判別式形式

$x,y\in L^\vee$、$l\in L$ とする。$y\in L^\vee$ だから $b_K(l,y)\in R$ であり、
$$ b_K(x+l,y)=b_K(x,y)+b_K(l,y)\equiv b_K(x,y)\pmod R $$
となる。第2変数についても、$b_K$ の対称性により同じ計算で $b_K(x,y+l)\equiv b_K(x,y)\pmod R$ が分かる。よって $b_L$ は $A_L\times A_L$ 上で定まる。双線形性と対称性は $b_K$ から引き継がれる。

1. $u\in K^r$ が $L^\vee$ に属するのは、すべての $x\in R^r$ について $x^{\mathsf T}Mu\in R$ となるとき、すなわち $Mu\in R^r$ のときである。よって $L^\vee=M^{-1}R^r$。写像 $u\mapsto Mu$ は $M^{-1}R^r$ を $R^r$ へ、$R^r$ を $MR^r$ へ同型に移すので、商の同型を誘導する。
2. $\bar x,\bar y\in R^r/MR^r$ に対応する $A_L$ の元は $M^{-1}x,\ M^{-1}y$ の類である。$M$ が対称なので $M^{-1}$ も対称であり、
$$ b_K(M^{-1}x,M^{-1}y)=(M^{-1}x)^{\mathsf T}M(M^{-1}y)=x^{\mathsf T}M^{-1}y $$
となる。
3. $R$ は単項イデアル整域なので、単因子論（Smith 標準形）により $P,Q\in GL_r(R)$ を選んで $PMQ=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_r)$ とできる（有限アーベル群の基本定理）。すると
$$ R^r/MR^r\cong\bigoplus_{i=1}^rR/d_iR,\qquad \det M=(\text{単数})\cdot d_1\cdots d_r $$
である。$R=\mathbb Z$ なら $|\mathbb Z/d_i|=|d_i|$、$R=\mathbb Z_\ell$ なら $|\mathbb Z_\ell/d_i|=\ell^{v_\ell(d_i)}$ だから主張を得る。最後の同値は、$A_L=0$ と $|A_L|=1$ が同じことから従う。

前の命題の座標で考える。$b_L(\bar x,\bar y)=0$ がすべての $y\in R^r$ で成り立つとは、$x^{\mathsf T}M^{-1}y\in R$ がすべての $y$ で成り立つこと、すなわち $M^{-1}x\in R^r$ である。これは $x\in MR^r$、すなわち $\bar x=0$ を意味する。
同型であることについて：有限 $R$ 加群 $A=\bigoplus_iR/d_iR$ に対し、$\operatorname{Hom}(R/dR,K/R)\cong d^{-1}R/R\cong R/dR$ だから $|\operatorname{Hom}(A,K/R)|=|A|$ である。位数の等しい有限集合の間の単射は全単射である。

行列式。$d_n:=\det C_n$ とおくと、第1行で展開して $d_n=2d_{n-1}-d_{n-2}$（$d_0:=1$、$d_1=2$）を得る。帰納法で $d_n=n+1$ である。よって $|\det M|=n+1$ で、$|A_L|=n+1$。
巡回性。$C_n$ から第1行と第 $n$ 列を除いた $n-1$ 次の小行列は、対角成分がすべて $-1$ の上三角行列なので、行列式は $\pm1$ である。したがって $n-1$ 次小行列式の最大公約数は $1$ であり、単因子は $1,\dots,1,n+1$ となる。よって $A_L\cong\mathbb Z/(n+1)$。
形式の値。$C_n^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は、余因子 $\det C_{n-1}=n$ を $\det C_n=n+1$ で割った $\tfrac n{n+1}$ である。$M^{-1}=-C_n^{-1}$ だから
$$ b_L(\bar e_1,\bar e_1)=-\frac n{n+1}=\frac1{n+1}-1\equiv\frac1{n+1}\pmod{\mathbb Z}. $$
$k\bar e_1=0$ なら $k\,b_L(\bar e_1,\bar e_1)=\tfrac k{n+1}\in\mathbb Z$ なので $n+1\mid k$。よって $\bar e_1$ の位数は $n+1$ で、$\bar e_1$ は生成元である。

