球の詰め込み

要点：単位胞を $a$ の整数倍だけ平行移動したもので空間は重なりなく埋め尽くされ、どの単位胞にもちょうど $k$ 個の中心がある。$Q_R$ に含まれる単位胞と $Q_R$ と共有点をもつ単位胞を数えると、$Q_R$ の中の中心の個数は $k\left(\dfrac{2R}a\right)^3$ に近く、平面の円の詰め込み の命題「格子の詰め込みの密度」と同じはさみうちで結論を得る。

$b=\dfrac a2$ とし、点 $(bx,by,bz)$ の原点からの距離の 2 乗 $b^2(x^2+y^2+z^2)$ を調べる。$(x,y,z)\ne(0,0,0)$ とする。
(1) $x,y,z$ はすべて偶数なので、$0$ でない成分の 2 乗は $4$ 以上で、$x^2+y^2+z^2\ge4$ である。距離の 2 乗は $4b^2=a^2$ 以上で、等号は 1 つの成分が $\pm2$、残りが $0$ のとき、つまり $(\pm a,0,0)$、$(0,\pm a,0)$、$(0,0,\pm a)$ の $6$ 個である。
(2) すべて偶数の点は (1) により距離 $a$ 以上である。すべて奇数の点は各成分の 2 乗が $1$ 以上なので $x^2+y^2+z^2\ge3$ で、距離の 2 乗は $3b^2=\dfrac34a^2$ 以上である。$\dfrac34a^2< a^2$ なので最小値は $d=\dfrac{\sqrt3}2a$ で、等号は $x,y,z$ がすべて $\pm1$ のときの $2^3=8$ 個である。
(3) $x+y+z$ が偶数とする。$0$ でない成分がちょうど 1 つなら、その成分は偶数（和が偶数だから）で、2 乗は $4$ 以上である。$0$ でない成分が 2 つ以上なら、2 乗の和は $2$ 以上である。よって $x^2+y^2+z^2\ge2$ で、距離の 2 乗は $2b^2=\dfrac{a^2}2$ 以上である。等号は、2 つの成分が $\pm1$ で残りが $0$ のとき（和は $0$ か $\pm2$ で偶数）で、$0$ にする成分の選び方 $3$ 通りと符号 $2^2=4$ 通りで $12$ 個である。$\square$

方針：lem-spk-dist から半径を決め、単位胞 $0\le x,y,z< a$ の中の中心の個数 $k$ を数えて、prop-spk-cell を使う。3 つの格子はどれも $(a,0,0)$、$(0,a,0)$、$(0,0,a)$ による平行移動で変わらない（定義の $m,n,l$ を $1$ ずらすだけだから）。
段 1（半径）。中心どうしの距離の最小値が $d$ なので、球が重ならない最大の半径は $r=\dfrac d2$ である。lem-spk-dist から、単純立方格子 $r=\dfrac a2$、体心立方格子 $r=\dfrac{\sqrt3}4a$、面心立方格子 $r=\dfrac{\sqrt2}4a$ である。
段 2（単位胞の中の中心）。座標を $(bx,by,bz)$（$b=\frac a2$）で書くと、単位胞は $0\le x,y,z\le1$ の整数の組にあたる。単純立方格子ではすべて偶数の組 $(0,0,0)$ だけで $k=1$ である。体心立方格子では $(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ で $k=2$ である。面心立方格子では和が偶数の組 $(0,0,0)$、$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ で $k=4$ である。
段 3（密度）。prop-spk-cell により、単純立方格子の密度は
$$ \frac{1\cdot\frac43\pi\left(\frac a2\right)^3}{a^3}=\frac43\pi\cdot\frac18=\frac\pi6 $$
である。体心立方格子では $\left(\dfrac{\sqrt3}4\right)^3=\dfrac{3\sqrt3}{64}$ なので
$$ \frac{2\cdot\frac43\pi\left(\frac{\sqrt3}4a\right)^3}{a^3}=\frac83\pi\cdot\frac{3\sqrt3}{64}=\frac{\sqrt3\pi}8 $$
である。面心立方格子では $\left(\dfrac{\sqrt2}4\right)^3=\dfrac{2\sqrt2}{64}=\dfrac{\sqrt2}{32}$ なので
$$ \frac{4\cdot\frac43\pi\left(\frac{\sqrt2}4a\right)^3}{a^3}=\frac{16}3\pi\cdot\frac{\sqrt2}{32}=\frac{\sqrt2\pi}6=\frac{\pi}{3\sqrt2} $$
である（最後は分母と分子に $\sqrt2$ を掛けた $\dfrac{\sqrt2\pi}6=\dfrac{2\pi}{6\sqrt2}$ による）。どれも $a$ が約分で消える。$\square$

