Kervaire–Milnorの群

必要性は、ホモトピー同値が基本群とホモロジーの同型を引き起こすことによる（ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）。十分性を示す。$M$ は単連結で $\tilde H_i(M)=0$（$i< n$）なので、Hurewicz の定理（Hat02 Theorem 4.32、p. 366）により $\pi_n(M)\cong H_n(M)\cong\mathbb{Z}$ で、Hurewicz 写像は $[g]\mapsto g_*[S^n]$ である。生成元を表す $g\colon S^n\to M$ は $H_n$ の同型を引き起こし、ほかの次数では両辺とも $0$ か $\mathbb{Z}$（$H_0$）なので、すべての次数でホモロジーの同型を引き起こす。コンパクト多様体は CW 複体とホモトピー同値なので（Hat02 Corollary A.12、p. 529）、単連結な CW 複体についての Whitehead の定理（Hat02 Corollary 4.33、p. 367）により $g$ はホモトピー同値である。$\square$

1 と $M\#S^n\cong M$ は 境界に沿った貼り合わせと連結和 の定理「連結和の基本性質」の 2 と命題「球面との連結和」である。
可換性：$M\#_{f,g}N=M_f\cup_hN_g$、$h=f\circ g^{-1}$ とする。$r$ を第 1 座標の鏡映とすると、$g\circ r$ は $N$ の向きを保ち $f\circ r$ は $M$ の向きを逆にする円板で、$N_{g\circ r}=N_g$、$M_{f\circ r}=M_f$、$(g\circ r)\circ(f\circ r)^{-1}=h^{-1}$ である。したがって $N\#_{g\circ r,f\circ r}M=N_g\cup_{h^{-1}}M_f$ で、これは $M_f\cup_hN_g$ と同じ空間（同じ同一視）であり、向きも一致する。
結合性：$N$ の中に交わらない 2 つの円板 $g$（向きを逆にする）と $g'$（向きを保つ）をとり、$P$ に向きを逆にする円板 $e$ をとる。1 により、$(M\#N)\#P$ を作るときの $M\#N$ の中の円板は $N_g$ の内部にある $g'$ でよく、$M\#(N\#P)$ を作るときの $N\#P$ の中の円板は $N_{g'}$ の内部にある $g$ でよい。どちらも $M_f$、$N$ から 2 つの円板の内部を除いたもの、$P_e$ の 3 つを同じ写像で貼ったものなので、向きを保って微分同相である。
3：$A:=M_f$、$B:=N_g$ とおく。$M=A\cup f(D^n)$ で、$f(D^n)$ と $A\cap f(D^n)=f(S^{n-1})$ は単連結なので（$n\ge3$）、Van Kampenの定理 により $\pi_1(A)\cong\pi_1(M)=1$ である（カラーで開集合に太らせて使う）。同様に $\pi_1(B)=1$ で、$M\#N=A\cup B$、$A\cap B\cong S^{n-1}$ も単連結なので $\pi_1(M\#N)=1$ である。対 $(M,A)$ の長完全列と切除 $H_*(M,A)\cong H_*(D^n,S^{n-1})$ から $\tilde H_*(A)=0$ となり（$0< i< n$ では $H_i(M)=0$、$H_n(M)\to H_n(M,A)\cong\mathbb{Z}$ は同型）、同様に $\tilde H_*(B)=0$ である。Mayer–Vietoris完全列 を $M\#N=A\cup B$ に使うと $H_*(M\#N)\cong H_*(S^n)$ が得られる。lem-kmg-criterion により $M\#N$ はホモトピー球面である。$\square$

1：反射律は積 $\Sigma\times[0,1]$、対称律は $W$ の向きの反転による。推移律：$\partial W=\Sigma\sqcup(-\Sigma')$、$\partial W'=\Sigma'\sqcup(-\Sigma'')$ を h 同境とし、$V:=W\cup_{\Sigma'}W'$（カラーで滑らかにし、向きをそろえる）とする。$\Sigma'$ は単連結なので Van Kampenの定理 により $\pi_1(V)=1$ である。三つ組 $(V,W,\Sigma)$ の長完全列で、$H_*(W,\Sigma)=0$（h同境定理 の命題「相対ホモロジーによる言い換え」の 1）と、切除による $H_*(V,W)\cong H_*(W',\Sigma')=0$ から $H_*(V,\Sigma)=0$ である。判定により $V$ は $\Sigma$ と $\Sigma''$ の h 同境である。
2：要点：h 同境 $W$ の中で $\Sigma$ から $\Sigma'$ への弧をとり、その管状近傍 $D^n\times[0,1]$ を除いて、代わりに $N_g\times[0,1]$ を貼る（$N_g$ は $N$ から円板の内部を除いたもの）。得られる $W'$ の境界は $(\Sigma\#N)\sqcup-(\Sigma'\#N)$ で、切除とホモトピー不変性により $H_*(W',\Sigma\#N)\cong H_*(W,\Sigma)=0$ となる。

$W$ の内部に滑らかな円板 $D\cong D^{n+1}$ をとり、$W':=W\setminus\operatorname{Int}D$ とする。$\partial W'=M\sqcup\partial D$ で、$\partial D$ には $W'$ の境界としての向きが $D$ の境界としての向きと逆に入るので、向きを込めて $\partial W'=M\sqcup(-S^n)$ である。$W=W'\cup D$ で $W'\cap D=\partial D\cong S^n$ は単連結なので（$n\ge2$）、Van Kampenの定理 により $\pi_1(W')\cong\pi_1(W)=1$ である。切除により $H_*(W',\partial D)\cong H_*(W,D)$ で、$W$ と $D$ はともに可縮なので $H_*(W,D)=0$ である。判定により $W'$ は $M$ と $S^n$ の h 同境である。$\square$

