Kervaire–Milnorの群

$W$ の中に、$p\in\Sigma$ と $p'\in\Sigma'$ を結び、境界と横断的に交わる滑らかな弧をとり、その閉じた管状近傍の埋め込み $i\colon D^n\times[0,1]\to W$ で $i(D^n\times0)\subset\Sigma$、$i(D^n\times1)\subset\Sigma'$ となるものをとる（KM63 Lemma 2.2 の証明、pp. 505–506。管状近傍定理）。$i(\cdot,0)$ が $\Sigma$ の向きを保つように選んでおく。$W_0:=W\setminus i(\operatorname{Int}D^n\times[0,1])$、$T:=i(S^{n-1}\times[0,1])$、$Y:=N_g$（$g$ は $N$ の向きを逆にする円板）とし、$W':=W_0\cup_T(Y\times[0,1])$ を $i(u,s)\leftrightarrow(g(u),s)$（$u\in S^{n-1}$）で貼ったものとする（角は 角の解消 で丸める）。$W'$ の境界は $\Sigma_{i(\cdot,0)}\cup Y\times0=\Sigma\#N$ と、同様に $-(\Sigma'\#N)$ である。

単連結性。$W=W_0\cup i(D^n\times[0,1])$ で、$T\cong S^{n-1}\times[0,1]$ と $D^n\times[0,1]$ は単連結なので、Van Kampenの定理 により $\pi_1(W_0)\cong\pi_1(W)\cong\pi_1(\Sigma)=1$ である。$Y$ は単連結なので（lem-kmg-sum の 3 の証明）、同じく $\pi_1(W')=1$ である。

相対ホモロジー。$A:=(\Sigma\setminus i(\operatorname{Int}D^n\times0))\cup T$ とおく。$\Sigma\#N\cup(Y\times[0,1])$ は、$Y\times[0,1]$ を $Y\times0$ に縮めるホモトピー（$\Sigma_{i(\cdot,0)}$ との共通部分 $\partial Y\times0$ を動かさない）で $\Sigma\#N$ に変形レトラクトし、その和は $\Sigma_{i(\cdot,0)}\cup(Y\times[0,1])$ である。三つ組の長完全列と切除により $H_*(W',\Sigma\#N)\cong H_*\bigl(W',\Sigma_{i(\cdot,0)}\cup(Y\times[0,1])\bigr)\cong H_*(W_0,A)$ となる。同じ議論を $Y\times[0,1]$ のかわりに $i(D^n\times[0,1])$ で行うと $H_*(W,\Sigma)\cong H_*(W_0,A)$ となる。よって $H_*(W',\Sigma\#N)\cong H_*(W,\Sigma)=0$ であり、両端 $\Sigma\#N$、$\Sigma'\#N$ は単連結なホモトピー球面（lem-kmg-sum の 3）なので、判定により $W'$ は h 同境である。$\square$

低い次元．$n\le2$ では $\Sigma$ は $S^n$ と微分同相で（rem-kmg-group-source）、$TS^n\oplus\varepsilon^1$ は $\mathbb R^{n+1}$ の中での接束と法束（位置ベクトルが張る自明な直線束）の和なので自明束 $S^n\times\mathbb R^{n+1}$ である。以下 $n\ge3$ とする。

