条件付き確率

袋に赤 6 個・青 9 個・緑 5 個の計 20 個の玉が入っている。区別のつく 2 個を順に取り出す（戻さない）試行を、20 個から相異なる 2 個を順に選ぶ $20\cdot19=380$ 通りの一様な確率空間で表す。2 個目が青である事象を $B$、1 個目が赤である事象を $A$ とすると、$P(B)=9/20$、$P(A\cap B)=6\cdot9/380$ なので
$$ P(A\mid B)=\frac{54/380}{9/20}=\frac6{19} $$
であり、何も知らないときの $P(A)=6/20$ より少し大きい（KT17 Discussion 10.8、p. 216。同書は左右のポケットに入れた玉として述べている）。青が 1 個取り出されたと分かれば、残り 19 個の中の赤の割合が問題になるからである。乗法公式で書けば $P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)=\frac9{20}\cdot\frac6{19}$ である。

袋 1 には赤 6・青 9・緑 5 の 20 個、袋 2 には赤 9・青 5・緑 4 の 18 個の玉が入っている。袋を等確率で選び、その袋から 2 個を同時に取り出す。両方とも緑である事象を $G$、袋 $i$ を選ぶ事象を $J_i$ とすると、$P(G\mid J_1)=\binom52/\binom{20}2=\frac1{19}$、$P(G\mid J_2)=\binom42/\binom{18}2=\frac2{51}$ なので、全確率の公式により
$$ P(G)=\frac12\cdot\frac1{19}+\frac12\cdot\frac2{51}=\frac{89}{1938}=0.0459\ldots $$
である（KT17 Example 10.9、pp. 216–217）。さらに Bayes の定理により、2 個とも緑だったときに袋 1 を選んでいた確率は $P(J_1\mid G)=\frac{1/38}{89/1938}=\frac{51}{89}=0.573\ldots$ で、はじめの $1/2$ より大きい。緑の割合が大きい袋 1 のほうが、この結果を起こしやすいからである。

ある病気にかかっている人の割合が $1\%$ で、検査は病気の人の $98\%$ を陽性と判定し、病気でない人の $5\%$ も誤って陽性と判定するとする。無作為に選んだ人が陽性だったとき、その人が病気である確率を求める。病気である事象を $B$、陽性である事象を $A$ とすると、$P(B)=0.01$、$P(A\mid B)=0.98$、$P(A\mid\Omega\setminus B)=0.05$ である。Bayes の定理により
$$ P(B\mid A)=\frac{0.98\cdot0.01}{0.98\cdot0.01+0.05\cdot0.99}=\frac{0.0098}{0.0593}=\frac{98}{593}=0.165\ldots $$
であり、陽性でも病気である確率は約 $17\%$ にすぎない（Sho08 Example 8.13、p. 216）。病気でない人がはるかに多いので、偽の陽性の数が真の陽性の数を上回るからである。$P(A\mid B)=0.98$ と $P(B\mid A)=0.165\ldots$ はまったく異なる。この計算は「無作為に選んだ人」という前提によるもので、症状があって検査を受けた人のように事前の確率 $P(B)$ が違えば、答えも変わる。

次を仮定する。(i) 車は 3 つの扉のどれかに等確率で置かれる。(ii) 挑戦者は扉 1 を選ぶ（扉の番号は付け替えればよい）。(iii) 司会者は車の位置を知っていて、必ず、挑戦者の選ばなかった扉のうちヤギのいる扉を開け、交換を申し出る。(iv) ヤギのいる扉が 2 つあるとき（車が扉 1 のとき）、司会者はどちらを開けるかを等確率で選ぶ。
結果を（車の扉, 開けられた扉）の組で表すと、起こりうる結果とその確率は $(1,2)$：$\frac16$、$(1,3)$：$\frac16$、$(2,3)$：$\frac13$、$(3,2)$：$\frac13$ である（車が扉 2 なら司会者は扉 3 を開けるしかない）。司会者が扉 3 を開けた事象を $O_3$ とすると $P(O_3)=\frac16+\frac13=\frac12$ で、
$$ P(\text{車が扉 1}\mid O_3)=\frac{1/6}{1/2}=\frac13,\qquad P(\text{車が扉 2}\mid O_3)=\frac{1/3}{1/2}=\frac23 $$
である。扉 2 を開けた場合も対称である。したがって、交換すれば確率 $2/3$ で車が当たり、交換しなければ $1/3$ である。全確率の公式で見れば、はじめの選択が正しい確率は $1/3$ で、そのとき交換すると必ず外れ、正しくない（確率 $2/3$）とき交換すると必ず当たる、と言っても同じである（Sho08 Example 8.14、p. 217）。

