十分な入射対象
概要
十分な入射対象（enough injectives）とは、アーベル圏の任意の対象が入射対象へのモノ射をもつという条件であり、これを満たす圏ではどの対象も入射分解をもち、左完全関手の右導来関手が定義できる。アーベル群の圏では可除群への埋め込みで、環上の加群の圏では余誘導加群 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)$ への埋め込みで、環付き空間上の加群層の圏では茎を入射加群に埋め込んだ摩天楼層の直積への埋め込みで、この条件が満たされる。より一般に Grothendieck 圏は十分な入射対象をもつ。一方、有限アーベル群の圏の入射対象は $0$ だけで、この条件は成り立たない。
アーベル圏が 十分な入射対象をもつ（has enough injectives）とは、どの対象も入射対象の中に部分対象として埋め込めることをいう。この条件があれば、どの対象も入射対象からなる完全列（入射分解）で置き換えられ、左完全関手の右導来関手が定義できる。Ext 関手や層のコホモロジーが定義できるのは、加群の圏や層の圏がこの条件を満たすからである。
この記事では、アーベル群の圏 → 環上の加群の圏 → 環付き空間上の加群層の圏の順に、十分な入射対象をもつことを証明する。アーベル群では可除群へ埋め込み、加群では係数の取り替えでアーベル群の場合に帰着し、層では各点の茎を入射加群に埋め込んで摩天楼層の直積をとる。さらに、より一般の Grothendieck 圏で成り立つこと（この記事では証明しない）と、十分な入射対象をもたないアーベル圏の例を述べる。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ が 十分な入射対象をもつ とは、任意の対象 $X$ に対して、入射対象 $I$ とモノ射 $X\hookrightarrow I$ が存在することをいう。双対的に、任意の対象 $X$ に対して射影対象 $P$ とエピ射 $P\twoheadrightarrow X$ が存在するとき、$\mathcal A$ は 十分な射影対象をもつ（has enough projectives）という。
入射対象の定義と基本性質（$\operatorname{Hom}(-,I)$ の完全性による言い換え、直積が入射的であること）は 入射対象 にある。十分な入射対象をもつ圏では、$X\hookrightarrow I^0$ の余核を入射対象 $I^1$ に埋め込み、その余核を $I^2$ に埋め込む、という操作を繰り返して入射分解 $0\to X\to I^0\to I^1\to\cdots$ が得られる（入射分解 の命題「入射分解の存在」）。左完全関手 $F$ の右導来関手は $R^nF(X):=H^n(F(I^\bullet))$ で定義される。
十分な射影対象のほうは、加群の圏ではすぐにわかる。左 $R$ 加群 $M$ について、自由加群 $R^{(M)}$ から $M$ への写像 $e_m\mapsto m$ は全射で、自由加群は射影的だからである（射影加群）。入射対象のほうは、自由加群のような「標準的な入射加群」が手元にないので、構成に工夫が要る。
加群の圏
まずアーベル群（$\mathbb Z$ 加群）の場合を示す。$\mathbb Z$ 加群が入射的であることと可除であることは同値である（可除群 の定理「可除群と入射性」）。
任意のアーベル群 $M$ は、ある可除群に単射で埋め込まれる。したがってアーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ は十分な入射対象をもつ。
集合 $S$（たとえば $S=M$）と全射 $\pi\colon F:=\mathbb Z^{(S)}\to M$ をとり、$K:=\ker\pi$ とおくと $M\cong F/K$ である。$F$ は $V:=\mathbb Q^{(S)}$ の部分群であり、$V$ は可除群 $\mathbb Q$ の直和なので可除である。包含 $F\subset V$ は単射 $F/K\to V/K$ を誘導し、$V/K$ は可除群の商なので可除である（可除群 の命題「像・直和・直積・和」）。よって $M\cong F/K\hookrightarrow V/K$ が求める埋め込みである。$\square$
たとえば $\mathbb Z\subset\mathbb Q$、$\mathbb Z/n\cong\langle1/n\rangle\subset\mathbb Q/\mathbb Z$ である。
次に、アーベル群の入射対象から加群の入射対象を作る。$R$ を環（単位元をもち、可換とは限らない）、$D$ をアーベル群とする。アーベル群 $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D)$ に
$$
(r\varphi)(s):=\varphi(sr)\qquad(r,s\in R,\ \varphi\in\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D))
$$
で左 $R$ 加群の構造を入れる。$((rr')\varphi)(s)=\varphi(srr')=(r'\varphi)(sr)=(r(r'\varphi))(s)$ なので、これは左作用である。これを $D$ の 余誘導加群 という。
