PL多様体
概要
PL多様体（PL manifold）とは、各点が $\mathbb{R}^n$ の開集合と区分線形同相（PL 同相）な近傍をもつ多面体、あるいは座標変換が区分線形な同相写像であるアトラスをもつ位相多様体である。単体複体 $K$ については、多面体 $|K|$ が PL $n$ 次元多様体であることと、各頂点のリンクが $n$ 単体の境界と PL 同相（PL $(n-1)$ 球面）であることが同値であり、この条件を満たす単体複体を組合せ多様体という。滑らかな多様体と位相多様体の中間の構造で、滑らかな多様体は PL 構造を一意にもつが、どちらの逆も一般には成り立たない。
三角形や四面体を面どうしで貼り合わせて多様体を作るとき、貼り合わせ方は有限個の頂点と単体の組合せで記録できる。このように単体複体として与えられた多様体、あるいは座標変換が区分線形な同相写像であるアトラスをもつ多様体を PL 多様体（piecewise linear manifold、区分線形多様体）という。単体複体の側から見ると、PL 多様体であることは「各頂点のまわりの様子（リンク）が球面を区分線形に変形したものである」という組合せ的な条件（リンクの条件）で判定でき、この条件を満たす単体複体を組合せ多様体（combinatorial manifold）という。
PL 多様体は、滑らかな多様体と位相多様体の中間に位置する。滑らかな多様体は PL 構造をただ 1 つもち（Whitehead三角形分割）、PL 多様体は位相多様体であるが、どちらの逆も一般には成り立たない（多様体の構造の階層）。この記事では、区分線形写像（PL 写像）と PL 同相写像を定義してその基本性質を証明し、PL 多様体と組合せ多様体を定義したうえで、単体複体の多面体が PL 多様体であることと、各頂点のリンクが PL 球面であることが同値であることを完全に証明する。
多面体と PL 写像
以下、単体・単体複体・多面体・重心座標・台の用語は単体複体の記事にしたがう。この記事では、$\mathbb{R}^N$ の幾何的単体複体 $K$ はつねに局所有限であるとする：$|K|$ の各点が、$K$ の有限個の単体としか交わらない $\mathbb{R}^N$ の近傍をもつ。このとき $|K|$ の弱位相は $\mathbb{R}^N$ からの相対位相と一致する。実際、弱位相で閉集合の $F$ と、$F$ の相対位相での閉包の点 $x$ をとり、$x$ の近傍 $W$ が交わる単体を $\sigma_1,\dots,\sigma_m$ とすると、$F\cap W\subset\bigcup_i(F\cap\sigma_i)$ で右辺は $\mathbb{R}^N$ の閉集合なので $x\in F$ である。以下、多面体には相対位相を入れる。
$\mathbb{R}^N$ の部分集合 $X$ が局所多面体であるとは、$X$ の各点 $a$ が、$X$ に含まれる有限個の単体の和集合であるような $X$ の中の近傍をもつことをいう。局所有限な単体複体の多面体 $|K|$ は局所多面体である（$a$ の近傍 $W$ が交わる有限個の単体のうち $a$ を含まないものはコンパクトなので、$W$ を小さくすれば $W\cap|K|$ は $a$ を含む単体の和集合に含まれる）。$\mathbb{R}^n$ の開集合も局所多面体である（各点は、自分を内部に含む小さな $n$ 単体を近傍にもつ）。
$\mathbb{R}^N$ の有界な部分集合で、有限個の閉半空間 $\{x\mid h(x)\le0\}$（$h$ はアフィン関数）の共通部分として書けるものを凸胞（convex cell）という。空集合と 1 点も凸胞とみなす。
単体は凸胞である（重心座標が $0$ 以上という条件と、単体の張るアフィン部分空間を定める等式（2 つの半空間の共通部分）で書ける）。2 つの凸胞の共通部分は凸胞であり、凸胞 $C$ とアフィン写像 $A\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$ と凸胞 $E\subset\mathbb{R}^M$ について $C\cap A^{-1}(E)$ は凸胞である（$h\circ A$ はアフィン関数）。この記事の証明の多くは、次の補題に帰着する。
$C_1,\dots,C_r$ を $\mathbb{R}^N$ の凸胞とする。有限な単体複体 $T$ で、$|T|=C_1\cup\dots\cup C_r$ であり、各 $C_j$ が $T$ のある部分複体の多面体であるものが存在する。とくに $T$ の各単体は、ある $C_j$ に含まれる。
要点：凸胞を定める超平面の全体で空間を「符号のそろった開胞」に分け、各開胞から 1 点ずつ選んで、開胞の包含の鎖ごとに選んだ点を頂点とする単体をとる。これは開胞の分割の重心細分にあたる。
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段 1（開胞）．アフィン関数 $h_1,\dots,h_m$ を、各 $C_j$ がそのいくつかについての $\{h_k\le0\}$ の共通部分になるようにとる（$C_j$ が空なら除いてよい）。$x\in\mathbb{R}^N$ の符号 $s(x)\in\{-1,0,1\}^m$ を $s(x)_k:=\operatorname{sgn}h_k(x)$ で定め、空でない集合 $c_s:=\{x\mid s(x)=s\}$ を開胞という。開胞は $\mathbb{R}^N$ を互いに交わらずに覆い、有限個である。$A_s:=\{x\mid h_k(x)=0\ (s_k=0)\}$ とおくと、$c_s$ は $A_s$ と開半空間 $\{s_kh_k>0\}$（$s_k\ne0$）の共通部分なので、凸で、アフィン部分空間 $A_s$ の空でない開集合であり、$c_s$ の張るアフィン部分空間は $A_s$ である。$\dim c_s:=\dim A_s$ とおく。$C_j$ に属するかどうかは符号だけで決まるので、各 $C_j$ は開胞の和集合である。$C_1\cup\dots\cup C_r$ に含まれる開胞の全体を $\mathcal{C}$ とする。$\mathcal{C}$ の開胞は有界である。
段 2（閉包）．符号 $s'$、$s$ について、各 $k$ で $s'_k\in\{0,s_k\}$ であることを $s'\preceq s$ と書き、開胞についても $c_{s'}\preceq c_s$ と書く。開胞 $c=c_s$ の閉包は $\{x\mid s(x)\preceq s\}$ に等しい。実際、$\subset$ は $h_k$ の連続性による。逆に $s(x)\preceq s$ とし $y\in c$ をとると、$0<\lambda\le1$ について $h_k((1-\lambda)x+\lambda y)=(1-\lambda)h_k(x)+\lambda h_k(y)$ の符号は $s_k$ である（$s_k=0$ なら両項が $0$、$s_k\ne0$ なら第 1 項は $0$ か符号 $s_k$、第 2 項は符号 $s_k$）。よって $x$ は $c$ の点列の極限である。同じ計算で、$z\in\overline{c}$、$b\in c$、$0\le\lambda<1$ なら $(1-\lambda)b+\lambda z\in c$ である。したがって $\overline{c}$ は $c'\preceq c$ となる開胞 $c'$ の和集合であり、$c'\preceq c$、$c'\ne c$ なら $c'\subset\overline{c}\setminus c$ で、$(s')_l=0\ne s_l$ となる $l$ について $A_{s'}\subset A_s\cap\{h_l=0\}$ は $A_s$ の真のアフィン部分空間なので $\dim c'<\dim c$ である。$c\subset C_j$ なら $\overline{c}\subset C_j$（$C_j$ は閉集合）なので、$\mathcal{C}$ は $\preceq$ で下に閉じている。
