外部

同義語：exterior

概要

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ およびその部分集合 $A \subseteq X$ が与えられたとき、$A$ の外部（Exterior）は、通常 $A$ の補集合 $A^c = X \setminus A$ の内部として定義される。

外部の定義

$A$ の外部 $\operatorname{ext}(A)$ とは、以下の式で定義される集合である。
$$\operatorname{ext}(A) := (X \setminus A)^\circ$$
すなわち、$A$ の外部は「$A$ に含まれない最大の開集合」である。

この定義は直観的には、点 $x$ が $A$ の外部にあるとは、「$x$ が $A$ に属さないだけでなく、$x$ の周りに少し範囲を広げても（近傍をとっても）まだ $A$ に触れない状態」を意味する。

位相空間論において、外部という概念は単独で語られるよりも、内部（Interior）および境界（Boundary）との対比においてその本質が理解される。
位相空間 $X$ の任意の部分集合 $A$ に対して、空間全体は以下の3つの互いに素な集合に分割（直和分解）される。

空間の分割

$$X = A^\circ \sqcup \partial A \sqcup \operatorname{ext}(A)$$
ここで、

したがって、外部を知ることは、間接的にその集合の境界や閉包の構造を知ることと同義である。

外部は開集合として定義されるため、開集合特有の性質を持つほか、包含関係に対しては反転する性質を持つ。

基本的性質

開集合性:
$\operatorname{ext}(A)$ は常に $X$ の開集合である。
包含関係の反転:
$A \subseteq B$ ならば、$\operatorname{ext}(B) \subseteq \operatorname{ext}(A)$ が成り立つ。
（集合が大きくなれば、その「外側」は狭くなる）
閉包との関係:
$\operatorname{ext}(A) = X \setminus \overline{A}$ である。
すなわち、外部は閉包の補集合に等しい。
開集合の特徴付け:
$A$ が閉集合であることの必要十分条件は、$A = \operatorname{ext}(\operatorname{ext}(A))^c$ となることである（ただし一般には $\operatorname{ext}(A) = \operatorname{ext}(\overline{A})$ ）。

これらの性質は、外部が「補集合の内部」であることを考えれば、内部（Interior）に関する性質を補集合に対して適用することで導出できる。

外部の概念が直感と一致する場合と、位相の定義によっては直感に反して「外部が存在しない」場合があることを理解することが重要である。

具体例: Euclid空間

Euclid空間 $\mathbb{R}$ において、区間 $A = [0, 1)$ を考える。

補集合: $A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$
外部: $\operatorname{ext}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$
この場合、点 $1$ は $A$ に属さないが、$1$ のどんな近傍も $A$ と交わるため、外部には含まれず境界となる。

一方で、稠密な集合などは、補集合がスカスカであるため、外部が空集合になることがある。

反例: 外部が消滅する場合

$\mathbb{R}$ における有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ を考える。

$\mathbb{Q}$ の補集合は無理数全体の集合 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ である。
無理数の集合は稠密であるが、その中に（空でない）開区間を含まない。
したがって、$(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})^\circ = \emptyset$ となる。
結論として、$\operatorname{ext}(\mathbb{Q}) = \emptyset$ である。
これは「有理数から（位相的に）十分に離れられる場所は数直線上に存在しない」ことを意味する。同様に $\operatorname{ext}(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \emptyset$ でもある。