台(関数)

$A:=\{x\in X\mid f(x)\ne0\}$ とおく。

1. 閉包の性質により、$x\notin\overline{A}$ であることは、$x$ の開近傍 $W$ で $W\cap A=\emptyset$ となるものがあること、すなわち $W$ の上で $f\equiv0$ となることと同値である。逆に $f$ が開集合 $W$ の上で恒等的に $0$ なら、$W$ の各点はこの条件を満たすので $W\subset X\setminus\operatorname{supp}f$ である。
2. $\{f+g\ne0\}\subset\{f\ne0\}\cup\{g\ne0\}$ であり、二つの集合の和の閉包は閉包の和に等しいので、最初の包含が出る。$c\ne0$ なら $\{cf\ne0\}=A$ である。$\{fg\ne0\}=\{f\ne0\}\cap\{g\ne0\}$ はどちらの集合にも含まれるので、閉包をとって最後の包含を得る。
3. $\{f|_U\ne0\}=A\cap U$ であり、その $U$ の中での閉包は $\overline{A\cap U}\cap U$ である。$\overline{A\cap U}\cap U\subset\overline{A}\cap U$ は明らかである。逆に $x\in\overline{A}\cap U$ と $x$ の開近傍 $W$ をとる。$W\cap U$ も $x$ の開近傍なので $A$ と交わり、したがって $W$ は $A\cap U$ と交わる。よって $x\in\overline{A\cap U}$ である。
4. $\{f\circ\varphi\ne0\}=\varphi^{-1}(A)\subset\varphi^{-1}(\overline{A})$ であり、右辺は連続写像による閉集合の逆像なので閉集合である。閉包は含む閉集合の中で最小なので、$\operatorname{supp}(f\circ\varphi)\subset\varphi^{-1}(\overline{A})$ である。
5. $A=f^{-1}(V\setminus\{0\})$ は開集合の逆像なので開集合である。開集合 $A$ は $\overline{A}$ に含まれるので $\overline{A}$ の内部に含まれる。境界 $\overline{A}\setminus\operatorname{int}\overline{A}$ の点は $A$ に属さず、そこで $f=0$ である。$\square$

1. $W:=\Omega\setminus\operatorname{supp}f$ は開集合で、prop-supf-basic の 1 により $W$ の上で $f\equiv0$ である。偏微分係数はその点の近傍での値だけで決まるので、$W$ の各点で $\partial^\alpha f=0$ である。よって $\{\partial^\alpha f\ne0\}\subset\operatorname{supp}f$ であり、右辺は閉集合なので閉包をとっても含まれる。
2. 同様に $W:=M\setminus\operatorname{supp}\omega$ の上で $\omega=0$ である。$W$ の点 $p$ のまわりの座標近傍 $U\subset W$ をとると、$\omega$ の成分関数はすべて $U$ の上で $0$ であり、$d\omega$ の成分はその偏導関数の和なので $U$ の上で $0$ である。よって $\{d\omega\ne0\}\subset\operatorname{supp}\omega$ で、閉包をとって結論を得る。$Xf$ も座標では $f$ の偏導関数の一次結合なので同じである。$\square$

$W_1:=U$、$W_2:=M\setminus\operatorname{supp}\rho$ とおく。どちらも開集合であり、$\operatorname{supp}\rho\subset U$ なので $W_1\cup W_2=M$ である。$W_1$ の上では $h=\rho f$ であり、これは連続（$C^\infty$ 級の場合は $C^\infty$ 級）である。$W_2$ の点 $x$ については、$x\in U$ なら $\rho(x)=0$ なので $h(x)=0$、$x\notin U$ なら定義により $h(x)=0$ である。したがって $W_2$ の上で $h\equiv0$ である。連続性も $C^\infty$ 級であることも各点の開近傍で判定できる性質であり、$M$ は二つの開集合 $W_1,W_2$ で覆われ、それぞれの上で $h$ は連続（$C^\infty$ 級）なので、$h$ は $M$ 全体で連続（$C^\infty$ 級）である（連続写像 の命題「開被覆の貼り合わせ補題」）。最後に $\{h\ne0\}\subset\{\rho\ne0\}$ なので、閉包をとって $\operatorname{supp}h\subset\operatorname{supp}\rho$ を得る。$\square$