段 3（半直線）．$c\in\mathcal{C}$、$b\in c$、$x\in\overline{c}\setminus\{b\}$ とする。$\overline{c}$ はコンパクトな凸集合なので $u^*:=\max\{u\ge0\mid b+u(x-b)\in\overline{c}\}$ が存在し、$u^*\ge1$ である。$0\le u< u^*$ なら $b+u(x-b)=(1-\lambda)b+\lambda z$（$z:=b+u^*(x-b)\in\overline{c}$、$\lambda:=u/u^*<1$）なので段 2 により $c$ に属する。$y:=b+u^*(x-b)$ は $c$ に属さない：属すれば、$c$ は $A_s$ の開集合で半直線は $A_s$ に含まれるので、少し先の点も $c$ に属し $u^*$ の最大性に反する。よって $x=(1-t)b+ty$（$t:=1/u^*\in(0,1]$、$y\in\overline{c}\setminus c$）と書け、半直線上で $\overline{c}\setminus c$ に属する点は $y$ だけなので、この表し方はただ 1 通りである。$x\in c$ なら $t<1$ である。
段 4（単体）．各 $c\in\mathcal{C}$ から点 $b_c\in c$ を 1 つ選ぶ。$\mathcal{C}$ の鎖 $c_0\prec c_1\prec\dots\prec c_k$（$\preceq$ かつ $\ne$）ごとに $\sigma(c_0,\dots,c_k):=\operatorname{conv}\{b_{c_0},\dots,b_{c_k}\}$ とおく。$b_{c_0},\dots,b_{c_k}$ はアフィン独立である：$k$ についての帰納法で、$b_{c_0},\dots,b_{c_{k-1}}\in\overline{c_{k-1}}\subset A_{s_{k-1}}\subset\{h_l=0\}$（$l$ は $(s_{k-1})_l=0\ne(s_k)_l$ となるもの）だが $h_l(b_{c_k})\ne0$ だからである。さらに次の (a)(b) が成り立つ。(a) $\sigma(c_0,\dots,c_k)$ の相対内部（重心座標がすべて正の点）は $c_k$ に含まれる。$k$ についての帰納法で、相対内部の点は $(1-t)b_{c_k}+ty$（$0< t<1$、$y$ は $\sigma(c_0,\dots,c_{k-1})$ の相対内部の点で、帰納法の仮定により $c_{k-1}\subset\overline{c_k}$ に属する）と書けるので、段 2 により $c_k$ に属する。(b) $C_1\cup\dots\cup C_r$ の各点 $x$ は、ただ 1 つの鎖の単体の相対内部に属する。存在は $x$ の属する開胞 $c$ の次元についての帰納法による：$x=b_c$ なら鎖 $(c)$ をとる。そうでなければ段 3 により $x=(1-t)b_c+ty$（$0< t<1$、$y\in\overline{c}\setminus c$）で、$y$ の属する開胞 $c'$ は $c'\prec c$ を満たし次元が小さいので、帰納法の仮定により $y$ はある鎖 $c_0\prec\dots\prec c_{k-1}=c'$ の単体の相対内部に属し、$x$ は鎖 $c_0\prec\dots\prec c'\prec c$ の単体の相対内部に属する。一意性：$x$ が鎖 $c_0\prec\dots\prec c_k$ の単体の相対内部に属すれば、(a) により $c_k$ は $x$ の属する開胞である。$k\ge1$ なら $x=(1-t)b_{c_k}+ty$（$0< t<1$、$y\in c_{k-1}\subset\overline{c_k}\setminus c_k$）と書け、段 3 の一意性により $x\ne b_{c_k}$ で $(t,y)$ は $x$ から決まるので、帰納法により鎖全体が $x$ から決まる。$x=b_{c_k}$ となるのは $k=0$ のときに限る。
段 5（単体複体であること）．鎖の単体の全体を $T$ とする。$\sigma(c_0,\dots,c_k)$ の面は部分鎖の単体なので $T$ に属する。各単体はその面の相対内部の互いに交わらない和集合であり、(b) により異なる鎖の単体の相対内部は交わらないので、2 つの鎖 $D_1$、$D_2$ の単体の共通部分は、共通の部分鎖の単体の相対内部の和集合、すなわち $D_1\cap D_2$（空でなければ鎖）の単体であり、空でなければ両者の共通の面である。よって $T$ は有限な単体複体である。各単体 $\sigma(c_0,\dots,c_k)$ は凸集合 $\overline{c_k}$ に含まれ、$\overline{c_k}\subset C_1\cup\dots\cup C_r$ なので、(b) とあわせて $|T|=C_1\cup\dots\cup C_r$ である。最後に、$c_k\subset C_j$ となる鎖の単体の全体 $T_j$ は、面で閉じていて（部分鎖の最後の開胞は $\overline{c_k}\subset C_j$ に含まれる）部分複体であり、$|T_j|\subset C_j$ である。逆に $x\in C_j$ は、(b) の鎖の単体の相対内部に属し、その最後の開胞は $x$ の属する開胞で $C_j$ に含まれるので $x\in|T_j|$ である。よって $C_j=|T_j|$ である。「とくに」の部分：$T$ の単体 $\tau$ の相対内部の点はある $C_j=|T_j|$ に属し、台の一意性により $\tau$ は $T_j$ のある単体の面、すなわち $T_j$ に属するので $\tau\subset C_j$ である。$\square$
この補題は、RS82 Theorem 2.11・Addendum 2.12（p. 16）と同じ内容を、胞体複体の一般論を使わずに示したものである。
$X\subset\mathbb{R}^N$ を局所多面体とする。写像 $f\colon X\to\mathbb{R}^M$ が区分線形（piecewise linear）あるいは PL であるとは、$X$ の各点 $a$ が、$X$ に含まれる有限個の単体 $\Delta_1,\dots,\Delta_q$ の和集合であるような $X$ の中の近傍をもち、各 $\Delta_i$ の上で $f$ がアフィン写像（$\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$ のアフィン写像の制限）に一致することをいう。局所多面体 $Y\subset\mathbb{R}^M$ に値をとる PL 写像 $f\colon X\to Y$ が同相写像であるとき、$f$ を PL 同相写像（PL homeomorphism）といい、そのようなものがあるとき $X$ と $Y$ は PL 同相であるという。
