摂動論(作用素)

1：$\sigma(A)\subset\mathbb R$ なので（自己共役作用素 の定理「自己共役作用素のスペクトル」）、$\lambda\in\rho(A)$ なら $\overline\lambda\in\rho(A)$ である。$R:=R(\lambda,A)$、$x,y\in H$ について、$Rx,R(\overline\lambda,A)y\in D(A)$ と $A$ の対称性から

$$\langle Rx,y\rangle=\langle Rx,(\overline\lambda-A)R(\overline\lambda,A)y\rangle=\langle(\lambda-A)Rx,R(\overline\lambda,A)y\rangle=\langle x,R(\overline\lambda,A)y\rangle$$

なので $R^*=R(\overline\lambda,A)$ である。レゾルベントどうしは可換なので（レゾルベント の定理「レゾルベント恒等式」の 2）、$R$ は正規作用素であり、正規作用素 の定理「正規作用素のスペクトル」の 2 により $\|R\|$ はスペクトル半径に等しい。レゾルベント の定理「レゾルベントのスペクトルとの対応」の 3（$\lambda_0=\lambda$）により $\sigma(R)\setminus\{0\}=\{(\lambda-\mu)^{-1}\mid\mu\in\sigma(A)\}$ である。$\sigma(A)=\emptyset$ なら $\sigma(R)\subset\{0\}$ で $\|R\|=0$ となるが、$R$ は単射なので $H\ne\{0\}$ に反する。よって $\sigma(A)\ne\emptyset$ で、$\|R\|=\sup_{\mu\in\sigma(A)}\lvert\lambda-\mu\rvert^{-1}=1/\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(A))$ である。

2：$\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(A))>\|B\|$ なら $\lambda\in\rho(A)$ で、1 から $\|BR(\lambda,A)\|\le\|B\|/\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(A))<1$ なので、thm-pt-resolvent により $\lambda\in\rho(A+B)$ である。

3：非有界作用素 の命題「和と積の随伴」の 1 により $(A+B)^*=A^*+B^*=A+B$ である。$\sigma(A+B)$ の各点についての主張は 2 そのもの（距離の下限は閉集合 $\sigma(A)$ の点で達成される）であり、$\sigma(A)$ の各点についての主張は、2 を自己共役作用素 $A+B$ と摂動 $-B$ に当てれば $A=(A+B)+(-B)$ から得られる。$\square$

以下 $R(\lambda):=R(\lambda,A)$ と書く。

1：$r\le s< s'\le r'$ をとる。レゾルベント の定理「レゾルベント恒等式」の 1 により $R(\lambda)R(\mu)=\bigl(R(\lambda)-R(\mu)\bigr)/(\mu-\lambda)$ なので

$$P^2=\frac1{(2\pi i)^2}\oint_{\Gamma_s}\oint_{\Gamma_{s'}}\frac{R(\lambda)-R(\mu)}{\mu-\lambda}\,d\mu\,d\lambda$$

である。$\lambda\in\Gamma_s$ は $\Gamma_{s'}$ の内側にあるので $\oint_{\Gamma_{s'}}d\mu/(\mu-\lambda)=2\pi i$、$\mu\in\Gamma_{s'}$ は $\Gamma_s$ の外側にあるので $\oint_{\Gamma_s}d\lambda/(\mu-\lambda)=0$ であり、積分の順序を入れ替えて $P^2=\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_s}R(\lambda)\,d\lambda=P$ を得る。可換性はレゾルベントどうしの可換性（同定理の 2）を積分に通せばよい。

2：$R(\lambda)x\in D(A)$ で $AR(\lambda)x=\lambda R(\lambda)x-x$ は $\lambda$ について連続である。$Px$ に収束する Riemann 和を $A$ で写すと $\frac1{2\pi i}\oint(\lambda R(\lambda)x-x)\,d\lambda$ に収束し、$\oint d\lambda=0$ である。$A$ は閉なので $Px\in D(A)$ で $APx=\frac1{2\pi i}\oint\lambda R(\lambda)x\,d\lambda$ である。$x\in D(A)$ なら $R(\lambda)Ax=AR(\lambda)x$ なので、同じ式から $PAx=APx$ である。

3：$\lvert w-\lambda_0\rvert\ne s$ について $Q(w):=\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_s}(\lambda-w)^{-1}R(\lambda)\,d\lambda$ とおく。$(w-A)R(\lambda)=(w-\lambda)R(\lambda)+I$ と 2 と同じ閉性の議論から、$Q(w)X\subset D(A)$ で

$$(w-A)Q(w)=-P+c(w)I,\qquad c(w)=\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_s}\frac{d\lambda}{\lambda-w}=\begin{cases}1&(\lvert w-\lambda_0\rvert< s)\\0&(\lvert w-\lambda_0\rvert> s)\end{cases}$$

