外部

同義語：exterior

概要

定義

本記事では、位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ の内部（$A$ に含まれる最大の開集合）を $\operatorname{int}A$、$A$ の閉包（$A$ を含む最小の閉集合）を $\overline{A}$ と書く。内部の記事で証明されている双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ と、閉包の記事で証明されている閉包の基本性質（単調性、有限個の和集合の保存、$\overline{\emptyset}=\emptyset$、$\overline{X}=X$）を引いて用いる。

外部

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とする。$A$ の外部（exterior）とは、補集合 $X\setminus A$ の内部
$$ \operatorname{ext}A:=\operatorname{int}(X\setminus A) $$
のことをいう。$\operatorname{ext}A$ の点を $A$ の外点（exterior point）という。記号は $\operatorname{Ext}A$、$A^e$ なども用いられ、周囲の空間を明示するときは $\operatorname{ext}_X A$ と書く。

内部は開集合であるから、定義より直ちに $\operatorname{ext}A$ は開集合であり、$\operatorname{ext}A\subset X\setminus A$、すなわち $\operatorname{ext}A\cap A=\emptyset$ である。

外部の特徴づけ

$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。

$\operatorname{ext}A=X\setminus\overline{A}$ である。
$x\in\operatorname{ext}A$ であることは、$x$ を含むある開集合 $U$ が $U\cap A=\emptyset$ を満たすことと同値であり、また $x\notin\overline{A}$ であることとも同値である。
$\operatorname{ext}A$ は、$A$ と交わらない $X$ の開集合のうち最大のものである。すなわち $\operatorname{ext}A$ 自身が $A$ と交わらない開集合であり、$A$ と交わらない任意の開集合 $V$ に対して $V\subset\operatorname{ext}A$ が成り立つ。

1：双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ の左辺が $\operatorname{ext}A$ の定義そのものである。
2：内点の定義により、$x\in\operatorname{int}(X\setminus A)$ であることは、開集合 $U$ で $x\in U\subset X\setminus A$ を満たすものが存在することと同値であり、$U\subset X\setminus A$ は $U\cap A=\emptyset$ と同値である。また 1 により $x\in\operatorname{ext}A$ は $x\notin\overline{A}$ と同値である。
3：$\operatorname{ext}A$ が $A$ と交わらない開集合であることは定義の直後に述べた。$V$ を $V\cap A=\emptyset$ なる開集合とすると $V\subset X\setminus A$ であり、内部は $X\setminus A$ に含まれる最大の開集合だから（内部）$V\subset\operatorname{int}(X\setminus A)=\operatorname{ext}A$ である。$\square$

外部をはじめから閉包の補集合 $X\setminus\overline{A}$ として定義する流儀もあるが、上の命題の 1 により、どちらを出発点にしても同じ集合が得られる。本記事の内部・閉包・外部の扱いは、おおむね Mat68 第4章および Mun00 §17、Engelking89 §1.1 に従う。

直感

外部とは、その点を中心に開集合ひとつぶんの「安全地帯」をとると $A$ にまったく触れない点の全体である。これは「$A$ に属さない」より強い条件であり、$A$ に属さないが $A$ にいくらでも近い点（$A$ に属さない境界点）は外部に入らない。

例と反例

半開区間の外部

$X=\mathbb{R}$（通常の位相、Euclid空間）、$A=[0,1)$ とする。$\overline{A}=[0,1]$ だから、prop-exterior-characterization の 1 により
$$ \operatorname{ext}A=\mathbb{R}\setminus[0,1]=(-\infty,0)\cup(1,\infty) $$
である。一方 $\operatorname{int}A=(0,1)$ であり、$\mathbb{R}$ は $(0,1)$、$\{0,1\}$、$(-\infty,0)\cup(1,\infty)$ の三つに分かれる。点 $1$ は $A$ に属さないが外点ではない。$1$ を含むどの開集合も $A$ と交わるからである。