PL 写像は、各点の近くで有限個の閉集合の上で連続なので、連続である。$\mathbb{R}^n$ の開集合の間の写像については、この定義は多様体の構造の階層の記事の定義「TOP・DIFF・PL・LIP」の区分線形写像と同じである。RS82 1.4（p. 5）は PL 写像を「各点の錐近傍の上で錐的」と定義するが、局所多面体の上では同値である（同書 Theorem 2.2・Corollary 2.3、p. 12、および 1.5 (4)、p. 5）。
$X$、$Y$、$Z$ を局所多面体とする。
(R1) アフィン写像の $X$ への制限は PL である。とくに恒等写像は PL である。
(R2) $f\colon X\to\mathbb{R}^M$ が PL で、$X'\subset X$ が局所多面体なら、$f|_{X'}$ は PL である。
(R3) $f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ が PL なら、$g\circ f$ は PL である。
(R4) $f\colon X\to Y$ が PL 同相写像なら、逆写像 $f^{-1}$ も PL である。
(R5) $X$ の開集合、局所多面体の有限個の共通部分は、局所多面体である。
要点：(ii)(iii)(v) は、近傍を作る単体どうしの共通部分や逆像（凸胞）を lem-plm-cells で単体に分け直せばよい。(iv) は、単射なアフィン写像が単体を単体の上へ写し、その逆写像がまたアフィンであることによる。
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(i) は定義から明らかである（近傍として $a$ を含む単体を 1 つとればよい）。
(ii)：$a\in X'$ について、$X'$ の中の近傍 $Q=E_1\cup\dots\cup E_p$（$E_j$ は単体）と、$X$ の中の近傍 $P=\Delta_1\cup\dots\cup\Delta_q$（$f$ は各 $\Delta_i$ の上でアフィン）をとる。凸胞 $E_j\cap\Delta_i$ の和集合 $P\cap Q$ は $a$ の $X'$ の中の近傍であり、lem-plm-cells により、それぞれがある $E_j\cap\Delta_i$ に含まれる有限個の単体の和集合である。$f$ はその各単体の上でアフィンである。
(iii)：$a\in X$ について、$a$ の近傍 $P=\Delta_1\cup\dots\cup\Delta_q$ で $f|_{\Delta_i}$ がアフィン写像 $A_i$ に一致するものと、$f(a)$ の近傍 $Q=E_1\cup\dots\cup E_p$ で $g|_{E_j}$ がアフィン写像 $B_j$ に一致するものをとる。凸胞 $C_{ij}:=\Delta_i\cap A_i^{-1}(E_j)$ の和集合は $P\cap f^{-1}(Q)$ に等しく、$f$ の連続性により $a$ の近傍である。lem-plm-cells によりこれは、それぞれがある $C_{ij}$ に含まれる有限個の単体の和集合であり、$C_{ij}$ の上で $g\circ f=B_j\circ A_i$ はアフィンである。
(iv)：$b=f(a)\in Y$ とし、$a$ の近傍 $P=\Delta_1\cup\dots\cup\Delta_q$ で $f|_{\Delta_i}=A_i|_{\Delta_i}$（$A_i$ はアフィン）となるものをとる。$f$ は同相写像なので $f(P)$ は $b$ の近傍である。各 $\Delta_i=[w_0,\dots,w_k]$ について、$A_i(w_0),\dots,A_i(w_k)$ はアフィン独立である。実際、$\sum_j\lambda_jA_i(w_j)=0$、$\sum_j\lambda_j=0$ で $\lambda\ne0$ とすると、$v:=\sum_j\lambda_jw_j\ne0$ であり（$w_j$ はアフィン独立）、$\Delta_i$ の重心 $p$ と小さい $\varepsilon>0$ について $p+\varepsilon v\in\Delta_i$ かつ $A_i(p+\varepsilon v)=A_i(p)+\varepsilon\sum_j\lambda_jA_i(w_j)=A_i(p)$ となり、$f$ の単射性に反する。よって $f(\Delta_i)$ は $A_i(w_j)$ を頂点とする単体であり、その上で $f^{-1}$ は $A_i(w_j)\mapsto w_j$ で定まるアフィン写像に一致する（アフィン独立な点での値はアフィン写像に拡張できる）。$f(P)=\bigcup_if(\Delta_i)$ なので $f^{-1}$ は PL である。
(v)：開集合 $U\subset X$ と $a\in U$ について、$a$ の近傍 $P=\Delta_1\cup\dots\cup\Delta_q$ と、$\mathbb{R}^N$ の小さい立方体 $Q\ni a$ で $Q\cap X\subset U$ となるものをとると、$\bigcup_i(\Delta_i\cap Q)$ は $a$ の $U$ の中の近傍で、lem-plm-cells により有限個の単体の和集合である。2 つの局所多面体の共通部分も、2 つの近傍の単体どうしの共通部分（凸胞）に lem-plm-cells を使えばよい。$\square$
(iv) により、PL 同相写像の逆写像はまた PL 同相写像であり、(iii) とあわせて、PL 同相は同値関係である。RS82 1.6 (2)(5)（pp. 5–6）はこれらを演習としている。この命題から、$\mathbb{R}^n$ の開集合の間の PL 同相写像の全体は、多様体の構造の階層の記事の定義「座標変換の類と構造」の 4 条件（恒等写像を含む、合成と逆写像で閉じる、開集合への制限で閉じる、各点の近くで属すれば属する）を満たす。最後の条件は PL 写像の定義が局所的であることによる。
錐の上への拡張も、この記事で何度も使う。コンパクトな局所多面体 $L\subset\mathbb{R}^N$ と点 $a$ について $aL:=\{(1-t)a+ty\mid0\le t\le1,\ y\in L\}$ とおき、$a\notin L$ で、$aL$ の $a$ 以外の各点が $(1-t)a+ty$（$0< t\le1$、$y\in L$）とただ 1 通りに書けるとき、$aL$ を $a$ を頂点とする $L$ 上の錐という。
$aL\subset\mathbb{R}^N$、$bL'\subset\mathbb{R}^{N'}$ を錐とし、$h\colon L\to L'$ を PL 同相写像とする。$\hat h((1-t)a+ty):=(1-t)b+t\,h(y)$ で定まる写像 $\hat h\colon aL\to bL'$ は PL 同相写像であり、$a$ を $b$ に、$L$ を $L'$ の上に写す。