- 左 $R$ 加群 $N$ について、$\Phi_N(\alpha)(n):=\alpha(n)(1)$ は $N$ について自然な同型
$$ \Phi_N\colon\operatorname{Hom}_R\bigl(N,\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D)\bigr)\xrightarrow{\ \cong\ }\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N,D) $$
を与える。 - $D$ が入射的アーベル群なら、$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D)$ は入射的な左 $R$ 加群である。
1．逆写像を $\Psi_N(\beta)(n)(r):=\beta(rn)$ で定める。$\Psi_N(\beta)$ は $R$ 線形である：$(r'\cdot\Psi_N(\beta)(n))(r)=\Psi_N(\beta)(n)(rr')=\beta(rr'n)=\Psi_N(\beta)(r'n)(r)$。$\Phi_N\Psi_N(\beta)(n)=\beta(n)$ であり、$R$ 線形な $\alpha$ について
$$
\Psi_N\Phi_N(\alpha)(n)(r)=\alpha(rn)(1)=\bigl(r\,\alpha(n)\bigr)(1)=\alpha(n)(r)
$$
である。$R$ 準同型 $u\colon N'\to N$ について $\Phi_{N'}(\alpha\circ u)=\Phi_N(\alpha)\circ u$ は定義から直ちに従う。
2．左 $R$ 加群の単射 $u\colon N'\to N$ をとる。1 の自然な同型により、制限写像 $u^*\colon\operatorname{Hom}_R(N,\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D))\to\operatorname{Hom}_R(N',\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D))$ は、アーベル群の制限写像 $u^*\colon\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N,D)\to\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N',D)$ と同一視される。$u$ はアーベル群としても単射で $D$ は入射的なので、後者は全射である。よって $\operatorname{Hom}_R(-,\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D))$ は単射を全射に送り、$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D)$ は入射的である（入射対象 の命題「入射性と $\operatorname{Hom}$ 関手の完全性」）。$\square$
1 は、加法群を忘れる関手 $R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ の右随伴関手が $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,-)$ であることを述べている。2 は「完全関手の右随伴は入射対象を保つ」という一般原理の一例である（Wei94 Proposition 2.3.10、Corollary 2.3.11、pp. 41–42）。
任意の環 $R$ について、左 $R$ 加群の圏 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ は十分な入射対象をもつ。したがって任意の左 $R$ 加群は入射分解をもつ。
$M$ を左 $R$ 加群とする。lem-ei-ab により、アーベル群の単射 $\iota\colon M\hookrightarrow D$（$D$ は可除群、したがって入射的アーベル群）がある。
$$
\theta\colon M\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D),\qquad\theta(m)(r):=\iota(rm)
$$
とおく。$\theta=\Psi_M(\iota)$ なので $\theta$ は $R$ 線形である。$\theta(m)=0$ なら $\iota(m)=\theta(m)(1)=0$ で、$\iota$ は単射なので $m=0$ である。よって $\theta$ は単射で、lem-ei-coinduced の 2 により $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D)$ は入射的である。入射分解は上で述べた繰り返しで得られる。$\square$
$D$ として可除群 $\mathbb Q/\mathbb Z$ の直積をとることもできる。$\mathbb Q/\mathbb Z$ は $\mathbf{Ab}$ の余生成子であり、$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は $R\text{-}\mathbf{Mod}$ の入射的な余生成子になる（余生成子 の定理「加群の圏の入射的余生成子」。Wei94 §2.3、pp. 39–42 もこの形の構成を述べている）。