$s$ が各点で有限和として定まり連続であることは 局所有限(位相) の命題「局所有限な和」である。局所有限な閉集合の族の和は閉集合である（開被覆 の命題「局所有限な族の閉包」）ので、$F:=\bigcup_i\operatorname{supp}f_i$ は閉集合である。$x\notin F$ ならすべての $i$ で $f_i(x)=0$ なので $s(x)=0$ である。よって $\{s\ne0\}\subset F$ であり、$F$ が閉集合なので $\operatorname{supp}s\subset F$ である。$\square$

要点：コンパクト集合に含まれる閉集合はコンパクトであることと、prop-supf-basic の 2 を使う。

$\operatorname{supp}f$ は有界なので、$R>0$ を十分大きくとると $\operatorname{supp}f$ は開立方体 $(-R,R)^n$ に含まれる。prop-supf-derivative により $\partial f/\partial x_i$ の台も $\operatorname{supp}f$ に含まれるので、被積分関数は閉立方体 $Q:=[-R,R]^n$ の外で $0$ であり、$Q$ の上で連続なので積分可能である。Fubiniの定理 により、$x_i$ についての積分を先に行う。他の座標を固定し、第 $i$ 座標を $t$ とした点を $x(t)$ と書くと
$$ \int_{-R}^{R}\frac{\partial f}{\partial x_i}(x(t))\,dt=f(x(R))-f(x(-R)) $$
である（微分積分学の基本定理）。点 $x(\pm R)$ は $(-R,R)^n$ に属さないので $\operatorname{supp}f$ の外にあり、右辺は $0$ である。これを残りの変数で積分して前半を得る。後半は、$fg$ が $C^1$ 級で $\operatorname{supp}(fg)\subset\operatorname{supp}f$（prop-supf-basic の 2）によりコンパクト台をもつので、前半を $fg$ に当てはめ、積の微分 $\partial_i(fg)=(\partial_if)g+f\,\partial_ig$ を使えばよい。$\square$

$x$ を固定すると、$y\mapsto f(x-y)g(y)$ は連続で、コンパクト集合 $x-\operatorname{supp}f$ の外で $0$ なので積分可能である。
$x\notin\operatorname{supp}f+\operatorname{supp}g$ とする。各 $y$ について、$y\in\operatorname{supp}g$ かつ $x-y\in\operatorname{supp}f$ なら $x=(x-y)+y\in\operatorname{supp}f+\operatorname{supp}g$ となって仮定に反するので、$g(y)=0$ または $f(x-y)=0$ である。被積分関数は恒等的に $0$ であり、$(f*g)(x)=0$ である。よって $\{f*g\ne0\}\subset\operatorname{supp}f+\operatorname{supp}g$ である。
右辺が閉集合であることを示す。$K:=\operatorname{supp}f$ はコンパクト、$F:=\operatorname{supp}g$ は閉集合である。$a_m\in K$、$b_m\in F$ で $a_m+b_m\to z$ とする。$K$ はコンパクトなので部分列をとって $a_m\to a\in K$ としてよい。すると $b_m=(a_m+b_m)-a_m\to z-a$ であり、$F$ は閉集合なので $z-a\in F$、したがって $z=a+(z-a)\in K+F$ である。$K+F$ は点列について閉じているので閉集合であり、$\{f*g\ne0\}$ の閉包も $K+F$ に含まれる。$\square$

要点：可算個の開球で $\omega$ を書き直して 1 を示し、4 では空でない開集合が正の測度をもつことを使う。