要点：$L$ を $h$ がアフィンになる有限個の単体に分けると、錐の条件から $a$ と各単体の頂点はアフィン独立で、$\hat h$ は各単体 $a\Delta_i$ の上でアフィンになる。
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表し方の一意性により $\hat h$ は矛盾なく定まる。$L$ はコンパクトなので、有限個の単体 $\Delta_1,\dots,\Delta_q$ で $L=\bigcup_i\Delta_i$、$h|_{\Delta_i}$ がアフィンとなるものがとれる（各点の近傍の内部のうち有限個で $L$ を覆う）。
$a$ と $\Delta_i$ の頂点はアフィン独立である。そうでなければ $a$ は $\Delta_i$ の張るアフィン部分空間に属し、$\Delta_i$ の重心 $p$ について $d:=p-a\ne0$（$a\notin L$）とおくと、小さい $\delta>0$ で $p\pm\delta d\in\Delta_i$ である。すると点 $x:=p-\delta d$ は $x=(1-t)a+t(p+\delta d)$（$t=\frac{1-\delta}{1+\delta}<1$）と $x=0\cdot a+1\cdot x$ の 2 通りに書け、錐の条件に反する。よって $a\Delta_i$ は単体であり、その点 $\lambda a+\sum_j\lambda_jw_j$（重心座標）に対し $\hat h$ の値は $\lambda b+\sum_j\lambda_jh(w_j)$ で、重心座標のアフィン関数である。$aL=\bigcup_ia\Delta_i$ なので $\hat h$ は PL（とくに連続）である。$h^{-1}$ は prop-plm-basic の (iv) により PL なので、同様に $\widehat{h^{-1}}\colon bL'\to aL$ も PL で、これは $\hat h$ の逆写像である。$\square$
これは RS82 1.6 (3)（p. 5）の演習である。
平面で、原点から線分 $I=\{(s,1)\mid0\le s\le1\}$ を直線 $x+y=1$ 上へ放射状に射影する写像 $p(s,1)=\bigl(\frac{s}{1+s},\frac{1}{1+s}\bigr)$ は、$I$ から線分 $[(0,1),(\frac12,\frac12)]$ への同相写像だが、第 1 成分 $\frac{s}{1+s}$ はどの小区間の上でも $s$ の 1 次式でないので PL でない。錐の底を別の底へ取り替えるとき、放射状の射影で済ませることはできない。これは RS82（p. 6）が「標準的な誤り」と呼ぶもので、下の lem-plm-pseudo-radial では、放射状の射影の代わりに、頂点だけを放射状に動かして各単体の上ではアフィンに広げる写像（擬放射射影）を使う。満たす性質は「同相写像であり、各点を同じ半直線の上の点に写す」、満たさない性質は「PL であること」である。
星状体とリンク
$K$ を単体複体、$v$ をその頂点とする。$v$ を含む $K$ の単体とそのすべての面からなる部分複体を $v$ の星状体（star）といい $\operatorname{St}(v,K)$ と書く。$\operatorname{St}(v,K)$ の単体のうち $v$ を含まないものの全体を $v$ のリンク（link）といい $\operatorname{Lk}(v,K)$ と書く。
$K$ は局所有限なので、どちらも有限な部分複体である。$\operatorname{Lk}(v,K)$ の単体 $\tau$ は $v$ を含むある単体の面なので、$v$ と $\tau$ の頂点は $K$ の単体 $v\tau$ を張る。たとえば $K$ が三角形 $[v,a,b]$ とその面なら、$\operatorname{Lk}(v,K)$ は辺 $[a,b]$ とその端点である。単体 $\sigma$ の星状体・リンクも同じように定義する：$\sigma$ を含む単体とその面の全体が $\operatorname{St}(\sigma,K)$、そのうち $\sigma$ と交わらないものの全体が $\operatorname{Lk}(\sigma,K)$ である（Bry02 §2「Stars and Links」）。
$K$ を単体複体、$v$ をその頂点とし、$t_v\colon|K|\to[0,1]$ を $v$ に関する重心座標とする。
(R1) 開星状近傍 $\operatorname{st}v=\{x\mid t_v(x)>0\}$ は $|K|$ の開集合で、$|\operatorname{St}(v,K)|\setminus|\operatorname{Lk}(v,K)|$ に等しい。とくに $|\operatorname{St}(v,K)|$ は $v$ の $|K|$ の中の近傍である。
(R2) $|\operatorname{St}(v,K)|$ は $v$ を頂点とする $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ 上の錐であり、$v$ 以外の点 $x$ は $x=t_v(x)\,v+(1-t_v(x))\,y$（$y\in|\operatorname{Lk}(v,K)|$）とただ 1 通りに書ける。
要点：$|\operatorname{St}(v,K)|$ の点を、$v$ を含む単体の重心座標で $v$ の成分とそれ以外に分ければよい。
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(i)：$\operatorname{st}v$ が開集合であることは単体近似定理の補題「星状近傍の基本性質」の (i) による。$|\operatorname{St}(v,K)|$ の点 $x$ は $v$ を含むある単体 $\rho$ に属し、$\rho$ の中で $t_v(x)=0$ となるのは $x$ が $\rho$ の $v$ の対面（$\operatorname{Lk}(v,K)$ に属する）に属するときである。$\operatorname{Lk}(v,K)$ の点の台は $v$ を含まないので $t_v=0$ であり、$t_v(x)>0$ の点の台は $v$ を含むので $|\operatorname{St}(v,K)|$ に属する。よって等式が成り立つ。
(ii)：$x\in|\operatorname{St}(v,K)|\setminus\{v\}$ を $v$ を含む単体 $\rho$ にとると、$t_v(x)<1$ で、$y:=(x-t_v(x)v)/(1-t_v(x))$ は $\rho$ の $v$ の対面の点なので存在がいえる。一意性：$x=(1-t)v+ty$（$0< t\le1$、$y\in\tau\in\operatorname{Lk}(v,K)$）とすると $x$ は単体 $v\tau$ に属し、その中での $v$ の重心座標は $1-t$ である。重心座標は台だけで決まるので $1-t=t_v(x)$ であり、$y$ も $x$ から決まる。$v\notin|\operatorname{Lk}(v,K)|$ も $t_v$ の値から従う。$\square$
$(n+1)$ 単体 $\Delta^{n+1}$ の真の面の和集合を $\partial\Delta^{n+1}$ と書く（単体複体の例「単体の面の全体と球面の三角形分割」）。
