相加平均と相乗平均

2 数の場合：

3 数の場合：$1,3,9$ では相加平均 $\frac{1+3+9}3=\frac{13}3=4.33\ldots$、相乗平均 $\sqrt[3]{27}=3$ である。$2,4,8$ では相加平均 $\frac{14}3=4.66\ldots$、相乗平均 $\sqrt[3]{64}=4$ である。
どの例でも相乗平均は相加平均以下であり、2 つが等しいのは $4,4$ のようにすべての数が等しいときだけである。また、$2,8$ と $1,9$ は和が同じ $10$ なので相加平均は同じ $5$ だが、差が大きい $1,9$ のほうが相乗平均は小さい。

$a=2$、$b=8$ のとき、相加平均 − 相乗平均 $=5-4=1$ である。一方、$\sqrt2$ と $\sqrt8=2\sqrt2$ の差の 2 乗の半分は
$$ \frac12\bigl(\sqrt8-\sqrt2\bigr)^2=\frac12\bigl(2\sqrt2-\sqrt2\bigr)^2=\frac12\bigl(\sqrt2\bigr)^2=\frac12\cdot2=1 $$
であり、確かに一致する。
$a=1$、$b=9$ のとき、相加平均 − 相乗平均 $=5-3=2$ であり、
$$ \frac12\bigl(\sqrt9-\sqrt1\bigr)^2=\frac12(3-1)^2=\frac12\cdot4=2 $$
である。これも一致する。

図 1 は $a=1$、$b=4$ でかいてある。半径は $r=\frac{1+4}2=2.5$、$\mathrm{OP}=\frac{|4-1|}2=1.5$ なので
$$ \mathrm{PQ}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt4=2 $$
であり、確かに $\sqrt{ab}=\sqrt{1\cdot4}=2$ と一致する。赤い垂線（長さ $2$）は青い半径（長さ $2.5$）より短い。

$x>0$ のとき、$x+\frac4x$ の最小値を求める。
$x$ と $\frac4x$ はどちらも正で、積は $x\cdot\frac4x=4$ で一定である。rem-agm-two-patterns の 1 により
$$ x+\frac4x\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}=2\sqrt4=4 $$
である。等号は $x=\frac4x$ のとき、つまり $x^2=4$ で $x>0$ より $x=2$ のときに成り立つ。$x=2$ は範囲 $x>0$ に入っているので、最小値は $4$（$x=2$ のとき）である。
いくつかの値で確かめる：$x=1$ で $1+4=5$、$x=2$ で $2+2=4$、$x=4$ で $4+1=5$、$x=\frac12$ で $\frac12+8=8.5$。どれも $4$ 以上であり、$x=2$ で $4$ になる。

周の長さが $20$ の長方形の縦を $a$、横を $b$ とすると、$2(a+b)=20$ より $a+b=10$ である。rem-agm-two-patterns の 2 により
$$ ab\le\frac{10^2}4=25 $$
であり、等号は $a=b=5$ のときに成り立つ。よって面積の最大値は $25$ で、そのとき長方形は 1 辺 $5$ の正方形である。
確かめ：縦 $3$・横 $7$ で面積 $21$、縦 $4$・横 $6$ で面積 $24$、縦 $5$・横 $5$ で面積 $25$。

$x>1$ のとき、$x+\frac1{x-1}$ の最小値を求める。このままでは $x$ と $\frac1{x-1}$ の積 $\frac x{x-1}$ が一定でないので、rem-agm-two-patterns の 1 は使えない。
そこで $t:=x-1$ とおく。$x>1$ より $t>0$ であり、$x=t+1$ なので
$$ x+\frac1{x-1}=t+\frac1t+1 $$
である。$t$ と $\frac1t$ の積は $1$ で一定なので、$t+\frac1t\ge2\sqrt1=2$ であり、
$$ x+\frac1{x-1}=t+\frac1t+1\ge2+1=3 $$
となる。等号は $t=\frac1t$、つまり $t=1$（$x=2$）のときに成り立つ。よって最小値は $3$（$x=2$ のとき）である。
確かめ：$x=2$ で $2+1=3$、$x=3$ で $3+\frac12=3.5$、$x=\frac32$ で $\frac32+2=3.5$。

$p=1$、$q=2$、$r=3$ とする。左辺は $1+8+27-3\cdot6=36-18=18$ である。右辺は
$$ \frac12(1+2+3)\bigl((1-2)^2+(2-3)^2+(3-1)^2\bigr)=\frac12\cdot6\cdot(1+1+4)=18 $$
であり、一致する。$p=q=r=2$ なら左辺は $8+8+8-24=0$、右辺も 2 乗がすべて $0$ なので $0$ である。

縦・横・高さの和が $12$ の直方体の体積の最大値を求める。縦・横・高さを $a,b,c$ とすると $a+b+c=12$ であり、thm-agm-three より $\sqrt[3]{abc}\le\frac{12}3=4$、両辺を 3 乗して $abc\le64$ である。等号は $a=b=c=4$ のときに成り立つので、最大値は $64$（1 辺 $4$ の立方体）である。
確かめ：$3\times4\times5=60$、$2\times4\times6=48$ はどちらも $64$ より小さい。

