定規だけの作図

要点：条件 (i) は代入するだけである。条件 (ii)・(iii) は、逆の対応を求め、直線の式 $ax+by+c=0$ に代入して分母を払うと、$X$、$Y$ の 1 次式になることから分かる。

方針：中点を与える手順があったとして、うまくいった実行を lem-sto-proj の $T$ で丸ごと移す。移した実行も同じ手順の実行になっているのに、結果は中点でない点になる。
段 1（座標と、うまくいった実行）。長さの単位と座標を選び、$A(-1,0)$、$B(1,0)$ とする。中点は $O(0,0)$ である。中点を与える手順があったとして、その実行を 1 つとる。実行の中に現れる点（与えられた点、操作 (iii) でとった点、交点）は有限個なので、それらを $P_1,\dots,P_N$ とする。
段 2（$t$ を選ぶ）。$P_1,\dots,P_N$ の $x$ 座標の絶対値の最大値を $K$ とし、$0< t<1$ かつ $tK<1$ となる $t$ をとる。すると各 $P_i=(x_i,y_i)$ について $1+tx_i\ge1-tK>0$ なので、$T(P_i)$ が定まる。
段 3（移した実行）。同じ手順を、操作 (iii) でとる点をもとの点の $T$ による像に変えて行う。手順の 1 段ごとに、「得られる点はもとの実行の点の $T$ による像で、引かれる直線はもとの直線の $T$ による像である」ことを、段の順に確かめる。はじめに与えられた点 $A$、$B$ は lem-sto-proj の条件 (i) で動かず、直線 $AB$（$y=0$）の像は $Y=0$、つまり直線 $AB$ である。

• 操作 (i)：もとの実行で相異なる 2 点 $P$、$Q$ を通る直線 $m$ を引いたとする。$T$ は 1 対 1 なので $T(P)\ne T(Q)$ で、2 点を通る直線は、条件 (iii) により $T(m)$ である。
• 操作 (ii)：もとの実行で相異なる 2 直線 $m_1$、$m_2$ の交点 $X$ をとったとする。$T(m_1)$ と $T(m_2)$ はどちらも $T(X)$ を通り、条件 (iii) により相異なる。相異なる 2 直線が共有点をもつので、平行でなく、交点はちょうど $T(X)$ である。よってこの段も実行でき、得られる点は $T(X)$ である。
• 操作 (iii)：もとの点 $F$ が直線 $m$ の上にとられたなら、$T(F)$ は $T(m)$ の上にある。$F$ が点 $Z$ と異なるなら $T(F)\ne T(Z)$ である。$F$ が直線 $m$ の上にないなら、$T(F)$ は $T(m)$ の上にない（もし $T(F)$ が $T(m)$ の上にあれば、条件 (iii) の後半により $T(F)$ は $m$ の上のある点 $F'$ の像で、1 対 1 だから $F=F'$ となり、$F$ が $m$ の上にあることになる）。よって $T(F)$ は同じ条件を満たす選び方である。
  段 4（矛盾）。段 3 により、移した実行は同じ手順の実行で、与えられた点は同じ $A$、$B$ である。仮定から、その結果は $AB$ の中点 $O(0,0)$ でなければならない。しかし段 3 により、結果はもとの結果 $O$ の像 $T(O)=(t,0)$ で、$t>0$ なので $O$ と異なる。これは矛盾である。よって中点を与える手順はない。$\square$

方針：$P$ を中心とする相似変換（拡大・縮小）は $A$、$B$ を $C$、$D$ に移し、$Q$ を中心とする相似変換は $A$、$B$ を $D$、$C$ に移す（相似変換と相似の中心）。どちらも中点 $M$ を中点 $N$ に移すので、$P$、$M$、$N$ と $Q$、$M$、$N$ がそれぞれ一直線に並ぶ。点を位置ベクトルで表し、同じ文字で書く。
段 1（$P$ を中心とする相似変換）。$C$ は直線 $PA$ の上にあり $P$ と異なる（$P=C$ なら $P$ は直線 $BD$ と $\ell$ の上にあり、$BD$ と $\ell$ の交点は $D$ だけなので $C=D$ となる）ので、$C-P=k(A-P)$ となる数 $k\ne0$ がある。$h(X)=P+k(X-P)$ とおく。$h(A)=C$ である。$h(B)=P+k(B-P)$ は直線 $PB$ の上にあり、
$$ h(B)-C=k(B-P)-k(A-P)=k(B-A) $$
なので、$C$ を通り $AB$ に平行な直線、つまり $\ell$ の上にある。直線 $PB$ と $\ell$ の交点は $D$ だけなので、$h(B)=D$ である。
段 2（中点を移す）。$M=\dfrac{A+B}2$ なので
$$ h(M)=P+k\left(\frac{A+B}2-P\right)=\frac{\bigl(P+k(A-P)\bigr)+\bigl(P+k(B-P)\bigr)}2=\frac{C+D}2=N $$
である。よって $N-P=k(M-P)$ で、$P$、$M$、$N$ は一直線に並ぶ。
段 3（$Q$ を中心とする相似変換）。$D$ は直線 $QA$ の上にあり $Q$ と異なる（$Q=D$ なら $D$ は直線 $BC$ と $\ell$ の交点、つまり $C$ に等しくなる）ので、$D-Q=k'(A-Q)$ となる数 $k'\ne0$ がある。段 1 と同じ計算で、$h'(X)=Q+k'(X-Q)$ は $A$ を $D$ に、$B$ を「直線 $QB$ の上で $\ell$ の上にある点」つまり $C$ に移す。段 2 と同じ計算で $h'(M)=\dfrac{D+C}2=N$ となり、$Q$、$M$、$N$ は一直線に並ぶ。
段 4（まとめ）。$M$ は直線 $AB$ の上、$N$ は $\ell$ の上にあり、2 直線は平行で異なるので $M\ne N$ である。段 2 と段 3 から、$P$ と $Q$ はどちらも直線 $MN$ の上にある。$\square$

