平行線（高校数学）

1. 直線 $y=2x+1$ と $y=2x-3$ に共有点 $(x,y)$ があったとすると、$2x+1=2x-3$ から $1=-3$ となり、矛盾する。したがって 2 直線は交わらない。
2. 直線 $y=2x+1$ と $y=-\dfrac12x+3$ では、$2x+1=-\dfrac12x+3$ から $\dfrac52x=2$、$x=\dfrac45$ で、点 $\left(\dfrac45,\dfrac{13}5\right)$ で交わる。傾きの積は $2\times\left(-\dfrac12\right)=-1$ なので、2 直線は垂直に交わる。

1 辺 $1$ の立方体の頂点を $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$、$E(0,0,1)$、$F(1,0,1)$、$G(1,1,1)$、$H(0,1,1)$ とする。

• 辺 $AB$ と辺 $DC$ は底面の正方形の向かい合う辺で、同じ平面にあって交わらない。
• 辺 $AB$ と辺 $HG$ は別の面にあるが、長方形 $ABGH$ の向かい合う辺で、やはり同じ平面にあって交わらない。
• 辺 $AB$ を延ばした直線の点は $(t,0,0)$、辺 $CG$ を延ばした直線の点は $(1,1,s)$ と書ける。$y$ 座標が $0$ と $1$ で違うので、2 直線は交わらない。しかし、この 2 本は同じ平面の上にない（ex-pll-space-cube で確かめる）。

$\ell$ を直線 $y=2$、$m$ を $x$ 軸、横断線 $t$ を原点 $Q(0,0)$ と $P(1,2)$ を通る直線 $y=2x$ とする。$\ell$ の上に $X(-1,2)$、$m$ の上に $Y(1,0)$ をとると、$X$ は $t$ の左上、$Y$ は右下にあり、$\angle XPQ$ と $\angle PQY$ は錯角で、どちらも約 $63.43^\circ$ である。

1. 直線 $x=1$ と $x=4$ は、どちらも $x$ 軸に垂直なので平行である。実際、共有点があれば $x$ 座標が $1$ と $4$ に同時に等しくなり、矛盾する。
2. 直線 $t\colon y=2x$ に垂直な直線は、傾き $-\dfrac12$ の直線 $y=-\dfrac12x+c$ である（直線の方程式と点と直線の距離 の定理「2 直線の平行条件と垂直条件」）。$c=0$ と $c=5$ の 2 本は thm-pll-perp により平行で、$-\dfrac12x=-\dfrac12x+5$ が解をもたないことからも確かめられる。

$m\colon y=2x-3$ とする。$\ell\colon y=2x+1$ と $n\colon y=2x+7$ は、どちらも $m$ と傾きが同じで切片が違うので $m$ に平行である（ex-pll-start-coord の (1) と同じ計算）。thm-pll-transitive により $\ell\parallel n$ で、実際 $2x+1=2x+7$ は解をもたない。$y$ 切片は $-3<1<7$ で、この例の $m$ は $\ell$ と $n$ の外側にある。$m$ が $\ell$ と $n$ の間にある場合も、推移律は同じように成り立つ。

$\ell\colon 2x-y+1=0$（$y=2x+1$）と $m\colon 2x-y-3=0$ は平行である。

• $P(0,1)$ から $m$ への垂線は、$m$ の法線ベクトル $(2,-1)$ の向きの直線 $(2s,\ 1-s)$ である。$m$ の式に入れると $4s-(1-s)-3=0$、$s=\dfrac45$ で、足は $H\left(\dfrac85,\dfrac15\right)$、$PH=\dfrac45\sqrt{2^2+1^2}=\dfrac4{\sqrt5}$ である。
• $P'(1,3)$ からは $(1+2s,\ 3-s)$ を入れて $2+4s-3+s-3=0$、$s=\dfrac45$ で、足は $H'\left(\dfrac{13}5,\dfrac{11}5\right)$、$P'H'=\dfrac4{\sqrt5}$ である。
  2 か所で同じ値になり、thm-pll-equidistant のとおりである。点と直線の距離の公式でも $\dfrac{\lvert2\cdot0-1-3\rvert}{\sqrt5}=\dfrac4{\sqrt5}$ で、平行な 2 直線 $ax+by+c_1=0$、$ax+by+c_2=0$ の距離は $\dfrac{\lvert c_1-c_2\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ と表せる（直線の方程式と点と直線の距離 の命題「平行な 2 直線の距離」）。