$x>0$ のとき、$x^2+\frac2x$ の最小値を求める。
2 数 $x^2$ と $\frac2x$ に thm-agm-two を使うと $x^2+\frac2x\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac2x}=2\sqrt{2x}$ となるが、右辺が $x$ によって変わるので、最小値はわからない。積 $x^2\cdot\frac2x=2x$ が一定でないからである。
そこで $\frac2x=\frac1x+\frac1x$ と 2 つに分け、3 数 $x^2,\frac1x,\frac1x$ を考える。この 3 数の積は $x^2\cdot\frac1x\cdot\frac1x=1$ で一定である。thm-agm-three の両辺を 3 倍して
$$ x^2+\frac2x=x^2+\frac1x+\frac1x\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\frac1x\cdot\frac1x}=3\sqrt[3]1=3 $$
である。等号は $x^2=\frac1x$、つまり $x^3=1$ で $x=1$ のときに成り立つ。よって最小値は $3$（$x=1$ のとき）である。
確かめ：$x=1$ で $1+2=3$、$x=2$ で $4+1=5$、$x=\frac12$ で $\frac14+4=4.25$。

正の数 $p,q,r,s$ について、まず $p,q$ の組と $r,s$ の組に thm-agm-two を使い、次に 2 数 $\sqrt{pq}$、$\sqrt{rs}$ に thm-agm-two を使うと
$$ \frac{p+q+r+s}4=\frac12\Bigl(\frac{p+q}2+\frac{r+s}2\Bigr)\ge\frac{\sqrt{pq}+\sqrt{rs}}2\ge\sqrt{\sqrt{pq}\sqrt{rs}}=\sqrt[4]{pqrs} $$
となる。最後の等号は $\sqrt{\sqrt{pq}\sqrt{rs}}$ を 4 乗すると $pqrs$ になることからわかる。
数値例：$1,2,4,8$ では、相加平均は $\frac{15}4=3.75$、相乗平均は $\sqrt[4]{64}=2\sqrt2=2.828\ldots$ である。
5 個以上の場合と、数ごとに重みを付けた場合は 平均の大小関係 で扱う。

$a=-1$、$b=-4$ とする。$ab=4>0$ なので $\sqrt{ab}=2$ は計算できるが、相加平均は $\frac{-1-4}2=-\frac52$ であり、$-\frac52\ge2$ は成り立たない。prf-thm-agm-two の段 1 で使った $a=\bigl(\sqrt a\bigr)^2$ は、$a<0$ では $\sqrt a$ が実数にならないので使えない。「$a,b$ が正（または $0$）」という仮定を外すと、不等式は成り立たなくなる。

$x\ge2$ の範囲で $x+\frac1x$ の最小値を求める。
thm-agm-two から $x+\frac1x\ge2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2$ は成り立つ。しかし等号の条件 $x=\frac1x$ は $x=1$ であり、範囲 $x\ge2$ に入らない。したがって、$x\ge2$ で $x+\frac1x=2$ となる $x$ はなく、$2$ は最小値ではない。
正しい最小値を求める。$2\le x< y$ とすると
$$ \Bigl(y+\frac1y\Bigr)-\Bigl(x+\frac1x\Bigr)=(y-x)-\frac{y-x}{xy}=(y-x)\Bigl(1-\frac1{xy}\Bigr) $$
である。$y-x>0$ であり、$xy>2\cdot2=4>1$ なので $1-\frac1{xy}>0$ である。よって右辺は正であり、$x+\frac1x$ は $x\ge2$ で増加する。したがって最小値は $x=2$ のときの $2+\frac12=\frac52$ である（$x=3$ では $\frac{10}3$ で、確かに大きい）。

$x>0$ のとき、$x+\frac1{x^2}$ の最小値を求める。
2 数 $x$、$\frac1{x^2}$ に thm-agm-two を使うと $x+\frac1{x^2}\ge2\sqrt{\frac1x}$ となる。右辺は $x$ によって変わるので、これでは最小値はわからない。たとえば $x=1$ では右辺は $2$ で、左辺も $2$ となり等号が成り立つが、$x=\frac32$ では左辺は $\frac32+\frac49=1.944\ldots$ で、$2$ より小さい。「等号が成り立つ点の値 $2$」は最小値ではない。
直し方：$x=\frac x2+\frac x2$ と分けると、3 数 $\frac x2,\frac x2,\frac1{x^2}$ の積は $\frac14$ で一定になる。thm-agm-three により
$$ x+\frac1{x^2}=\frac x2+\frac x2+\frac1{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac x2\cdot\frac x2\cdot\frac1{x^2}}=3\sqrt[3]{\frac14}=\frac3{\sqrt[3]4}=1.8898\ldots $$
であり、等号は $\frac x2=\frac1{x^2}$、つまり $x^3=2$ で $x=\sqrt[3]2$ のときに成り立つ。よって最小値は $\frac3{\sqrt[3]4}$ である。