$n\ge0$ とする。$\partial\Delta^{n+1}$ と PL 同相な局所多面体を PL $n$ 球面（PL $n$-sphere）、$n$ 単体 $\Delta^n$ と PL 同相な局所多面体を PL $n$ 球体（PL $n$-ball）という。空集合を PL $(-1)$ 球面とみなす。
2 つの $(n+1)$ 単体の間には頂点の全単射から定まるアフィン同型があるので、この定義は単体の選び方によらない。PL $n$ 球面は $S^n$ と同相である（単体複体の命題「単体は閉球体と同相」）。
PL 多様体と組合せ多様体
$n\ge1$ とする。局所多面体 $X\subset\mathbb{R}^N$ が PL $n$ 次元多様体であるとは、$X$ の各点が、$\mathbb{R}^n$ のある開集合と PL 同相な $X$ の開近傍をもつことをいう。その PL 同相写像 $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n$ を PL 座標近傍という。
$\mathbb{R}^n$ の開集合と $X$ の開集合はともに局所多面体（prop-plm-basic の (v)）なので、この定義は意味をもつ。
$n\ge1$ とする。単体複体 $K$ が組合せ $n$ 次元多様体（combinatorial $n$-manifold）であるとは、$K$ の各頂点 $v$ について、$|\operatorname{Lk}(v,K)|$ が PL $(n-1)$ 球面であることをいう。
この条件をリンクの条件という。多様体の構造としての PL 構造（座標変換が PL 同相写像であるアトラス）との関係は、次の命題が与える。
PL $n$ 次元多様体 $X\subset\mathbb{R}^N$ は $n$ 次元の位相多様体であり、その PL 座標近傍の全体は、座標変換が PL 同相写像であるアトラス（PL アトラス）をなす。
$X$ は $\mathbb{R}^N$ の部分空間なので Hausdorff かつ第 2 可算であり、各点が $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相な開近傍をもつので $n$ 次元の位相多様体である。PL 座標近傍 $\varphi\colon U\to\varphi(U)$、$\psi\colon V\to\psi(V)$ について、$U\cap V$ は $X$ の開集合で局所多面体であり（prop-plm-basic の (v)）、$\varphi|_{U\cap V}$、$\psi|_{U\cap V}$ は PL 同相写像である（同 (ii)）。座標変換 $\psi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ は、同 (iii)(iv) により PL 同相写像である。$\square$
逆向き、すなわち PL アトラスをもつ位相多様体が組合せ多様体の多面体と PL 同相であることも成り立つ（Bry02 §2「Triangulations」、Rud01 序論、p. 11）。この記事では証明しない。コンパクトなら有限個の座標近傍の像を順に三角形分割して貼り合わせればよいが、コンパクトでない場合は被覆の次元論を使う（同所）。
リンクの条件
$n\ge1$ とし、$K$ を $\mathbb{R}^N$ の単体複体とする。$|K|$ が PL $n$ 次元多様体であるための必要十分条件は、$K$ が組合せ $n$ 次元多様体であること、すなわち各頂点のリンク $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ が PL $(n-1)$ 球面であることである。
この定理により、多面体が PL 多様体であるかどうかが、三角形分割の各頂点のリンクという局所的で有限個の条件で判定できる。リンクが球面と同相であるだけでは不十分で、PL 球面でなければならない点に注意する（ex-plm-non-pl-link）。証明は、十分性を錐への拡張から、必要性をリンクの PL 不変性から導く。
十分性は錐への拡張だけで示せる。必要性には、リンクの PL 同相類が三角形分割の選び方によらないことが要る。それを次の 2 つの補題で示す。
$K$、$K'$ を有限な単体複体、$v$ をその共通の頂点とする。$K'$ の各単体が $K$ のある単体に含まれ、$|K'|$ が $v$ の $|K|$ の中の近傍であるとする。このとき $|\operatorname{Lk}(v,K')|$ と $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ は PL 同相である。
要点：$K$ の重心座標から作った関数 $\rho:=1-t_v$ は、$v$ の近くで $K'$ の各単体の上でもアフィンである。小さい $\varepsilon$ について「高さ $\rho=\varepsilon$ の切り口」$S_\varepsilon$ は、$K$ のリンクを縮小したものであると同時に、$K'$ のリンクの頂点を $v$ からの半直線に沿って $S_\varepsilon$ まで動かし、各単体の上ではアフィンに広げたもの（擬放射射影）の像でもある。
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段 1（関数 $\rho$）．$\operatorname{St}(v,K')$ の単体は $v$ を含むある単体 $\rho'$ の面で、$\rho'$ は $K$ のある単体 $\sigma$ に含まれ、$v\in\sigma$ なので $\sigma\in\operatorname{St}(v,K)$ である。よって $|\operatorname{St}(v,K')|\subset|\operatorname{St}(v,K)|$ であり、$\rho(x):=1-t_v(x)$（$t_v$ は $K$ での重心座標）は $|\operatorname{St}(v,K)|$ の各単体の上でアフィンなので、$\operatorname{St}(v,K')$ の各単体の上でもアフィンである。lem-plm-star-cone の (ii) により、$\rho(x)=0$ は $x=v$ のときに限り、$|\operatorname{Lk}(v,K)|$ の上で $\rho=1$ である。
段 2（$K$ の側）．$0<\varepsilon\le1$ について $S_\varepsilon:=\{x\in|\operatorname{St}(v,K)|\mid\rho(x)=\varepsilon\}$ とおく。lem-plm-star-cone の (ii) により、$\alpha(y):=(1-\varepsilon)v+\varepsilon y$ は $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ から $S_\varepsilon$ への全単射であり、$\operatorname{Lk}(v,K)$ の各単体 $\tau$ を単体 $(1-\varepsilon)v+\varepsilon\tau$ の上へアフィンに写す。逆写像も各単体の上でアフィンなので、$\alpha$ は PL 同相写像である。