1. $rx\in N^\perp$（$r\in R$、$r\neq0$）なら $r\,b(x,y)=0$ だから $b(x,y)=0$ であり、$N^\perp$ は飽和している。$b_K|_{N_K}$ は非退化なので $H_K=N_K\oplus(N_K)^\perp$ であり、$(N_K)^\perp=N^\perp_K$ である。$b_K$ は $H_K$ 上非退化なので、直交直和の一方の成分 $N^\perp_K$ の上でも非退化である。$(N^\perp)^\perp$ は $N$ を含み、$K$ 上で $(N^\perp_K)^\perp=N_K$ だから $(N^\perp)^\perp\subseteq H\cap N_K$ である。$N$ は飽和しているので $H\cap N_K=N$ となり、$(N^\perp)^\perp=N$ を得る。
2. $h\in H$ と $y\in N$ について $b_K(p_1h,y)=b(h,y)\in R$ だから $p_1h\in N^\vee$ である。全射性を示す。$H$ はユニモジュラーなので、$h\mapsto b(h,-)$ は同型 $H\cong\operatorname{Hom}_R(H,R)$ である。$N$ は $H$ の直和因子なので、制限 $\operatorname{Hom}_R(H,R)\to\operatorname{Hom}_R(N,R)$ は全射である。一方、$b_K|_{N_K}$ が非退化であることから、$u\mapsto b_K(u,-)|_N$ は同型 $N^\vee\cong\operatorname{Hom}_R(N,R)$ を与える。任意の $u\in N^\vee$ に対し、$b(h,-)|_N=b_K(u,-)|_N$ となる $h\in H$ を取ると、$b_K(p_1h-u,-)|_N=0$ となるので $p_1h=u$ である。$p_1$ の核は $H\cap N^\perp_K=N^\perp$ である。
$p_2$ についても同じ議論が成り立つ。実際、1 により $N^\perp$ は飽和していて $b|_{N^\perp}$ は非退化であり、$(N^\perp)^\perp=N$ だから、$N$ と $N^\perp$ の役割を入れ替えられる。
3. 2 より $H/N^\perp\cong N^\vee$ で、この同型は $N$ の像を $N$ 自身に移す（$y\in N$ なら $p_1y=y$）。よって
$$ H/(N\oplus N^\perp)\cong N^\vee/N=A_N $$
であり、これは有限である。$p_2$ についても同様である。$\gamma$ は二つの同型の合成なので同型である。
形式について：$h,h'\in H$ とすると、直交性から
$$ b(h,h')=b_K(p_1h,p_1h')+b_K(p_2h,p_2h') $$
であり、左辺は $R$ に属する。$\xi,\eta\in A_N$ を $h,h'$ の $p_1$ による像の類とすると、$\gamma\xi,\gamma\eta$ は $p_2h,p_2h'$ の類だから、$K/R$ で $b_N(\xi,\eta)+b_{N^\perp}(\gamma\xi,\gamma\eta)=0$ となる。位数の等式は二つの同型から従う。

定理の 2 の $p_2$ は同型 $\Lambda=H/N\cong(N^\perp)^\vee$ を誘導し、$N^\perp$ 上では恒等写像である。したがって、標準写像 $N^\perp\to\Lambda$ はこの同型を通して包含 $N^\perp\subseteq(N^\perp)^\vee$ と一致する。また $\beta$ はこの同型を通して $b_K$ の $(N^\perp)^\vee$ への制限と一致する（両者は $N^\perp$ 上で一致し、$K$ 上で双線形に延びるから）。
1. 単射性は包含だから明らか。余核は $A_{N^\perp}$ で、定理の 3 よりその位数は $|A_N|$ である。
2. $L:=N^\perp$ とおく。まず、$L^\vee$ を $b_K$ で格子とみたときの双対 $(L^\vee)^\vee:=\{u\in L_K: b_K(u,L^\vee)\subseteq R\}$ は $L$ に等しい。実際、座標 $L=R^r$、Gram 行列 $M$ をとると $L^\vee=M^{-1}R^r$ であり、$u\in(L^\vee)^\vee$ はすべての $x\in R^r$ で $(M^{-1}x)^{\mathsf T}Mu=x^{\mathsf T}u\in R$ となること、すなわち $u\in R^r$ と同値である。
いま $b_K$ が $L^\vee\times L^\vee$ 上で $R$ に値をとるとすると、$L^\vee\subseteq(L^\vee)^\vee=L$ となるので $L^\vee=L$、すなわち $A_L=0$ であり、定理の 3 より $A_N=0$ である。逆に $A_N=0$ なら $A_L=0$、すなわち $L^\vee=L$ で、$b$ は $L$ 上 $R$ に値をとる。$R=\mathbb Z_\ell$ のとき $A_N=0$ と $v=0$ が同値であることは、行列による表示の 3 による。
3. $A_N=0$ なら 1 より $N^\perp\to\Lambda$ は同型で、$A_{N^\perp}=0$ だから $N^\perp$ はユニモジュラーである。