障害類．$h\colon S^n\to\Sigma$、$g\colon\Sigma\to S^n$ を互いにホモトピー逆な写像とし、$\xi:=T\Sigma\oplus\varepsilon^1$（階数 $n+1$）とおく。$\Sigma$ はコンパクトな距離空間なのでパラコンパクト Hausdorff であり、$hg\simeq\mathrm{id}_\Sigma$ と ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」から $\xi\cong g^*(h^*\xi)$ である。よって $h^*\xi$ が自明なら $\xi$ も自明である。球面上のベクトル束の分類 の系「古典群による表示」の 3 により、$S^n$ 上の階数 $n+1$ の実ベクトル束の同型類は $\pi_{n-1}(SO(n+1))$ と一対一に対応し、自明束は $0$ に対応する。ファイバー束 $SO(m)\to SO(m+1)\to S^m$ のホモトピー完全列により、$m\ge n+1$ では $\pi_{n-1}(SO(m))\to\pi_{n-1}(SO(m+1))$ は同型なので、$h^*\xi$ の類は安定な群 $\pi_{n-1}(SO)$ の元 $o(\Sigma)$ を定め、$o(\Sigma)=0$ なら $\xi$ は自明である。Bott の計算により $\pi_{n-1}(SO)$ は、$n$ を $8$ で割った余りが $0,1,2,3,4,5,6,7$ のときそれぞれ $\mathbb Z,\mathbb Z/2,\mathbb Z/2,0,\mathbb Z,0,0,0$ である（KM63 p. 508 の表）。

$n\equiv3,5,6,7\pmod8$．$\pi_{n-1}(SO)=0$ なので $o(\Sigma)=0$ である。

$n=4k$．$\pi_{4k-1}(SO)\cong\mathbb Z$ であり、$o(\Sigma)$ の $0$ でないある倍数は Pontryagin 類 $p_k(\xi)=p_k(T\Sigma)$ と同一視される（MK60 Lemma 2、p. 455、証明は p. 456。KM63 p. 508。この同一視はこの記事では証明しない。安定性は Pontryagin類 の命題「自然性・安定性・Whitney の和公式」）。$0< i< k$ では $H^{4i}(\Sigma)=0$ なので $p_i(\Sigma)=0$ で、Hirzebruchの符号数定理 の定理「Hirzebruch の符号数定理」の $L_k$ のうち $p_k$ の項だけが残り、$L_k$ の $p_k$ の係数は $0$ でない有理数なので（MK60 p. 457）、$\langle p_k(\Sigma),[\Sigma]\rangle$ は符号数 $\sigma(\Sigma)$ の有理数倍である（KM63 p. 508）。$H^{2k}(\Sigma;\mathbb Q)=0$ なので $\sigma(\Sigma)=0$ であり、$H^{4k}(\Sigma;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ は基本類との組で検出されるので $p_k(\Sigma)=0$ である。よって $o(\Sigma)$ の $0$ でない倍数が $0$ になり、$\mathbb Z$ は捩れをもたないので $o(\Sigma)=0$ である。

$n\equiv1,2\pmod8$、$n\ge9$．$\pi_{n-1}(SO)\cong\mathbb Z/2$ である。Rohlin の議論により $o(\Sigma)$ の Hopf–Whitehead の $J$ 準同型 $J\colon\pi_{n-1}(SO(k))\to\pi_{n+k-1}(S^k)$（$k>n$）による像は $0$ であり、この $n$ では $J$ は単射である（Adams）。よって $o(\Sigma)=0$ である（KM63 p. 509。この場合はこの記事では証明しない）。$\square$

構成．$k>n+1$ なので、閉多様体 $M^n$ の埋め込み $M\to S^{n+k}$ は存在し、可微分なイソトピーを除いて一意である（KM63 p. 510）。$M$ が安定平行化可能なら法束 $\nu$ は自明で（KM63 Lemma 3.3、p. 509）、法束の枠（各点の $\nu$ の基底を連続に選んだもの）$\varphi$ がとれる。$\varphi$ で閉じた管状近傍を $M\times D^k$ と同一視し（管状近傍定理）、その外を基点に潰して $M\times D^k\to D^k/\partial D^k=S^k$ と合成した写像 $S^{n+k}\to S^k$ の類を $p(M,\varphi)$ とし、$\varphi$ を動かしたときの値の集合を $p(M)\subset\Pi_n$ とする。$k>n+1$ なので $\Pi_n$ は安定ホモトピー群である（安定ホモトピー群 の定理「安定範囲」）。$S^{n+k}\times[0,1]$ のコンパクトな部分多様体 $W$ で、両端の近くで $M_q\times[0,\epsilon)$ の形をして $\partial W=M_0\times0\sqcup M_1\times1$ となるものと、$W$ の法束の枠 $\psi$ があれば、$W$ について同じ構成を行うと $p(M_0,\psi|_{M_0})$ と $p(M_1,\psi|_{M_1})$ の間のホモトピーが得られる（Pontryagin、Thom。KM63 p. 510）。