段 3（$\varepsilon$ の選び方）．$D:=\max\{\lvert y-v\rvert\mid y\in|\operatorname{Lk}(v,K)|\}$ とおく。$\operatorname{st}v$（$K'$ での開星状近傍）は $|K'|$ の開集合で、$|K'|$ は $v$ の $|K|$ の中の近傍なので、ある $r>0$ で $|K|\cap B(v,r)\subset|\operatorname{St}(v,K')|$ となる。$\varepsilon$ を、$\varepsilon D< r$ かつ $\varepsilon<\rho(w)$（$w$ は $\operatorname{Lk}(v,K')$ のすべての頂点。$w\ne v$ なので $\rho(w)>0$）となるようにとる。すると $S_\varepsilon$ の点 $(1-\varepsilon)v+\varepsilon y$ は $v$ から距離 $\varepsilon D$ 以内なので、$S_\varepsilon\subset|\operatorname{St}(v,K')|$ である。
段 4（$K'$ の側）．$\operatorname{Lk}(v,K')$ の頂点 $w$ に点 $w^\varepsilon:=v+\frac{\varepsilon}{\rho(w)}(w-v)$（線分 $[v,w]$ の上の点）を対応させる。$\tau'=[w_0,\dots,w_k]\in\operatorname{Lk}(v,K')$ について、単体 $v\tau'$ の点 $x=\lambda v+\sum_i\lambda_iw_i$ では $\rho(x)=\sum_i\lambda_i\rho(w_i)$ であり、$\rho(x)=\varepsilon$ と、$\nu_i:=\lambda_i\rho(w_i)/\varepsilon$ が $\sum_i\nu_i=1$ を満たすことは同値で、そのとき $x=\sum_i\nu_iw_i^\varepsilon$ である（右辺を展開すると $v+\sum_i\lambda_i(w_i-v)=x$）。逆に $\nu_i\ge0$、$\sum_i\nu_i=1$ なら $\sum_i\nu_iw_i^\varepsilon$ は $v\tau'$ の点で $\rho=\varepsilon$ である（$\varepsilon/\rho(w_i)<1$ なので $\lambda\ge0$）。よって $S_\varepsilon\cap v\tau'=[w_0^\varepsilon,\dots,w_k^\varepsilon]$ であり、$w_i^\varepsilon-v$ は $w_i-v$ の正の倍なので $w_0^\varepsilon,\dots,w_k^\varepsilon$ はアフィン独立である。これらの単体の全体を $T$ とすると、2 つの切り口の共通部分は $v\tau'_1\cap v\tau'_2=v(\tau'_1\cap\tau'_2)$（$\tau'_1\cap\tau'_2=\emptyset$ なら $\{v\}$ で、$v\notin S_\varepsilon$）の切り口なので、$T$ は単体複体であり、頂点の対応 $w\mapsto w^\varepsilon$ は $\operatorname{Lk}(v,K')$ から $T$ への単体複体の同型である。$|\operatorname{St}(v,K')|$ の $v$ 以外の点はある単体 $v\tau'$ に属するので、段 3 により $|T|=S_\varepsilon$ である。同型の線形拡張 $\beta\colon|\operatorname{Lk}(v,K')|\to S_\varepsilon$ は、各単体の上でアフィンな全単射で逆写像も各単体の上でアフィンなので、PL 同相写像である（単体複体の命題「単体写像の連続性と関手性」）。
段 5．$\alpha^{-1}\circ\beta\colon|\operatorname{Lk}(v,K')|\to|\operatorname{Lk}(v,K)|$ は、prop-plm-basic の (iii) により PL 同相写像である。$\square$
$\beta$ は $\operatorname{Lk}(v,K')$ の頂点だけを $v$ からの半直線に沿って動かし、各単体の上ではアフィンに広げた写像で、擬放射射影（pseudo-radial projection）と呼ばれる（RS82 2.19 の証明、p. 21）。放射状の射影そのものは PL でない（ex-plm-standard-mistake）。
$K_1$、$K_2$ を有限な単体複体、$v_1$、$v_2$ をそれぞれの頂点とし、$U_i$ を $v_i$ の $|K_i|$ の中の開近傍、$f\colon U_1\to U_2$ を $f(v_1)=v_2$ となる PL 同相写像とする。このとき $|\operatorname{Lk}(v_1,K_1)|$ と $|\operatorname{Lk}(v_2,K_2)|$ は PL 同相である。
要点：$f$ がアフィンになる単体と $K_1$ の単体の共通の三角形分割 $T_1$ をとり、$f$ で $T_1$ を写した単体複体と $K_2$ の共通の三角形分割 $T_2$ をとる。途中のリンクはすべて lem-plm-pseudo-radial と単体複体の同型で比べられる。
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段 1．$v_1$ の近傍 $P=\Delta_1\cup\dots\cup\Delta_q\subset U_1$ で、$f$ が各 $\Delta_i$ の上でアフィンなものをとる。有限個の凸胞 $\{v_1\}$ と $\sigma\cap\Delta_i$（$\sigma\in K_1$）に lem-plm-cells を使うと、$|T_1|=P$ となる有限な単体複体 $T_1$ で、各単体がある $\sigma\cap\Delta_i$ に含まれ、$v_1$ を頂点にもつもの（$\{v_1\}$ は $T_1$ の部分複体の多面体なので $0$ 単体）が得られる。lem-plm-pseudo-radial により $|\operatorname{Lk}(v_1,T_1)|$ と $|\operatorname{Lk}(v_1,K_1)|$ は PL 同相である。
段 2．$f$ は $T_1$ の各単体の上でアフィンかつ単射なので、prop-plm-basic の (iv) の証明のとおり、各単体を単体の上へアフィン同型に写す。$f$ は単射なので $f(\tau_1)\cap f(\tau_2)=f(\tau_1\cap\tau_2)$ であり、$f(T_1):=\{f(\tau)\mid\tau\in T_1\}$ は単体複体で、$f$ は $T_1$ から $f(T_1)$ への同型の線形拡張である。とくに $f$ は $|\operatorname{Lk}(v_1,T_1)|$ を $|\operatorname{Lk}(v_2,f(T_1))|$ の上へ PL 同相に写す。