層の圏
$(X,\mathcal O_X)$ を環付き空間とし、$\mathcal O_X$ 加群の層の圏を $\mathrm{Mod}(\mathcal O_X)$ と書く。$\mathcal O_X$ を定数層 $\mathbb Z$ にとれば、これはアーベル群の層の圏 $\mathrm{Ab}(X)$ である。点 $x\in X$ と $\mathcal O_{X,x}$ 加群 $A$ に対し、$x$ を含む開集合 $U$ では $A$、含まない $U$ では $0$ を値とする摩天楼層を $i_{x*}A$ と書く。これは $\mathcal O_X$ 加群の層で、自然な同型
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal G,i_{x*}A)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal G_x,A)
$$
があり、左辺の射 $\varphi$ は右辺の茎の写像 $\varphi_x$（と同一視 $(i_{x*}A)_x=A$ の合成）に対応する（摩天楼層 の定理「摩天楼層の普遍性」の 1・3）。
環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ について、$\mathrm{Mod}(\mathcal O_X)$ は十分な入射対象をもつ。とくに、位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏 $\mathrm{Ab}(X)$ は十分な入射対象をもつ。
$\mathcal F$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。各点 $x$ について、thm-ei-modules により $\mathcal O_{X,x}$ 加群の単射 $e_x\colon\mathcal F_x\hookrightarrow I_x$（$I_x$ は入射的な $\mathcal O_{X,x}$ 加群）を選び、
$$
\mathcal I:=\prod_{x\in X}i_{x*}I_x
$$
とおく。前層としての直積は層であり、$\mathrm{Mod}(\mathcal O_X)$ の直積を与える。直積の普遍性と上の同型から、$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal G$ について自然な同型
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal G,\mathcal I)\cong\prod_{x\in X}\operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal G_x,I_x)
$$
がある。
$\mathcal I$ は入射的． 単射 $\mathcal G'\hookrightarrow\mathcal G$ をとる。茎をとる関手は完全なので、各 $x$ で $\mathcal G'_x\to\mathcal G_x$ は単射であり、$I_x$ は入射的なので $\operatorname{Hom}(\mathcal G_x,I_x)\to\operatorname{Hom}(\mathcal G'_x,I_x)$ は全射である。上の同型により、制限写像 $\operatorname{Hom}(\mathcal G,\mathcal I)\to\operatorname{Hom}(\mathcal G',\mathcal I)$ はこれらの直積なので全射である。よって $\mathcal I$ は入射的である（入射対象 の命題「入射性と $\operatorname{Hom}$ 関手の完全性」）。
$\mathcal F$ が埋め込まれる． 族 $(e_x)_x$ に対応する射を $e\colon\mathcal F\to\mathcal I$ とする。点 $y$ で、$e$ と射影 $\mathcal I\to i_{y*}I_y$ の合成は $e_y$ に対応する射なので、その茎の写像は $e_y\colon\mathcal F_y\to I_y$ である。この茎の写像は $\mathcal F_y\xrightarrow{e_y'}\mathcal I_y\to(i_{y*}I_y)_y=I_y$ と分解し（$e'_y$ は $e$ の茎）、合成 $e_y$ が単射なので $e'_y$ も単射である。各茎で単射なので $e$ は単射である。$\square$
この構成は Godement による（Gro57 p. 156、系の直後の証明。アーベル群の層については Wei94 Example 2.3.12、p. 42）。$\mathcal I$ は各点で茎を入射加群に埋め込んだ情報だけから作られ、層の貼り合わせの情報を使わない。無限個の層の直積の茎は、一般には各成分の茎の直積と一致しない。上の証明は射影 $\mathcal I\to i_{y*}I_y$ だけを使うので、$\mathcal I_y$ を計算する必要がない。アーベル群の層の場合の証明は 層コホモロジー の定理「入射層の十分性」にもある。こうして得られる入射分解から層のコホモロジー $H^n(X,\mathcal F)=R^n\Gamma(X,\mathcal F)$ が定義される。