段 1（高さ）。下の 3 つの球の中心は 1 辺 $d$ の正三角形の頂点で、正三角形の中心から頂点までの距離は $\dfrac{d}{\sqrt3}$ である（外接円の半径。正弦定理で $\dfrac{d}{2\sin60^\circ}=\dfrac d{\sqrt3}$）。置いた球の中心はくぼみの真上にあり、下の 3 つの中心との距離は $d$ なので、三平方の定理により
$$ h^2+\left(\frac d{\sqrt3}\right)^2=d^2,\qquad h^2=\frac23d^2 $$
である。4 つの中心は 1 辺 $d$ の正四面体を作り、$h$ はその高さである（空間図形の計量）。
段 2（重ならない）。くぼみと層 A の点の、平面の上での距離はどれも $\dfrac d{\sqrt3}$ 以上である。したがって空間での距離の 2 乗は $\dfrac{d^2}3+h^2=d^2$ 以上で、置いた球は層 A のどの球とも重ならない。$\square$

段 1（置き方）。ある層の位置が A なら、そのくぼみの位置は B か C である（上で見た）。層の 1 つの球を B の位置に置けば、層全体は A を平行移動した形なので、すべての球が B の位置にくる。C でも同じである。位置が B の層のくぼみは、B を $\frac{\vec u+\vec v}3$ または $\frac{2(\vec u+\vec v)}3$ だけ平行移動した C と A の位置である（$\vec u+\vec v$ だけの平行移動は層を変えないので、$\frac{\vec u+\vec v}3+\frac{2(\vec u+\vec v)}3=\vec u+\vec v$ より B の $\frac{2(\vec u+\vec v)}3$ 移動は A になる）。C の層でも同様で、次の層は A か B である。よって (1) が成り立つ。
段 2（重ならない）。同じ層の中では中心の距離は $d$ 以上である。となり合う層の間では lem-spk-height により $d$ 以上である。2 つ以上離れた層の間では、高さの差だけで $2h=\dfrac{2\sqrt6}3d\approx1.63d$ 以上ある。
段 3（密度）。要点は「球 1 個あたりの体積」である。1 つの層では、1 個の球あたり平面の面積 $\dfrac{\sqrt3}2d^2$（六角格子の基本平行四辺形の面積）をしめる。層の間隔は $h$ なので、球 1 個あたりの体積は
$$ \frac{\sqrt3}2d^2\cdot\sqrt{\frac23}\,d=\frac{\sqrt3\cdot\sqrt2}{2\sqrt3}d^3=\frac{d^3}{\sqrt2} $$
である。球の体積は $\dfrac43\pi\left(\dfrac d2\right)^3=\dfrac{\pi d^3}6$ なので、密度は
$$ \frac{\pi d^3/6}{d^3/\sqrt2}=\frac{\sqrt2\pi}6=\frac{\pi}{3\sqrt2} $$
である。積み方（A・B・C の並び）は、1 層あたりの個数にも層の間隔にも関係しないので、密度は積み方によらない。

要点：点を $\left(\frac a2x,\frac a2y,\frac a2z\right)$（$x+y+z$ は偶数）で書き、$x+y+z=2k$ の点を第 $k$ 層とする。第 $0$ 層は $\frac a2(1,-1,0)$、$\frac a2(1,0,-1)$（長さ $d$、なす角 $60^\circ$）で生成される六角格子で、第 $k$ 層はそれを $\frac a2(2k,0,0)$ だけ平行移動したものである。層の間隔は $\frac a{\sqrt3}=h$ である。この平行移動の平面の中の成分は $k\cdot\frac a2\left(\frac43,-\frac23,-\frac23\right)$ で、$k=0,1,2$ で 3 種類の位置になり、$k=3$ でもとにもどる。

要点：1 辺 $a=\sqrt2d$ の面心立方格子を平面 $z=$ 一定で切ると、$z$ が $\frac a2$ の偶数倍・奇数倍の層が交互に現れ、どれも 1 辺 $d$ の正方形の並べ方で、奇数倍の層の点は偶数倍の層の正方形の中心の真上、高さの差 $\frac d{\sqrt2}$ にある。これはピラミッドの積み方と同じである。