ex-pll-start-cube の立方体で確かめる。

• 辺 $AB$ と辺 $HG$ の方向ベクトルはどちらも $(1,0,0)$ で平行である。2 本は相異なるので、prop-pll-space により $AB\parallel HG$ である。2 本を含む平面は $A+a(1,0,0)+b\,\overrightarrow{AH}=(a,b,b)$、つまり平面 $y=z$ である。
• 辺 $AB$ と辺 $CG$ の方向ベクトルは $(1,0,0)$ と $(0,0,1)$ で平行でない。ex-pll-start-cube で見たとおり共有点もないので、prop-pll-space により同じ平面の上にはない。$AB$ と $CG$ はねじれの位置にある。
  3 本が同じ平面の上にない場合の推移律を開く

  $AB\parallel DC$、$DC\parallel HG$ からも、cor-pll-space-transitive により $AB\parallel HG$ が出る。$AB$ と $DC$ は平面 $z=0$、$DC$ と $HG$ は平面 $y=1$ の上にあるが、3 本 $AB$、$DC$、$HG$ を全部含む平面はない（含む平面があれば、$A$、$D$、$H$ を通るので平面 $x=0$ だが、$B$ はその上にない）。

座標空間で、$\ell=\{(t,0,0)\}$（$x$ 軸）、$n=\{(t,t,0)\}$、$m=\{(0,s,1)\}$ とする。$m$ の点の $z$ 座標は $1$、$\ell$ と $n$ の点の $z$ 座標は $0$ なので、$\ell$ も $n$ も $m$ と交わらない。しかし $\ell$ と $n$ は原点で交わる。
$\ell$ と $m$ の方向ベクトルは $(1,0,0)$ と $(0,1,0)$ で平行でないので、prop-pll-space により $\ell$ と $m$ は平行ではなく、ねじれの位置にある。$n$ と $m$ も同じである。「同じ平面の上にある」を外して「交わらない」だけを平行の定義にすると、推移律が崩れる。

平行線公準（高校数学） の例「Poincaré 円板の中の平行線」の平面（単位円の内部で、直径と、単位円に直交する円の弧を直線とする）を使う。$\ell$ を $x$ 軸の上の直径、$P=\left(0,\dfrac12\right)$ とすると、円 $(x-h)^2+\left(y-\dfrac54\right)^2=h^2+\dfrac9{16}$ の内部の部分は $P$ を通る直線で、$\lvert h\rvert<1$ なら $\ell$ と交わらない（同じ例で示されている）。
$h=0$ の直線を $a$、$h=\dfrac12$ の直線を $b$ とすると、$a\parallel\ell$、$\ell\parallel b$ で、$a$ と $b$ は中心の違う円なので相異なる。しかし $a$ と $b$ はどちらも $P$ を通るので交わり、平行ではない。この平面は中立幾何の事実 (F1)・(F2) を満たすが（この記事では確かめない）、(F3) を満たさず、推移律 thm-pll-transitive が成り立たない。

座標平面で、線分 $AB$（$A(0,0)$、$B(1,0)$）と線分 $CD$（$C(3,-1)$、$D(3,1)$）は共有点をもたない。しかし、それぞれを延ばした直線 $y=0$ と $x=3$ は点 $(3,0)$ で垂直に交わる。
2 本の延長に横断線 $y=x$ を引くと、交点は $P(0,0)$ と $Q(3,3)$ である。$X(1,0)$ と $Y(3,4)$ は直線 $y=x$ の反対側にあり、錯角は $\angle XPQ=45^\circ$、$\angle PQY=135^\circ$ で等しくない（$\overrightarrow{QP}=(-3,-3)$、$\overrightarrow{QY}=(0,1)$ から $\cos\angle PQY=-\dfrac1{\sqrt2}$）。どんな横断線でも錯角は等しくならない（等しければ (F2) により延長が平行になってしまう）。平行は「線分が交わらない」ではなく「直線が交わらない」ことで定める。