段 3．$|f(T_1)|=f(P)$ は $v_2$ の $|K_2|$ の中の近傍である。凸胞 $\{v_2\}$ と $\rho\cap\sigma$（$\rho\in f(T_1)$、$\sigma\in K_2$）に lem-plm-cells を使うと、$|T_2|=f(P)$ で、各単体が $f(T_1)$ の単体にも $K_2$ の単体にも含まれ、$v_2$ を頂点にもつ単体複体 $T_2$ が得られる。lem-plm-pseudo-radial を 2 回使うと、$|\operatorname{Lk}(v_2,T_2)|$ は $|\operatorname{Lk}(v_2,f(T_1))|$ とも $|\operatorname{Lk}(v_2,K_2)|$ とも PL 同相である。段 1〜3 の PL 同相写像を合成すればよい。$\square$
これは RS82 2.19（p. 21）の「リンクの PL 不変性」を、単体複体の頂点の場合に示したものである。
十分性．$v$ を $K$ の頂点、$\Delta$ を $\mathbb{R}^n$ の $n$ 単体、$b$ をその重心とし、PL 同相写像 $h\colon|\operatorname{Lk}(v,K)|\to\partial\Delta$ をとる。lem-plm-star-cone の (ii) により $|\operatorname{St}(v,K)|$ は $v$ を頂点とする錐であり、$\Delta$ は $b$ を頂点とする $\partial\Delta$ 上の錐である（単体複体の命題「単体は閉球体と同相」の証明の段 1 により、$b$ からの半直線は $\partial\Delta$ とちょうど 1 点で交わる）。prop-plm-cone により $h$ は PL 同相写像 $\hat h\colon|\operatorname{St}(v,K)|\to\Delta$ に拡張され、$\hat h$ は $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ を $\partial\Delta$ の上へ写すので、lem-plm-star-cone の (i) の開集合 $\operatorname{st}v=|\operatorname{St}(v,K)|\setminus|\operatorname{Lk}(v,K)|$ を、$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Delta\setminus\partial\Delta$（$\Delta$ の内部）の上へ写す。prop-plm-basic の (ii)(v) により、この制限は PL 同相写像である。開星状近傍 $\operatorname{st}v$ は $|K|$ を覆うので、$|K|$ は PL $n$ 次元多様体である。
必要性．$v$ を $K$ の頂点とし、$v$ のまわりの PL 座標近傍 $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n$ をとる。$U$ を $U\cap\operatorname{st}v$ に取り替えて、$U\subset\operatorname{st}v$ としてよい。$p:=\varphi(v)$ を重心とする $n$ 単体 $\Delta\subset\varphi(U)$ をとり、$\partial\Delta$ の単体 $\tau$ と、$p$ と $\tau$ の張る単体 $p\tau$ と $\{p\}$ の全体を $J$ とする。十分性の証明と同じく $\Delta$ は $p$ を頂点とする $\partial\Delta$ 上の錐なので、prop-plm-cone の証明と同じ議論により各 $p\tau$ は単体であり、錐の表し方の一意性により $p\tau_1\cap p\tau_2=p(\tau_1\cap\tau_2)$（$\tau_1\cap\tau_2=\emptyset$ なら $\{p\}$）である。よって $J$ は単体複体で、$|J|=\Delta$、$\operatorname{Lk}(p,J)$ は $\partial\Delta$ の単体の全体である。$\Delta$ の内部 $W$ は $p$ の $|J|$ の中の開近傍、$\varphi^{-1}(W)$ は $|K|$ の開集合で $\operatorname{st}v\subset|\operatorname{St}(v,K)|$ に含まれるので $v$ の $|\operatorname{St}(v,K)|$ の中の開近傍であり、$\varphi^{-1}\colon W\to\varphi^{-1}(W)$ は PL 同相写像である（prop-plm-basic の (ii)(iv)）。lem-plm-link-invariance を $K_1=J$、$v_1=p$、$K_2=\operatorname{St}(v,K)$、$v_2=v$、$f=\varphi^{-1}|_W$ に使うと、$\partial\Delta=|\operatorname{Lk}(p,J)|$ は $|\operatorname{Lk}(v,\operatorname{St}(v,K))|=|\operatorname{Lk}(v,K)|$ と PL 同相である。よって $|\operatorname{Lk}(v,K)|$ は PL $(n-1)$ 球面である。$\square$
この定理は RS82 2.21 (1)（p. 22。境界付きの場合を含む演習）にあたる。とくに、多面体が PL 多様体であることは、頂点のまわりの有限個の単体だけを見る組合せ的な条件で判定できる。
単体複体 $K$、$L$ の多面体が PL 同相なら、$K$ が組合せ $n$ 次元多様体であることと $L$ がそうであることは同値である。とくに、組合せ多様体の細分（重心細分の記事の定義「単体複体の細分」）は組合せ多様体である。
PL 同相写像 $g\colon|K|\to|L|$ と、$|K|$ の PL 座標近傍 $\varphi\colon U\to\varphi(U)$ について、$\varphi\circ g^{-1}|_{g(U)}$ は $|L|$ の PL 座標近傍である（prop-plm-basic の (ii)〜(iv)）。よって $|K|$ が PL $n$ 次元多様体なら $|L|$ もそうであり、逆も同じである。thm-plm-link により主張が従う。細分 $K'$ では $|K'|=|K|$ で、恒等写像は PL 同相写像である。$\square$
例
$(n+1)$ 単体 $[v_0,\dots,v_{n+1}]$（$n\ge1$）の真の面の全体を $K$ とする。$\operatorname{Lk}(v_0,K)$ は、$\{v_1,\dots,v_{n+1}\}$ の空でない部分集合 $S$ で $S\cup\{v_0\}$ が頂点全体でないもの、すなわち $S\ne\{v_1,\dots,v_{n+1}\}$ の張る単体の全体であり、$n$ 単体 $[v_1,\dots,v_{n+1}]$ の真の面の全体に一致する。よってリンクの多面体は $\partial\Delta^n$ そのもので PL $(n-1)$ 球面であり、ほかの頂点も同様である。$K$ は組合せ $n$ 次元多様体で、thm-plm-link により $\partial\Delta^{n+1}$ は PL $n$ 次元多様体である。