有理数全体の外部は空

$X=\mathbb{R}$、$A=\mathbb{Q}$（有理数全体）とする。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密、すなわち $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ だから
$$ \operatorname{ext}\mathbb{Q}=\mathbb{R}\setminus\overline{\mathbb{Q}}=\emptyset $$
である。無理数全体についても同様に $\operatorname{ext}(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\emptyset$ である。$A\neq X$ でも外部が空になり得る。有理数からどの方向に離れても、開集合ひとつぶんの余裕は決して得られない。

位相の取り方による違い

$X$ に離散位相を入れると、すべての部分集合が閉集合なので $\overline{A}=A$ となり、任意の $A\subset X$ について $\operatorname{ext}A=X\setminus A$ である。逆に密着位相（開集合は $\emptyset$ と $X$ のみ）では、$A\neq\emptyset$ なら $A$ を含む閉集合は $X$ だけなので $\overline{A}=X$、したがって $\operatorname{ext}A=\emptyset$ である。外部の大きさは集合そのものだけでなく、位相の細かさに依存する。

反例：外部と補集合は一致しない

「外部」という語感から「任意の $A$ について $\operatorname{ext}A=X\setminus A$」と誤解しやすいが、これは一般には成り立たない。ex-exterior-half-open-interval の $A=[0,1)$ では $X\setminus A=(-\infty,0)\cup[1,\infty)$ であり、$\operatorname{ext}A$ より点 $1$ の分だけ大きい。この例は、つねに成り立つ包含 $\operatorname{ext}A\subset X\setminus A$ を満たすが、逆の包含を満たさず、上の等号の含意を破る。差 $(X\setminus A)\setminus\operatorname{ext}A$ は「$A$ に属さない境界点」の集合であり（境界）、$A=\mathbb{Q}$ ではすべての無理数がこれにあたる。等号が成り立つ条件は prop-exterior-closed で述べる。

反例：二回外部は内部に戻らない

「任意の $A$ について $\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=\operatorname{int}A$」という主張は正しくない。$X=\mathbb{R}$、$A=\mathbb{Q}$ とすると、ex-exterior-rationals より $\operatorname{ext}\mathbb{Q}=\emptyset$ だから
$$ \operatorname{ext}(\operatorname{ext}\mathbb{Q})=\operatorname{ext}\emptyset=\mathbb{R}\supsetneq\emptyset=\operatorname{int}\mathbb{Q} $$
である（$\mathbb{Q}$ に含まれる空でない開区間（区間）はないので $\operatorname{int}\mathbb{Q}=\emptyset$、内部）。開集合に限っても等号は崩れる。$A=(0,1)\cup(1,2)$ は開集合だが、$\overline{A}=[0,2]$ より $\operatorname{ext}A=(-\infty,0)\cup(2,\infty)$、$\overline{\operatorname{ext}A}=(-\infty,0]\cup[2,\infty)$ より $\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=(0,2)\supsetneq A=\operatorname{int}A$ となる。これらの例は、つねに成り立つ包含 $\operatorname{int}A\subset\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)$（prop-exterior-basic）を満たすが、逆の包含を満たさない。

性質

外部の基本性質

$X$ を位相空間、$A,B\subset X$ とする。

$\operatorname{ext}\emptyset=X$、$\operatorname{ext}X=\emptyset$。
（包含の逆転）$A\subset B$ ならば $\operatorname{ext}B\subset\operatorname{ext}A$。
（和集合を共通部分に移す）$\operatorname{ext}(A\cup B)=\operatorname{ext}A\cap\operatorname{ext}B$。
（二回外部）$\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=\operatorname{int}\overline{A}$。特に $\operatorname{int}A\subset\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)$。

