中井–Moishezonの判定法

豊富な可逆層 の定理「豊富な可逆層の冪は非常に豊富である」により、ある $r\ge1$ とはめ込み $\iota\colon X\to\mathbb{P}^{M}_k$ で $\mathcal{L}^{\otimes r}\cong\iota^{*}\mathcal{O}(1)$ となるものがあり、$X$ は $k$ 上固有なので $\iota$ の像は閉で、$\iota$ は閉埋め込みである。$d$ についての帰納法で示す。
$d=0$ のとき、$\mathcal{F}$ の台は有限集合なので $i\ge1$ で $H^i(X,\mathcal{F})=0$、$H^0$ は $0$ でない茎の直和であり、$(\mathcal{L}^{0}\cdot\mathcal{F})=\chi(\mathcal{F})=\dim_kH^0(X,\mathcal{F})>0$ である。
$d\ge1$ とする。$\mathcal{F}$ の随伴点は有限個である。各点 $x\in\mathbb{P}^M$ について、$x$ で消える 1 次形式の全体は 1 次形式の空間の真の部分空間であり（ある座標 $x_j$ は $x$ で消えない）、無限体 $k$ の上の有限次元ベクトル空間は有限個の真の部分空間の和集合にならない。よってどの随伴点でも消えない 1 次形式 $\ell$ があり、$s:=\iota^{*}\ell\in\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes r})$ は $\mathcal{F}$ のどの随伴点でも消えない。制限の公式と多重線型性から
$$ r(\mathcal{L}^{d}\cdot\mathcal{F})=(\mathcal{L}^{d-1}\cdot\mathcal{L}^{\otimes r}\cdot\mathcal{F})=(\mathcal{L}^{d-1}\cdot\mathcal{F}/s\mathcal{F}) $$
であり、$\dim\operatorname{Supp}(\mathcal{F}/s\mathcal{F})\le d-1$ である。帰納法の仮定を使うため、等号を示す。
$\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ の $d$ 次元の既約成分 $W$ をとり、被約な構造を入れる。超平面 $H=V(\ell)$ について $W\cap H\ne\emptyset$ である。実際、$W\subset\mathbb{P}^M\setminus H\cong\mathbb{A}^M_k$ なら $W$ はアフィンスキームの閉部分スキームとしてアフィンで、$k$ 上固有なので有限であり（アフィン射 の命題「固有かつアフィンな射は有限射」）、$\dim W=0$ となって矛盾する。$W$ の生成点は $\mathcal{F}$ の随伴点なので $\ell$ はそこで消えず、$W$ と交わる各アフィン開集合 $W\cap D_+(x_j)$（次元 $d$ の整なアフィンスキーム）で $W\cap H$ は $0$ でない 1 つの元 $\ell/x_j$ で定まる。Krullの単項イデアル定理 によりその上の極小素イデアルの高さは $1$ であり、体上有限生成な整域の次元公式によって $W\cap H$ の既約成分の次元は $d-1$ である。$x\in W\cap H$ では $\mathcal{F}_x\ne0$ で $s$ の芽は極大イデアルに属するので、中山の補題により $(\mathcal{F}/s\mathcal{F})_x\ne0$ である。よって $\dim\operatorname{Supp}(\mathcal{F}/s\mathcal{F})=d-1$ であり、帰納法の仮定から右辺は正、したがって $(\mathcal{L}^{d}\cdot\mathcal{F})>0$ である。$\square$

要点：冪零根基による filtration で被約化へ、既約成分のイデアル層の積が $0$ であることで成分の個数についての帰納法へ持ち込み、Serre の判定で高次コホモロジーの消滅を受け渡す。

要点：$H^1(X,\mathcal{M}^{\otimes n})$ の次元が単調に減って一定になることから、$E$ の上の切断が $X$ に持ち上がる。

$\Gamma(X,\mathcal{M})$ は有限次元なので、$\mathcal{M}$ を生成する有限個の切断 $s_0,\dots,s_N$ がとれ、$\varphi^{*}\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{M}$ となる $k$ 上の射 $\varphi\colon X\to\mathbb{P}^{N}_k$ が定まる（射影空間への射 の定理「射影空間への射と切断の組」）。$X$ は $k$ 上固有で $\mathbb{P}^N_k$ は分離的なので、$\varphi$ は固有射である。
すべての点 $y\in\mathbb{P}^N_k$ でファイバー $X_y$ の次元が $0$ 以下であることを示す。$\{\,y\mid\dim X_y\ge1\,\}$ は $\mathbb{P}^N_k$ の閉集合である（ファイバーの次元の上半連続性 の系「閉写像のファイバーの次元」）。空でなければ、$k$ 上有限型のスキームの空でない閉集合として閉点 $y$ を含む。$X_y$ の次元 $d\ge1$ の既約成分に被約な構造を入れたものを $Z$ とすると、$Z$ は $X$ の整な閉部分スキームで、$\varphi(Z)=\{y\}$ である。$y\in D_+(x_i)$ となる $i$ をとると $\varphi|_Z$ は $D_+(x_i)$ を経由し、その上で $\mathcal{O}(1)$ は自明なので、$\mathcal{M}|_Z\cong(\varphi|_Z)^{*}\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}_Z$ である。rem-nm-trivial により $(\mathcal{M}^{d}\cdot Z)=0$ となり、仮定に反する。
よって各ファイバーは $\kappa(y)$ 上有限型の $0$ 次元以下のスキームで、点は有限個である。$\varphi$ は有限型なので準有限であり、固有かつ準有限だから有限射である（準有限射 の定理「固有かつ準有限なら有限」）。$\mathcal{O}(1)$ は豊富なので、豊富な可逆層 の命題「有限射による引き戻し」により $\mathcal{M}\cong\varphi^{*}\mathcal{O}(1)$ は豊富である。$\square$