$k\ge3$ とし、平面の凸 $k$ 角形の頂点 $u_1,\dots,u_k$ と辺 $[u_i,u_{i+1}]$（$u_{k+1}=u_1$）からなる単体複体を $C_k$ とする。三角形 $[a_1,a_2,a_3]$ の辺 $[a_3,a_1]$ の内部に $k-3$ 個の点をとって細分した $\partial[a_1,a_2,a_3]$ の単体複体は $C_k$ と同型であり、その同型の線形拡張は PL 同相写像なので、$|C_k|$ は PL $1$ 球面である。$\mathbb{R}^N$ の中の、$k$ 個の頂点と $k$ 本の辺が輪をなす単体複体も $C_k$ と同型なので、同じく PL $1$ 球面である。
単体複体の例「トーラスの三角形分割」の単体複体 $K$（頂点 $(i,j)\in(\mathbb{Z}/3)^2$）では、頂点 $(i,j)$ を含む三角形は 6 個あり、そのリンクは
$$
(i+1,j)-(i+1,j+1)-(i,j+1)-(i-1,j)-(i-1,j-1)-(i,j-1)-(i+1,j)
$$
という 6 本の辺からなる六角形 $C_6$ と同型である（$\pm1$ のずれは $\mathbb{Z}/3$ で互いに異なる）。よって $K$ は組合せ $2$ 次元多様体であり、トーラスの多面体は PL $2$ 次元多様体である。
反例
リンクの条件のどの部分を外しても、多面体は PL 多様体でなくなる。表の最後の行は、PL 写像の定義の条件を外した反例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| リンクが連結 | 頂点 $v$ だけを共有する 2 つの三角形 | $\lvert K\rvert$ が PL $2$ 次元多様体 |
| リンクが球面（球体でなく） | 1 つの三角形とその面 | $\lvert K\rvert$ が（境界のない）PL $2$ 次元多様体 |
| リンクが PL 球面（$S^{n-1}$ と同相なだけでは足りない） | Poincaré ホモロジー球面の 3 重懸垂の三角形分割 | $\lvert K\rvert$ が PL $6$ 次元多様体 |
| 各単体の上でアフィン | 放射状の射影（ex-plm-standard-mistake） | PL 写像であること |
平面の三角形 $[v,a,b]$ と $[v,c,d]$（$v=(0,0)$、$a=(1,1)$、$b=(1,-1)$、$c=(-1,1)$、$d=(-1,-1)$）とその面の全体を $K$ とする。2 つの三角形は $v$ だけで交わるので $K$ は単体複体で、$\operatorname{Lk}(v,K)$ は交わらない 2 本の辺 $[a,b]$、$[c,d]$ である。これは連結でないので $S^1$ と同相でなく、PL $1$ 球面でない。thm-plm-link により $|K|$ は PL $2$ 次元多様体でない。満たす性質は「$2$ 次元の単体複体で、各辺がちょうど 1 つの三角形の面」、満たさない性質は「頂点のリンクが PL 球面」である。
1 つの三角形 $[v,a,b]$ とその面の全体 $K_1$ では、$\operatorname{Lk}(v,K_1)$ は辺 $[a,b]$ で、PL $1$ 球体である。辺から内部の 1 点を除くと連結でなくなるが、$S^1$ から 1 点を除いても連結なので、辺は $S^1$ と同相でない。よって $|K_1|$ は PL $2$ 次元多様体でない。三角形は境界付きの PL 多様体であり、境界付きの場合のリンクの条件は「各頂点のリンクが PL 球面または PL 球体」である（RS82 2.21 (1)、p. 22）。
Poincaré ホモロジー球面 $H$ は、$S^3$ と同じホモロジー群をもつ $3$ 次元の閉 PL 多様体で（Bry02 §9）、単連結でない（Poincaré が基本群が非自明であることを示した。Kos93 Ch. VII §7、pp. 140–141）。その三角形分割 $K_H$ と、三角形の境界 $\partial\Delta^2$・四面体の境界 $\partial\Delta^3$ の単体複体とのジョイン（ジョイン）をとると、Edwards–Cannon の二重懸垂定理（Bry02 Theorem 9.1）により $|\partial\Delta^2*K_H|$ は $S^5$ と、$|\partial\Delta^3*K_H|$ は $S^6$ と同相である。後者の単体複体で、$\partial\Delta^3$ の頂点 $v$ のリンクは $\partial\Delta^2*K_H$ で、その多面体は $S^5$ と同相である。しかしこれは PL $5$ 球面でない：PL $5$ 球面なら cor-plm-invariance により組合せ多様体のはずだが、$\partial\Delta^2*K_H$ の頂点のリンクには $H$ の懸垂が現れ、それは多様体でない（三角形分割可能な多様体の記事で証明する）。したがって thm-plm-link により、$S^6$ と同相な多面体 $|\partial\Delta^3*K_H|$ は PL $6$ 次元多様体でない。満たす性質は「各頂点のリンクが球面と同相」、満たさない性質は「各頂点のリンクが PL 球面」である。
補足
- Bry02 §2「Combinatorial Manifolds」は、頂点だけでなくすべての $p$ 単体のリンクが PL $(n-p-1)$ 球面（または境界では PL 球体）であることを組合せ多様体の定義とする。頂点のリンクの条件からすべての単体のリンクの条件が従う（単体 $\sigma=w\tau$ のリンクは、$\tau$ のリンクの中での $w$ のリンクに等しいことから、帰納法による。RS82 2.24 (4)、p. 24）。この記事では証明しない。
- RS82 は多面体を「各点が錐近傍をもつ $\mathbb{R}^N$ の部分集合」、PL 多様体をその中で各点が $\mathbb{R}^n$ の開集合と PL 同相な近傍をもつものと定義し（1.1・1.8、pp. 2・7）、単体複体で三角形分割された PL 多様体を組合せ多様体と呼ぶ（Historical Notes、p. 108）。thm-plm-link によりこれは頂点のリンクによる定義と一致する。
- Rud01 序論（p. 11）は、各点の星状体が $n$ 球体と同型な単体複体を PL 多様体と呼び、それが極大な PL アトラスをもつ位相多様体と同じものであると述べる。
滑らかな多様体は、Whitehead 三角形分割によって PL 構造を一意にもつ（Whitehead三角形分割）。PL 多様体は位相多様体だが、$4$ 次元以上では PL 構造をもたない位相多様体があり、$5$ 次元以上では同相だが PL 同相でない PL 多様体がある（Rud01 Summary 3・4、p. 86。基本予想、Kirby–Siebenmann不変量）。また、三角形分割はもつが組合せ的な三角形分割をもたない位相多様体も $5$ 次元以上にある（三角形分割可能な多様体）。全体の地図は多様体の構造の階層にある。
関連項目
- 前提: 単体複体, 重心細分, 位相多様体
- 比較: 三角形分割可能な多様体, 可微分多様体
- 直後に読む: Whitehead三角形分割, 多様体の構造の階層
- 発展: 基本予想, Kirby–Siebenmann不変量, ホモロジー球面
参考文献
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