いずれも表示 $\operatorname{ext}A=X\setminus\overline{A}$（prop-exterior-characterization の 1）と閉包の基本性質から従う。
1：$\overline{\emptyset}=\emptyset$、$\overline{X}=X$ より $\operatorname{ext}\emptyset=X\setminus\emptyset=X$、$\operatorname{ext}X=X\setminus X=\emptyset$ である。
2：$A\subset B$ なら閉包の単調性より $\overline{A}\subset\overline{B}$ である。補集合をとって $X\setminus\overline{B}\subset X\setminus\overline{A}$、すなわち $\operatorname{ext}B\subset\operatorname{ext}A$ を得る。
3：閉包は有限個の和集合を保つので $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ である。よってDe Morganの法則から
$$ \operatorname{ext}(A\cup B)=X\setminus(\overline{A}\cup\overline{B})=(X\setminus\overline{A})\cap(X\setminus\overline{B})=\operatorname{ext}A\cap\operatorname{ext}B $$
である。
4：定義と 1 の表示により
$$ \operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=\operatorname{int}\bigl(X\setminus\operatorname{ext}A\bigr)=\operatorname{int}\bigl(X\setminus(X\setminus\overline{A})\bigr)=\operatorname{int}\overline{A} $$
である。$A\subset\overline{A}$ と内部の単調性（内部）から $\operatorname{int}A\subset\operatorname{int}\overline{A}=\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)$ を得る。$\square$

4 により、開集合 $A$ が $\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=A$ を満たすことは $\operatorname{int}\overline{A}=A$ と同値であり、この条件を満たす開集合を正則開集合という。rem-exterior-double の $(0,1)\cup(1,2)$ は正則開でない開集合の例である。

閉集合との関係

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とする。$\operatorname{ext}A=X\setminus A$ が成り立つことと、$A$ が閉集合であることとは同値である。

$\operatorname{ext}A=\operatorname{int}(X\setminus A)$ であり、集合 $B$ が $\operatorname{int}B=B$ を満たすことは $B$ が開集合であることと同値である（内部）。これを $B=X\setminus A$ に適用すると、$\operatorname{ext}A=X\setminus A$ は $X\setminus A$ が開集合であること、すなわち $A$ が閉集合であることと同値である。$\square$

稠密性との関係

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とする。次の三条件は同値である。

$A$ は $X$ で稠密である。すなわち $\overline{A}=X$。
$\operatorname{ext}A=\emptyset$。
$X$ の空でない任意の開集合 $U$ が $A$ と交わる。

1 と 2 の同値：prop-exterior-characterization の 1 より $\operatorname{ext}A=X\setminus\overline{A}$ だから、$\operatorname{ext}A=\emptyset$ は $\overline{A}=X$ と同値である。
2 ならば 3：対偶を示す。$A$ と交わらない空でない開集合 $U$ が存在すれば、prop-exterior-characterization の 3 より $U\subset\operatorname{ext}A$ となり $\operatorname{ext}A\neq\emptyset$ である。
3 ならば 2：これも対偶による。$\operatorname{ext}A\neq\emptyset$ なら、$\operatorname{ext}A$ 自身が $A$ と交わらない空でない開集合である。$\square$

外部の言葉を使うと、密度に関する概念を言い換えられる。$A$ が稠密であることは外部が空であることであり、$A$ が疎集合（$\operatorname{int}\overline{A}=\emptyset$）であることは、prop-exterior-basic の 4 により $\operatorname{ext}(\operatorname{ext}A)=\emptyset$、すなわち $\operatorname{ext}A$ が稠密であることである。

補足

内部・境界・外部による分割

$A$ の境界を $\partial A:=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A$ と定めると、全空間は
$$ X=\operatorname{int}A\sqcup\partial A\sqcup\operatorname{ext}A $$
と互いに交わらない三つの部分に分割される。実際 $\operatorname{int}A\subset A\subset\overline{A}$ から $\overline{A}=\operatorname{int}A\sqcup\partial A$ であり、prop-exterior-characterization の 1 から $X=\overline{A}\sqcup\operatorname{ext}A$ である。この分割の証明を含む詳説は境界が扱う。$X$ の各点は $A$ の内点・境界点・外点のちょうど一つに分類され、外部を知ることは閉包（したがって境界）を知ることと同じ情報量をもつ。

用語の注意

「外点」は $A$ の外部の点、すなわち $\overline{A}$ に属さない点であり、$A$ の触点（閉包の点）でないことと同じである。$A$ に属さない点（補集合の点）とは一致しない（rem-exterior-not-complement）。初等的な文脈では「$A$ の外側の点」を漠然と補集合の点の意味で使うことがあるが、位相空間論では上の定義に固定して用いる。また外点は $A$ の集積点でもない。$A$ の集積点は $A$ の触点だからである。