段 1（条件 (i) の手順）。ex-sto-rule の (3) の手順をとる。勝手な点 $P$ を、直線 $AB$ と $\ell$ の上にないようにとる。直線 $PA$、$PB$ は $AB$ に平行でない（$A$ や $B$ で $AB$ と交わるから）ので、$\ell$ と交わる。その交点を $C$、$D$ とする。$PA$ と $PB$ は相異なり、共有点は $P$ だけで、$P$ は $\ell$ の上にないので、$C\ne D$ である。直線 $AD$ と $BC$ の交点 $Q$、直線 $PQ$ と $AB$ の交点 $M$ をとる。
段 2（条件 (i) の結果）。手順が実行できたとする。$P$ は直線 $AC$（$=PA$）と $BD$（$=PB$）の交点、$Q$ は $AD$ と $BC$ の交点なので、lem-sto-trapezoid により $P$、$Q$ は $AB$ の中点と $CD$ の中点を結ぶ直線の上にある。$P\ne Q$ なので（直線 $PQ$ を引けたことからそうなっている）、直線 $PQ$ はその直線そのもので、$AB$ と $AB$ の中点で交わる。よって得られる $M$ は、実行できるどの $P$ でも $AB$ の中点である。実行できる $P$ があることも確かめる。$P\ne Q$ はいつも成り立つ（$Q=P$ なら $P$ は直線 $AC$ と $AD$ の両方の上にあり、この 2 直線の共有点は $A$ だけなので $P=A$ となるが、$P$ は直線 $AB$ の上にない）。手順が止まるのは直線 $AD$ と $BC$ が平行なときだけで、そのときは $AB\parallel CD$ と合わせて四角形 $ABCD$ が平行四辺形になり、$P$ はその対角線 $AC$、$BD$ の交点、つまり $AB$ と $\ell$ のちょうど真ん中の平行線の上の点である。よって、この平行線の上にない $P$ を選べば実行できる。
段 3（条件 (ii) の手順）。$R$ が直線 $AB$ の上にないとする。直線 $AR$ を引き、その上に $A$、$R$ と異なる勝手な点 $P$ をとる。直線 $PM$ と直線 $BR$ の交点 $Q$、直線 $AQ$ と直線 $PB$ の交点 $S$ をとり、直線 $RS$ を引く。
段 4（条件 (ii) の結果）。手順が実行できたとする。$P$ は直線 $AB$ の上にない（直線 $AR$ と $AB$ の共有点は $A$ だけ）ので、直線 $PB$ は $AB$ に平行でない。$R$ を通り $AB$ に平行な直線 $\ell$ は、$PB$ と 1 点 $S'$ で交わる。$\ell$ の上の 2 点 $R$、$S'$ について、直線 $AR$ と $BS'$ の交点は $P$ である。直線 $AS'$ と $BR$ の交点を $Q'$ とすると、lem-sto-trapezoid により $Q'$ は直線 $PM$ の上にある。$Q'$ は直線 $BR$ の上にもあるので、$Q'$ は $PM$ と $BR$ の交点、つまり $Q$ である。すると $S'$ は直線 $AQ$（$=AQ'$）と直線 $PB$ の上にあるので、$S'=S$ である。よって直線 $RS$ は $\ell$ で、$AB$ に平行である。実行できる $P$ があることも確かめる。$P$ が線分 $AR$ の中点でなければ、直線 $AS'$ と $BR$ は平行でない（平行なら $AB\parallel RS'$ と合わせて四角形 $ABRS'$ は平行四辺形で、その対角線 $AR$ と $BS'$ の交点 $P$ は $AR$ の中点になる）。すると $Q'$ があり、直線 $PM$ と $BR$ は相異なる（$P$ は $BR$ の上にない）ので交点は $Q'$ で、上の議論で $Q'=Q$、$S'=S$ となって手順は最後まで実行できる。$\square$