$X$ の次元 $n$ についての帰納法で示す。すなわち、次元 $n$ 未満の射影スキームでは、条件をみたす可逆層は豊富であると仮定する。条件は閉部分スキームへ制限しても保たれる（閉部分スキームの整な閉部分スキームは $X$ のそれである）。
次元 0。 $X$ は Artin 局所環の $\operatorname{Spec}$ の有限個の非交和でアフィンであり、アフィンな Noether スキームの上ではすべての連接層が大域切断で生成されるので、$\mathcal{L}$ は豊富である。
段 1：整な場合への帰着。 $n\ge1$ とする。lem-nm-reduction により、各既約成分 $X_j$（被約な構造）の上で $\mathcal{L}|_{X_j}$ が豊富であることを示せばよい。$\dim X_j< n$ なら帰納法の仮定による。よって $X$ は整で $\dim X=n$ としてよい。このとき $X$ の真の閉部分スキームの次元は $n$ 未満なので、帰納法の仮定により、$\mathcal{L}$ のそれらへの制限は豊富である。
段 2：冪の切断の存在。 $\mathcal{H}:=\mathcal{O}_X(1)$ は非常に豊富なので豊富であり、$a\ge1$ があって $\mathcal{L}\otimes\mathcal{H}^{\otimes a}$ と $\mathcal{H}^{\otimes a}$ はどちらも大域切断で生成される。$X\ne\emptyset$ なので $0$ でない切断 $s\in\Gamma(X,\mathcal{L}\otimes\mathcal{H}^{\otimes a})$、$t\in\Gamma(X,\mathcal{H}^{\otimes a})$ がある。$X$ は整なので $s,t$ の掛け算は単射で、零点の閉部分スキームを $A$、$B$ とすると、$\mathcal{L}\cong(\mathcal{L}\otimes\mathcal{H}^{\otimes a})\otimes(\mathcal{H}^{\otimes a})^{\vee}$ から完全列
$$ 0\to\mathcal{L}^{\otimes m}\otimes\mathcal{H}^{\otimes(-a)}\to\mathcal{L}^{\otimes(m+1)}\to\mathcal{L}^{\otimes(m+1)}|_A\to0,\qquad 0\to\mathcal{L}^{\otimes m}\otimes\mathcal{H}^{\otimes(-a)}\to\mathcal{L}^{\otimes m}\to\mathcal{L}^{\otimes m}|_B\to0 $$
を得る（前者は $s$、後者は $t$ による）。$A,B$ は $X$ の真の閉部分スキームなので $\mathcal{L}|_A$、$\mathcal{L}|_B$ は豊富であり、Serre の判定により $m_0$ があって $m\ge m_0$ で両端の層の高次コホモロジーは消える。2 つの長完全列から、$i\ge2$ と $m\ge m_0$ について
$$ H^i(X,\mathcal{L}^{\otimes m})\cong H^i(X,\mathcal{L}^{\otimes m}\otimes\mathcal{H}^{\otimes(-a)})\cong H^i(X,\mathcal{L}^{\otimes(m+1)}) $$
なので、$h^i(X,\mathcal{L}^{\otimes m})$（$i\ge2$）は $m\ge m_0$ で一定値 $c_i$ をとる。したがって
$$ \chi(\mathcal{L}^{\otimes m})=h^0(X,\mathcal{L}^{\otimes m})-h^1(X,\mathcal{L}^{\otimes m})+\sum_{i\ge2}(-1)^ic_i\le h^0(X,\mathcal{L}^{\otimes m})+C $$
（$C$ は $m$ によらない定数）である。漸近 Riemann–Roch により $\chi(\mathcal{L}^{\otimes m})=\frac{(\mathcal{L}^{n}\cdot X)}{n!}m^{n}+(\text{低次})$ であり、仮定から $(\mathcal{L}^{n}\cdot X)>0$、$n\ge1$ なので、$m\to\infty$ で $\chi(\mathcal{L}^{\otimes m})\to\infty$ である。よってある $m_1\ge1$ で $\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes m_1})\ne0$ である。
段 3：大域生成。 $0$ でない $\sigma\in\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes m_1})$ の零点を $E$ とする。$E$ は真の閉部分スキームなので $\mathcal{L}|_E$ は豊富で、その冪 $\mathcal{L}^{\otimes m_1}|_E$ も豊富である（豊富な可逆層 の命題「テンソル積と冪」）。lem-nm-generation により、ある $q\ge1$ で $\mathcal{M}:=\mathcal{L}^{\otimes m_1q}$ は大域切断で生成される。
段 4：有限性。 整な閉部分スキーム $Z$（$d=\dim Z\ge1$）について、多重線型性から $(\mathcal{M}^{d}\cdot Z)=(m_1q)^{d}(\mathcal{L}^{d}\cdot Z)>0$ である。lem-nm-finite により $\mathcal{M}$ は豊富であり、豊富な可逆層 の命題「テンソル積と冪」の 1 により $\mathcal{L}$ も豊富である。$\square$

1：$1$ 次元の $X$ の整な閉部分スキームで次元が $1$ のものは、$1$ 次元の既約成分に被約な構造を入れたものに限る。2：整な $2$ 次元の $X$ の整な閉部分スキームで次元が $1$ 以上のものは、$X$ 自身と整な曲線である。いずれも thm-nm-main の条件を書き下したものである。$\square$

交叉数 $(\mathcal{L}^{d}\cdot Y)$ は $\mathcal{L}$ の数値的同値類だけで決まる（数値同値 の定理「数値的に自明な可逆層の交叉数」）。thm-nm-main の条件は交叉数だけで書かれているので、主張が従う。$\square$