枠の延長．$W$ をこの形の部分多様体とし、包含 $i\colon M_0\to W$ はホモトピー同値であるとする。$r$ をそのホモトピー逆とし、$M_0$ の法束の枠 $\varphi_0$ が与えられているとする。$W$ の法束 $\nu_W$ の $M_0$ への制限 $i^*\nu_W$ は $M_0$ の法束で、$\varphi_0$ により自明である。$ir\simeq\mathrm{id}_W$ と引き戻しのホモトピー不変性から $\nu_W\cong r^*(i^*\nu_W)$ なので、$\nu_W$ も自明である。その大域的な枠 $\Psi$ をとると、連続写像 $a\colon M_0\to GL_k(\mathbb R)$ によって $\varphi_0=\Psi|_{M_0}\cdot a$ と書ける。$b:=a\circ r$ とおくと $ri\simeq\mathrm{id}_{M_0}$ から $b\circ i\simeq a$ であり、そのホモトピーを $H_t$（$H_0=b\circ i$、$H_1=a$）とする。カラー $c\colon M_0\times[0,1)\to W$（カラー近傍定理）をとり、$A(c(x,s)):=b(c(x,s))\,b(c(x,0))^{-1}H_{\max(0,1-2s)}(x)$（$s\le\tfrac12$）、$c(M_0\times[0,\tfrac12))$ の外で $A:=b$ とおく。$s=\tfrac12$ で両者は一致し、2 つの閉集合の上の連続写像を貼り合わせたものなので $A\colon W\to GL_k(\mathbb R)$ は連続で、$A|_{M_0}=H_1=a$ である。$\psi:=\Psi\cdot A$ は $\varphi_0$ を延ばす $W$ の枠である。

不変性．埋め込みのイソトピーの跡 $M\times[0,1]\subset S^{n+k}\times[0,1]$ に前段を当てると、$p(M)$ は埋め込みによらない。$\Sigma_0$、$\Sigma_1$ を向き付けられた h 同境 $W$ で結ばれたホモトピー球面とし、$W$ を両端が $\Sigma_q\times q$ になるように $S^{n+k}\times[0,1]$ に埋め込む（KM63 Lemma 4.3 の証明、p. 510）。$\Sigma_0$ の任意の枠 $\varphi_0$ を前段で $W$ に延ばすと、$p(\Sigma_0,\varphi_0)=p(\Sigma_1,\psi|_{\Sigma_1})\in p(\Sigma_1)$ である。$\Sigma_1\to W$ もホモトピー同値なので逆向きにも同じで、$p(\Sigma_0)=p(\Sigma_1)$ となる。最後に、$p(S^n)$ は $\Pi_n$ の部分群で、各ホモトピー球面について $p(\Sigma)$ はその剰余類であり（KM63 Lemma 4.5、p. 511）、$p(S^n)$ は $J\colon\pi_n(SO(k))\to\pi_{n+k}(S^k)$ の像である（同 p. 512 の注意）。この記事ではこの 2 点を証明しない。よって $p(\Sigma)$ が定める $\Pi_n/\operatorname{im}J$ の元は $\Sigma$ の h 同境類だけで決まる。$\square$

この値 $[\Sigma]\mapsto p(\Sigma)$ は準同型 $\Theta_n\to\Pi_n/\operatorname{im}J$ を与え、その核が $bP_{n+1}$ である（KM63 Lemma 4.2・4.4・4.5、pp. 510–511）。これが thm-kmg-structure の 2 の同型の由来である。