台形公式とSimpsonの公式（高校数学）

$\displaystyle\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\,dx=\Bigl[4\arctan x\Bigr]_0^1=4\cdot\frac\pi4=\pi$ である。$f(x)=\dfrac4{1+x^2}$ とし、区間 $[0,1]$ を 4 等分する（幅 $h=\dfrac14$）。分点での値は
$$ f(0)=4,\quad f\left(\tfrac14\right)=\frac{64}{17}=3.7647\ldots,\quad f\left(\tfrac12\right)=\frac{16}5=3.2,\quad f\left(\tfrac34\right)=\frac{64}{25}=2.56,\quad f(1)=2 $$
である。
(1) 左端の高さの長方形の和は $L_4=\dfrac14\left(4+\dfrac{64}{17}+3.2+2.56\right)=3.38117\ldots$、右端の高さの長方形の和は $R_4=\dfrac14\left(\dfrac{64}{17}+3.2+2.56+2\right)=2.88117\ldots$ である。
(2) 各小区間で、両端の点を線分で結んだ台形の面積を足すと
$$ T_4=\frac14\left(\frac{4}{2}+\frac{64}{17}+3.2+2.56+\frac{2}{2}\right)=3.13117\ldots $$
となる。台形 1 つの面積は、左右の長方形の面積の平均なので、$T_4=\dfrac{L_4+R_4}2$ である。
$\pi=3.14159\ldots$ との差（真の値 $-$ 近似値）は、$L_4$ で $-0.240$、$R_4$ で $+0.260$、$T_4$ で $+0.0104$ である。台形にするだけで、誤差はおよそ $\dfrac1{25}$ になった。

$\displaystyle\int_1^2\frac{dx}x=\log2=0.693147\ldots$ を $n=4$（$h=\dfrac14$）で近似する。分点での値は $1,\ \dfrac45,\ \dfrac23,\ \dfrac47,\ \dfrac12$ である。
(1) 台形公式：
$$ T_4=\frac14\left(\frac12+\frac45+\frac23+\frac47+\frac14\right)=\frac{1171}{1680}=0.697023\ldots $$
(2) Simpson の公式：
$$ S_4=\frac1{12}\left(1+4\cdot\frac45+2\cdot\frac23+4\cdot\frac47+\frac12\right)=\frac{1747}{2520}=0.693253\ldots $$
誤差（真の値 $-$ 近似値）は $T_4$ で $-3.9\times10^{-3}$、$S_4$ で $-1.1\times10^{-4}$ である。

1. $\displaystyle\int_1^2\frac{dx}x=\log2$。$f''(x)=\dfrac2{x^3}$ は $[1,2]$ で $0< f''\le2$ なので $M_2=2$、上界は $\dfrac{1\cdot2}{12}h^2=\dfrac{h^2}6$ である。$f''>0$ なので、cor-tsr-convex により $T_n$ はいつも $\log2$ より大きい。

   $n$	$T_n$	誤差 $\log2-T_n$	上界 $\dfrac{h^2}6$	前の行の誤差との比
   $2$	$0.708333$	$-1.52\times10^{-2}$	$4.17\times10^{-2}$
   $4$	$0.697024$	$-3.88\times10^{-3}$	$1.04\times10^{-2}$	$3.92$
   $8$	$0.694122$	$-9.75\times10^{-4}$	$2.60\times10^{-3}$	$3.98$
   $16$	$0.693391$	$-2.44\times10^{-4}$	$6.51\times10^{-4}$	$3.99$

