト台のコホモロジー：局所コンパクト Hausdorff 空間 $X$ の コンパクト台コホモロジー は、無限遠点の近傍が十分よいとき、一点コンパクト化の被約コホモロジー $\tilde H^k(X^+)$ に一致する。$(\mathbb{R}^n)^+\cong S^n$ から $H^k_c(\mathbb{R}^n)$ が次数 $n$ にだけ現れることが読み取れる。
- 複素解析：$\mathbb{C}^+$ は Riemann球面 であり、有理関数は Riemann 球面から自身への正則写像として扱える。
- ホモトピー論：cor-opc-quotient の 3 により、一点コンパクト化は直積をスマッシュ積に移す。ベクトル束の全空間の一点コンパクト化（底空間がコンパクトのとき）は、単位円板束を単位球面束で潰した Thom 空間と同相であり（MS74 §18, p. 205 の注意）、Thom同型 や同境理論の舞台になる。
関連項目
- 前提: 局所コンパクト空間, コンパクト空間, Hausdorff空間, 商空間
- 比較: コンパクト化, Wallman型コンパクト化
- 直後に読む: 固有写像, コンパクト台コホモロジー, スマッシュ積, Riemann球面
- 発展: 立体射影, Urysohnの距離化定理, Thom同型, 完全写像
参考文献
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