Grothendieck 圏
加群の圏・層の圏の証明は、どちらも具体的な入射対象を作った。圏論的な条件だけから十分な入射対象を導くのが次の定理である。アーベル圏 $\mathcal A$ が Grothendieck 圏 であるとは、任意の（小さい）族の直和をもち（AB3）、有向族の帰納極限が完全で（AB5）、生成対象 $U$（$\operatorname{Hom}(U,-)$ が忠実になる対象）をもつことをいう（Grothendieck圏）。
Grothendieck 圏は十分な入射対象をもつ。
この記事では証明しない（Gro57 Théorème 1.10.1、p. 135、KS06 Theorem 9.6.2、p. 236）。証明の考え方は Baer の判定法の一般化である。AB5 のもとでは、$I$ が入射的であることは、生成対象 $U$ の部分対象 $U'$ からの射 $U'\to I$ がすべて $U$ に延びることと同値であり（Gro57 1.10 の Lemme 1、p. 136）、この形の延長問題を超限帰納法で次々に解いて $X$ を大きくしていくと、入射対象に到達する（AB5 は帰納極限をとる段で使う）。たとえば $R\text{-}\mathbf{Mod}$ は $U=R$ を生成対象とする Grothendieck 圏である（Grothendieck圏 の命題「加群の圏は Grothendieck 圏である」）。
すべての元の位数が有限なアーベル群（捩れアーベル群）のなす $\mathbf{Ab}$ の充満部分圏 $\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ を考える。捩れ群の部分群と商は捩れ群なので、$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ の核・余核は $\mathbf{Ab}$ のものと同じで、$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ のモノ射は単射準同型である。$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ は十分な入射対象をもつことを直接示す。
$M$ を捩れ群とし、lem-ei-ab により単射 $M\hookrightarrow D$（$D$ は可除群）をとる。$D$ の捩れ元全体 $t(D)$ は $M$ を含む捩れ群であり、可除である：$x\in t(D)$、$mx=0$、$n\ge1$ について $ny=x$ となる $y\in D$ をとると $mny=0$ なので $y\in t(D)$。よって $t(D)$ は $\mathbf{Ab}$ で入射的であり、$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ の単射 $A\hookrightarrow B$ と準同型 $A\to t(D)$ は $\mathbf{Ab}$ の中で $B\to t(D)$ に延びるので、$t(D)$ は $\mathbf{Ab}_{\mathrm{tors}}$ でも入射的である。たとえば $\mathbb Z/p\hookrightarrow\mathbb Z/p^\infty$（Prüfer群）である。
十分な入射対象をもたない圏
有限アーベル群のなす $\mathbf{Ab}$ の充満部分圏 $\mathcal F$ はアーベル圏であるが、その入射対象は $0$ だけである。したがって $\mathcal F$ は十分な入射対象をもたない（$\mathbb Z/2\ne0$ はどの入射対象にも単射で入らない）。
$I\ne0$ を $\mathcal F$ の入射対象とし、位数が素数 $p$ の元 $x\in I$ をとる。$p^N>\lvert I\rvert$ となる $N$ をとり、$\mathcal F$ の単射 $u\colon\mathbb Z/p\to\mathbb Z/p^N$、$1\mapsto p^{N-1}$ と、$f\colon\mathbb Z/p\to I$、$1\mapsto x$ を考える。入射性から $g\circ u=f$ となる $g\colon\mathbb Z/p^N\to I$ があり、$y:=g(1)$ は $p^{N-1}y=g(p^{N-1})=x\ne0$ を満たす。よって $y$ の位数は $p^N$ で、$\lvert I\rvert$ より大きい。これは有限群の元の位数が群の位数を割ることに反する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 任意の直和をもつ（AB3）と生成対象 | 有限アーベル群の圏 | 十分な入射対象をもつ（入射対象は $0$ だけ） |
| 任意の直和をもつ（AB3） | 有限生成アーベル群の圏 | 十分な入射対象をもつ（入射対象は $0$ だけ。入射分解 の例「反例：十分な入射対象を持たないアーベル圏」） |
どちらの圏も、可除群のように「無限に割れる」対象を含まないことが原因である。有限アーベル群の圏は射影対象も $0$ だけであり、十分な射影対象ももたない（Wei94 §2.2 の注意、p. 33）。
関連項目
参考文献
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