(iv) を「車が扉 1 のとき、司会者は確率 $q$ で扉 3 を、確率 $1-q$ で扉 2 を開ける」（$0\leq q\leq1$）に変えると、$P(O_3)=\frac q3+\frac13$ で
$$ P(\text{車が扉 1}\mid O_3)=\frac{q/3}{q/3+1/3}=\frac q{1+q} $$
となる。$q=1/2$ なら $1/3$ で上の計算に戻り、$q=1$ なら $1/2$、$q=0$ なら $0$（扉 3 が開いたら車は必ず扉 2）である。どの $q$ でも $\frac q{1+q}\leq\frac12$ なので、交換して損をすることはないが、交換で当たる確率は $2/3$ とは限らない。
(iii) を「司会者は車の位置を知らず、残りの 2 つの扉から等確率で 1 つを開ける」に変え、扉 3 が開いてヤギが見えた事象 $G_3$ を条件にすると、$P(G_3)=\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12=\frac13$（車が扉 1 または扉 2 で、司会者が扉 3 を開ける）で、$P(\text{車が扉 1}\mid G_3)=\frac{1/6}{1/3}=\frac12$ となり、交換しても当たる確率は変わらない。同じ「扉 3 にヤギがいた」という観察でも、それを生んだ仕組みが違えば条件付き確率は違う。司会者が、挑戦者の最初の選択が正しいときだけ扉を開けて交換を勧めるなら、交換は必ず外れる（Sho08 p. 217 の注意）。

公平な硬貨を 3 回投げる（8 通りが一様）。1 回目と 2 回目が一致する事象を $B_{12}$、1 回目と 3 回目が一致する事象を $B_{13}$、2 回目と 3 回目が一致する事象を $B_{23}$ とする。各事象の確率は $\frac12$、どの 2 つの共通部分の確率も $\frac14$ なので、2 つずつ独立である。しかし 2 つが起これば 3 つ目も起こるので $P(B_{12}\cap B_{13}\cap B_{23})=\frac14\ne\frac18$ であり、互いに独立ではない（Sho08 Example 8.15、p. 218）。$B_{12}$ と $B_{13}$ が起こったと知れば $B_{23}$ の条件付き確率は $1$ になる。「2 つずつ独立 $\Rightarrow$ 互いに独立」は成り立たない。

ある病気の 2 つの治療法 X、Y を、仮に次の 200 人の記録で比べる。軽症の人では X が 20 人中 19 人、Y が 80 人中 72 人回復し、重症の人では X が 80 人中 30 人、Y が 20 人中 5 人回復した。200 人から 1 人を一様に選ぶ確率空間で、回復する事象を $R$ とすると
$$ P(R\mid X\cap\text{軽症})=0.95>0.9=P(R\mid Y\cap\text{軽症}),\qquad P(R\mid X\cap\text{重症})=0.375>0.25=P(R\mid Y\cap\text{重症}) $$
で、どちらの群でも X のほうが回復しやすい。ところが全体では $P(R\mid X)=\frac{49}{100}<\frac{77}{100}=P(R\mid Y)$ である。全確率の公式（条件付き確率 $P(\cdot\mid X)$ に使ったもの）$P(R\mid X)=P(R\mid X\cap\text{軽症})P(\text{軽症}\mid X)+P(R\mid X\cap\text{重症})P(\text{重症}\mid X)$ で、重みが X では $0.2,0.8$、Y では $0.8,0.2$ と大きく違うためである。「すべての群で $P(R\mid X\cap C)>P(R\mid Y\cap C)$ $\Rightarrow$ $P(R\mid X)>P(R\mid Y)$」は、群の割合 $P(C\mid X)$ と $P(C\mid Y)$ が等しいという仮定を外すと成り立たない。