極と極線

方針：$x=x_0+tu_1$、$y=y_0+tu_2$ を代入し、$t$ の次数ごとにまとめる。
段 1（2 次の項）。$t^2$ が出るのは $ax^2$、$2hxy$、$by^2$ だけで、係数は $au_1^2+2hu_1u_2+bu_2^2=Q(\vec u)$ である。
段 2（1 次の項）。$ax^2$ からは $2ax_0u_1t$、$2hxy$ からは $2h(x_0u_2+y_0u_1)t$、$by^2$ からは $2by_0u_2t$、$2gx$ からは $2gu_1t$、$2fy$ からは $2fu_2t$ が出る。合計は
$$ 2t\bigl\{(ax_0+hy_0+g)u_1+(hx_0+by_0+f)u_2\bigr\}=2t\,(\vec n_P\cdot\vec u) $$
である。
段 3（定数項）。$t=0$ とおけば $F(P)$ である。
段 4（偏極）。$G(P;X)$ は $X$ の 1 次式で、$x$、$y$ の係数が $\vec n_P$ なので、$X=P+t\vec u$ とおくと $G(P;P+t\vec u)=G(P;P)+t\,(\vec n_P\cdot\vec u)=F(P)+t\,(\vec n_P\cdot\vec u)$ である。$\square$

$F(P)=0$ なので、thm-pp-expand から $F(P+t\vec u)=t\bigl(2\,\vec n_P\cdot\vec u+tQ(\vec u)\bigr)$ である。これが $t^2$ で割り切れるのは、$t$ の 1 次の係数 $2\,\vec n_P\cdot\vec u$ が $0$ のとき、つまり $\vec u\perp\vec n_P$ のときである。$\vec n_P\ne\vec0$ なので、$P$ を通り $\vec n_P$ に垂直な直線はただ 1 本で、それは $\vec n_P\cdot\overrightarrow{PX}=0$ である。thm-pp-expand の第 2 式で $F(P)=0$ とおくと、この直線は $G(P;X)=0$ と一致する。$\square$

$R$ が $P$ の極線の上にあるとは $G(P;R)=0$、$P$ が $R$ の極線の上にあるとは $G(R;P)=0$ のことである。偏極の対称性 $G(P;R)=G(R;P)$ から、2 つは同じ条件である。$\square$

段 1（$P$ の極線は定まる）。$\vec n_P=\vec0$ なら $G(P;X)$ は $X$ によらない定数で、$X=P$ とおくとその値は $F(P)\ne0$ である。このとき $G(P;T)\ne0$ で、$G(T;P)\ne0$ だから $T$ での接線は $P$ を通らない。したがって、$P$ を通る接線が 1 本でもあれば $\vec n_P\ne\vec0$ である。
段 2（同値）。thm-pp-tangent から $T$ での接線は $G(T;X)=0$ なので、それが $P$ を通るのは $G(T;P)=0$ のときである。対称性からこれは $G(P;T)=0$、つまり $T$ が $P$ の極線の上にあることである。
段 3（2 本の接線）。段 2 から $T_1$、$T_2$ はどちらも $P$ の極線の上にある。相異なる 2 点を通る直線はただ 1 本なので、極線は直線 $T_1T_2$ である。$\square$

1：$P=(c,0)$ では $G(P;X)=\frac{cx}{a^2}-1$ なので、極線は $x=\frac{a^2}c$ である。$P=(-c,0)$ では $-\frac{cx}{a^2}-1=0$、つまり $x=-\frac{a^2}c$ である。
2：同じく $G(P;X)=\frac{\pm cx}{a^2}-1$ で、極線は $x=\pm\frac{a^2}c$ である。
3：$F=y^2-4px$ では $b=1$、$g=-2p$ なので、$P=(p,0)$ で $G(P;X)=0\cdot y-2p(p+x)$ である。$p\ne0$ なので、極線は $x=-p$ で、これは 放物線（高校数学） の定理「放物線の方程式（標準形）」の準線である。
1 と 2 の直線が準線であること：離心率 $e=\frac ca$ を使うと $\frac{a^2}c=\frac ae$ で、楕円・双曲線の準線は $x=\pm\frac ae$ である（2次曲線の焦点と準線 の系「楕円の準線」「双曲線の準線」）。$\square$