であり、$Q(w)$ は $P$ と可換で、$x\in D(A)$ について $Q(w)(w-A)x=(w-A)Q(w)x$ である。$A_1$ が $\operatorname{ran}P$ をそれ自身に写すことは 2 の $PAx=APx$ による。$A_1=AP|_{\operatorname{ran}P}$ は有界である。$\lvert w-\lambda_0\rvert> r$ のとき、$w\in K$ なら $R(w)$ が $\operatorname{ran}P$ を保つので $w-A_1$ は可逆である。$w\notin K$ なら $\lvert w-\lambda_0\rvert> r'$ で、$s=r$ とすると $(w-A)(-Q(w))=P$ なので、$-Q(w)$ は $\operatorname{ran}P$ の上で $w-A_1$ の逆である。$\lvert w-\lambda_0\rvert=r$ なら $w\in K$ である。よって $\sigma(A_1)\subset D_r$ である。$w\in D_r$ なら $s=r$ として $(w-A)Q(w)=I-P$ なので、$Q(w)$ は $\ker P$ の上で $w-A$ の逆である。

4：$X=\operatorname{ran}P\oplus\ker P$ で、$w-A$ はこの分解を保つ。$w\in D_r$ について、3 により $w-A$ が $X$ の上で有界な逆をもつことと、$w-A_1$ が可逆であることは同値である（逆は $(w-A_1)^{-1}P+Q(w)(I-P)$。逆向きは $R(w)$ が $P$ と可換であることによる）。よって $\sigma(A)\cap D_r=\sigma(A_1)\cap D_r=\sigma(A_1)$ である。固有ベクトル $x=Px+(I-P)x$ について $(\mu-A)(I-P)x=0$ で、3 の単射性から $(I-P)x=0$ である。$m< \infty$ なら $A_1$ は $m$ 次の正方行列で、その固有値（有限個）が $\sigma(A_1)$ であり、代数的重複度の和は $m$ である（Jordan標準形）。$\square$

$\lambda_0$ は孤立点なので、$r'>0$ を $\sigma(A)\cap\{\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\le r'\}=\{\lambda_0\}$ となるようにとり、$r:=r'/2$ とすると、def-pt-riesz の円環 $K$ は $\rho(A)$ に入る。$A$ の Riesz 射影を $P$ とする。

像は $\mathbb C\varphi$：lem-pt-riesz の 2 により $A_1:=A|_{\operatorname{ran}P}$ は閉部分空間 $\operatorname{ran}P$ の上の有界作用素で、$A$ の制限なので対称であり、Hilbert 空間 $\operatorname{ran}P$ の上の有界な自己共役作用素である。同補題の 4 により $\sigma(A_1)=\sigma(A)\cap D_r=\{\lambda_0\}$ であり、$\varphi\in\operatorname{ran}P$ なので $\operatorname{ran}P\ne\{0\}$ である。自己共役作用素 の命題「2 次形式によるノルムとスペクトルの端」により、$A_1-\lambda_0$ のノルムはスペクトルの端の絶対値の大きい方で $0$ であり、$A_1=\lambda_0$ である。よって $\operatorname{ran}P\subset\ker(\lambda_0-A)=\mathbb C\varphi$ で、等号が成り立ち $m=1$ である。

1：$A+\kappa B$ の $D_r$ に関する Riesz 射影を $P(\kappa)$ とする。thm-pt-stability により、$\varepsilon>0$ を十分小さくとれば $\lvert\kappa\rvert< \varepsilon$ で $\|P(\kappa)-P\|< \frac12$ かつ $\dim\operatorname{ran}P(\kappa)=1$ であり、$D_r$ の中の $A+\kappa B$ のスペクトルはただ 1 つの固有値 $\lambda(\kappa)$ で、代数的重複度は $1$ である。$\operatorname{ran}P(\kappa)$ は 1 次元で $A+\kappa B$ で保たれるので、lem-pt-riesz の 2 を $A+\kappa B$ に使うと $(A+\kappa B)P(\kappa)=\lambda(\kappa)P(\kappa)$ である。$D(\kappa):=\langle P(\kappa)\varphi,\varphi\rangle$ は $\lvert D(\kappa)-1\rvert\le\|P(\kappa)-P\|< \frac12$ を満たすので $0$ でなく、$N(\kappa):=\langle(A+\kappa B)P(\kappa)\varphi,\varphi\rangle$ について $\lambda(\kappa)=N(\kappa)/D(\kappa)$ である。thm-pt-stability の証明と同じく、$(A+\kappa B)P(\kappa)=\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_r}\lambda R(\lambda,A+\kappa B)\,d\lambda$ も $\kappa$ の収束する冪級数なので、$N,D$ は正則で、$\lambda(\kappa)$ は正則である。