   誤差はどの行でも上界以下で、$n$ を 2 倍にするごとにほぼ $\dfrac14$ になっている。
2. ex-tsr-start の $\displaystyle\int_0^1\frac4{1+x^2}dx=\pi$ では $f''(x)=\dfrac{8(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}$ で、$[0,1]$ での $\lvert f''\rvert$ の最大値は $x=0$ での $8$ である。上界は $\dfrac{8}{12}h^2=\dfrac23h^2$ で、$n=4$ では $\dfrac1{24}=0.0417$、実際の誤差は $0.0104$ である。$n=2,4,8,16$ の誤差は $0.0416,\ 0.0104,\ 0.00260,\ 0.000651$ で、やはりほぼ $\dfrac14$ ずつになる。$f''$ は $x=\dfrac1{\sqrt3}$ で符号を変えるので、cor-tsr-convex は使えない（実際には $T_n$ は $\pi$ より小さい）。

ex-tsr-start で $T_4=3.131176\ldots$ だった。2 等分の台形公式は $T_2=\dfrac12\left(\dfrac42+\dfrac{16}5+\dfrac22\right)=3.1$ なので、thm-tsr-simpson (2) により
$$ S_4=\frac{4\times3.131176\ldots-3.1}{3}=3.1415686\ldots $$
である。直接 $S_4=\dfrac1{12}\left(4+4\cdot\dfrac{64}{17}+2\cdot3.2+4\cdot2.56+2\right)$ と計算しても同じ値になる。誤差は $2.4\times10^{-5}$ で、$T_4$ の誤差 $0.0104$ の約 $\dfrac1{430}$ である。

$f(x)=x^4$、$[-1,1]$、$n=2$（$h=1$）とする。積分は $\displaystyle\int_{-1}^1x^4\,dx=\frac25$ で、Simpson の公式は $S_2=\dfrac13(1+4\cdot0+1)=\dfrac23$ である。差は $\dfrac25-\dfrac23=-\dfrac4{15}\ne0$ である。thm-tsr-simpson (1) は、3 次より高い多項式では成り立たない。

$\displaystyle\int_1^2\frac{dx}x=\log2$ では $f^{(4)}(x)=\dfrac{24}{x^5}$ で、$M_4=24$、上界は $\dfrac{24}{180}h^4=\dfrac{2}{15}h^4$ である。

比は $16$ に近づいていく。$n=16$ では、台形公式の誤差 $2.4\times10^{-4}$ に対して Simpson の公式は $4.7\times10^{-7}$ で、同じ 17 個の値から 500 倍ほど正確な値が得られる。

$f(x)=\sqrt x$ の $[0,1]$ での積分は $\dfrac23$ である。$f''(x)=-\dfrac14x^{-3/2}$ は $x\to+0$ で限りなく大きくなるので、$\lvert f''\rvert\le M_2$ となる $M_2$ はなく、thm-tsr-trap は使えない。台形公式の誤差を計算すると次のようになる。

$n$ を 2 倍にしても、誤差は $\dfrac14$ ではなく、約 $\dfrac1{2.8}$ にしかならない（数値計算）。$2^{3/2}=2.828\ldots$ なので、誤差はおよそ $h^{3/2}$ に比例していると考えられる（この記事では証明しない）。誤差の大部分は、グラフが縦に立っている $x=0$ の近くの最初の小区間から来る。Simpson の公式でも $n=64$ の誤差は $1.6\times10^{-4}$ で、台形公式と同じ程度にしか良くならない。$\sqrt x=t$ と置換して $\displaystyle\int_0^12t^2\,dt$ にすると、被積分関数は多項式になり、Simpson の公式はちょうど正しい値を与える。

Simpson の公式は小区間を 2 つずつ組にするので、$n=3$ では 1 つ余る。$[0,3]$ を 3 等分して $1:4:1$ の重みを当てようとしても、3 つ目の小区間 $[2,3]$ に対応する 3 点がない。奇数個の区間には、余った区間だけ別の公式（台形公式など）を使うか、4 点を通る 3 次式を使う公式を用いる。

$\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{\cos x}\,dx=7.954926521\ldots$ を台形公式で近似する（この値は数値計算による）。

$n=16$ の台形公式の誤差は、倍精度の計算機で計算すると丸め誤差（$10^{-15}$ 程度）に埋もれてしまうほど小さい。同じ点を使う Simpson の公式よりはるかに良い。周期 $2\pi$ の関数では、左端と右端の値が等しく、端での導関数もすべて等しい。台形公式の誤差の主な部分は端での導関数の差で決まるので（rem-tsr-em）、それがすべて打ち消し合う。この記事では、この高い精度の証明はしない。