段 1（$R$ の極線が定まる）。3 つの標準形で $\vec n_R=\vec0$ となるのは、楕円・双曲線の中心（原点）だけである。原点 $O$ では $G(O;X)=-1$ なので $G(T_1;O)=G(O;T_1)\ne0$ で、$T_1$ での接線は原点を通らない。よって $R\ne O$ で、$\vec n_R\ne\vec0$ である。
段 2（$R$ の極線は $T_1T_2$）。$R$ は $T_i$ での接線 $G(T_i;X)=0$ の上にあるので $G(T_i;R)=0$、対称性から $G(R;T_i)=0$ である（$i=1,2$）。よって $T_1$、$T_2$ は $R$ の極線の上にあり、$R$ の極線は直線 $T_1T_2$ で、これは $S$ を通る。
段 3（La Hire）。焦点 $S$ では $\vec n_S\ne\vec0$ である（prf-pp-focus で極線が直線になった）。thm-pp-lahire から $R$ は $S$ の極線の上にあり、thm-pp-focus からそれは準線である。$\square$

方針：$s_A$、$s_B$ は $s$ の 2 次方程式の解、$s_Q$ は 1 次方程式の解である。thm-pp-expand で両方を書き、解と係数の関係で比べる。$k=\vec n_P\cdot\vec u$ とおく。
段 1（$s_A$、$s_B$）。thm-pp-expand から、$P+s\vec u$ が $K$ の上にある条件は $Q(\vec u)s^2+2ks+F(P)=0$ である。この方程式が相異なる 2 つの解をもつので $Q(\vec u)\ne0$（$Q(\vec u)=0$ なら 1 次以下の方程式で、解は 1 個以下か、$k=F(P)=0$ のときすべての $s$ だが $F(P)\ne0$）。解と係数の関係から $s_A+s_B=-\dfrac{2k}{Q(\vec u)}$、$s_As_B=\dfrac{F(P)}{Q(\vec u)}$ で、$F(P)\ne0$ から $s_A$、$s_B$ はどちらも $0$ でない。
段 2（$s_Q$）。thm-pp-expand の第 2 式から、$P+s\vec u$ が極線の上にある条件は $F(P)+ks=0$ である。$k=0$ ならこれは $F(P)=0$ となって解がないので、交点 $Q$ があることから $k\ne0$ で、$s_Q=-\dfrac{F(P)}k\ne0$ である。
段 3（比べる）。$\dfrac1{s_A}+\dfrac1{s_B}=\dfrac{s_A+s_B}{s_As_B}=-\dfrac{2k}{F(P)}=\dfrac2{s_Q}$ である。$\square$

2 つの式 $\alpha x+\beta y=\gamma$ と $\alpha'x+\beta'y=\gamma'$ が同じ直線を表すのは、係数の組 $(\alpha,\beta,\gamma)$ と $(\alpha',\beta',\gamma')$ が比例するときである。
1：点 $(x_0,y_0)$（原点以外）の極線は $\frac{x_0}{a^2}x+\frac{\varepsilon y_0}{b^2}y=1$ で、右辺が $1\ne0$ なので原点を通らない。よって $\gamma=0$ の直線は極をもたない。$\gamma\ne0$ なら、比例の比は右辺から $\frac1\gamma$ に決まり、$\frac{x_0}{a^2}=\frac\alpha\gamma$、$\frac{\varepsilon y_0}{b^2}=\frac\beta\gamma$ から極はただ 1 つで、$\varepsilon^2=1$ を使うと上の式になる。
2：点 $(x_0,y_0)$ の極線は $y_0y-2p(x_0+x)=0$、つまり $-2px+y_0y=2px_0$ で、$x$ の係数が $-2p\ne0$ である。よって $\alpha=0$ の直線は極をもたない。$\alpha\ne0$ なら比例の比は $x$ の係数から $-\frac{2p}\alpha$ に決まり、$y_0=-\frac{2p\beta}\alpha$、$2px_0=-\frac{2p\gamma}\alpha$ から極はただ 1 つで、上の式になる。$\square$

$m$ は $M$ の極線なので、$R$ が $m$ の上にあることは「$R$ が $M$ の極線の上にある」ことである。thm-pp-lahire から、これは「$M$ が $R$ の極線の上にある」ことと同値である。逆向きも同じ議論である。$\square$