2：$\kappa$ が実数で $\lvert\kappa\rvert$ が小さければ、$\kappa B$ の $A$ 限界は $1$ より小さく、Schrödinger作用素 の定理「加藤–Rellichの定理」により $A+\kappa B$ は自己共役なので、固有値 $\lambda(\kappa)$ は実数である。必要なら $\varepsilon$ を小さくとり直す。

3：$R(\lambda):=R(\lambda,A)$ とおく。$R(\lambda,A+\kappa B)=R(\lambda)+\kappa R(\lambda)BR(\lambda)+O(\kappa^2)$（$\Gamma_r$ の上で一様）である。$R(\lambda)\varphi=\varphi/(\lambda-\lambda_0)$ と、thm-pt-selfadjoint の証明の $R(\lambda)^*=R(\overline\lambda)$ から

$$\langle R(\lambda)BR(\lambda)\varphi,\varphi\rangle=\Bigl\langle\frac{B\varphi}{\lambda-\lambda_0},\frac{\varphi}{\overline\lambda-\lambda_0}\Bigr\rangle=\frac{\langle B\varphi,\varphi\rangle}{(\lambda-\lambda_0)^2}$$

である。$\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_r}\frac{d\lambda}{(\lambda-\lambda_0)^2}=0$、$\frac1{2\pi i}\oint_{\Gamma_r}\frac{\lambda\,d\lambda}{(\lambda-\lambda_0)^2}=1$ なので、$D(0)=1$、$D'(0)=0$、$N(0)=\langle A\varphi,\varphi\rangle=\lambda_0$、$N'(0)=\langle B\varphi,\varphi\rangle$ であり、$\lambda'(0)=N'(0)-N(0)D'(0)=\langle B\varphi,\varphi\rangle$ を得る。$\square$

$\varepsilon\ne0$：$d_n:=1$（$n\le0$）、$d_n:=\varepsilon$（$n\ge1$）とし、$De_n:=d_ne_n$ とおくと、$D$ は有界な逆をもち $DUD^{-1}e_n=(d_{n+1}/d_n)e_{n+1}=A_\varepsilon e_n$ なので、$A_\varepsilon=DUD^{-1}$ と $U$ のスペクトルは等しい。$U$ はユニタリなので $\|U\|=\|U^{-1}\|=1$ で、$\lvert\lambda\rvert>1$ なら Neumann級数 により $\lambda-U=\lambda(I-\lambda^{-1}U)$ は可逆、$\lvert\lambda\rvert< 1$ なら $\lambda-U=-U(I-\lambda U^{-1})$ は可逆である。よって $\sigma(U)$ は単位円に含まれ、有界作用素のスペクトルは空でない（Banach代数 の定理「スペクトルは非空コンパクト」）。$\theta\in\mathbb R$ について $W_\theta e_n:=e^{in\theta}e_n$ はユニタリで $W_\theta UW_\theta^{-1}=e^{i\theta}U$ なので、$\sigma(U)$ は回転で不変であり、単位円全体である。

$\varepsilon=0$：$\|A_0\|\le1$ なので $\sigma(A_0)$ は閉円板に含まれる。$\lvert\lambda\rvert< 1$ とし、$v:=\sum_{n\ge1}\overline\lambda^{\,n-1}e_n\in\ell^2$ とおく。$x\in\ell^2$ について $((\lambda-A_0)x)_n=\lambda x_n-x_{n-1}$（$n\ge2$）、$((\lambda-A_0)x)_1=\lambda x_1$ なので

$$\langle(\lambda-A_0)x,v\rangle=\sum_{n\ge1}\lambda x_n\lambda^{n-1}-\sum_{n\ge2}x_{n-1}\lambda^{n-1}=0$$

である（どちらの級数も絶対収束する）。よって $\lambda-A_0$ は全射でなく $\lambda\in\sigma(A_0)$ である。スペクトルは閉集合なので閉円板全体がスペクトルである。$\square$