$f\colon D^n\to\Sigma$ を向きを保つ円板とし、$\Sigma_0:=\Sigma_f$ とする。$f$ は $-\Sigma$ の向きを逆にするので、$\Sigma\#_{f,f}(-\Sigma)=\Sigma_0\cup_{\mathrm{id}}(-\Sigma_0)$、すなわち $\Sigma_0$ の 2 つの複製を境界の恒等写像で貼ったものである。積 $W:=\Sigma_0\times[0,1]$ の角を丸めると（角の解消 の定理「積の角の解消」「解消した積の境界」）、$\partial W$ は $\Sigma_0\times0$ と $\Sigma_0\times1$ を円筒 $\partial\Sigma_0\times[0,1]$ でつないだもので、円筒をカラーに吸収させれば $\Sigma_0\cup_{\mathrm{id}}(-\Sigma_0)$ と向きを保って微分同相である（両端の外向きの法線が逆向きなので、両端の向きは逆になる）。$\Sigma_0$ は可縮なので（lem-kmg-sum の後の注意）、$W$ も可縮である。$\square$

$n\ge3$ とする。
演算が定まること。 ホモトピー球面の連結和はホモトピー球面であり、向きを保つ微分同相を除いて円板の選び方によらない（lem-kmg-sum の 1・3）。$\Sigma\sim\Sigma'$、$N\sim N'$ なら、lem-kmg-hcob の 2 と可換性により
$$ \Sigma\#N\sim\Sigma'\#N\cong N\#\Sigma'\sim N'\#\Sigma'\cong\Sigma'\#N' $$
で、1 の推移律により $\Sigma\#N\sim\Sigma'\#N'$ である（向きを保つ微分同相なものは $\sim$ で結ばれる）。よって $[\Sigma]+[N]:=[\Sigma\#N]$ は代表元によらない。
可換モノイド。 lem-kmg-sum の 2 により、この演算は可換で結合的で、$[S^n]$ が単位元である。
逆元。 lem-kmg-inverse により $\Sigma\#(-\Sigma)$ は可縮な多様体の境界で、lem-kmg-sum の 3 により単連結なので、lem-kmg-contractible により $\Sigma\#(-\Sigma)\sim S^n$、すなわち $[\Sigma]+[-\Sigma]=[S^n]$ である。
以上で $\Theta_n$ はアーベル群である。$\square$

向きを保つ微分同相写像 $\phi\colon\Sigma\to\Sigma'$ があれば、積 $\Sigma\times[0,1]$ の $1$ の側を $\phi$ で $\Sigma'$ と同一視したものが向き付けられた h 同境である。逆に $W$ を $\Sigma$ と $\Sigma'$ の向き付けられた h 同境とする。$W$、$\Sigma$、$\Sigma'$ は単連結で（$\Sigma$ はホモトピー球面で、$W$ は $\Sigma$ とホモトピー同値）、$\dim W=n+1\ge6$ なので、h同境定理 の定理「h同境定理」により微分同相写像 $F\colon\Sigma\times[0,1]\to W$ で $F(x,0)=x$、$F(\Sigma\times1)=\Sigma'$ となるものがある。$\Sigma\times[0,1]$ に $F$ で $W$ の向きを引き戻すと、$\Sigma\times0$ の境界の向きは $\Sigma$ の向きで、積の両端の境界の向きは逆なので、$\Sigma\times1$ の境界の向きは $-\Sigma$ の向きである。一方 $\Sigma'$ の $W$ の境界としての向きは $-\Sigma'$ なので、$x\mapsto F(x,1)$ は向きを保つ微分同相写像 $\Sigma\to\Sigma'$ である。
ホモトピー球面が $S^n$ と同相であることは 一般次元のPoincaré予想 による。逆に $S^n$ と同相な滑らかな閉多様体はホモトピー球面である。$\square$

異種球面 の記事の命題「λ の基本性質」を使う。その 4 の条件 $H^4(W,M;\mathbb{Q})=0$ は、Poincaré双対 の定理「Lefschetz 双対」により $H_4(W;\mathbb{Q})=0$ と同値である。
h 同境で不変。 $W$ を $\Sigma$ と $\Sigma'$ の向き付けられた h 同境とすると、$\partial W=\Sigma\sqcup(-\Sigma')$ で、$W$ は $\Sigma$ とホモトピー同値なので $H_4(W;\mathbb{Q})\cong H_4(\Sigma;\mathbb{Q})=0$ である。命題の 4・3・2 により
$$ 0=\lambda(\Sigma\sqcup(-\Sigma'))=\lambda(\Sigma)-\lambda(\Sigma') $$
である。よって $\lambda$ は $\Theta_7$ の上の写像として定まる。
加法的。 $\Sigma\times[0,1]$ と $\Sigma'\times[0,1]$ を、それぞれの $1$ の側の境界に沿って連結和でつないだ多様体 $W$（境界に沿った連結和。$1$ ハンドルを付けることと同じ）をとる。向きを込めて $\partial W=(\Sigma\#\Sigma')\sqcup(-\Sigma)\sqcup(-\Sigma')$ であり、$W$ は一点和 $\Sigma\vee\Sigma'$ とホモトピー同値である（KM63 §2 の Addendum、pp. 507–508、Lemma 4.4 の証明、p. 511。構成と境界は Kos93 Ch. VI (3.1) Theorem、p. 97）。$H_4(\Sigma\vee\Sigma';\mathbb{Q})=H_4(\Sigma;\mathbb{Q})\oplus H_4(\Sigma';\mathbb{Q})=0$ なので、命題の 4・3・2 により
$$ 0=\lambda(\Sigma\#\Sigma')-\lambda(\Sigma)-\lambda(\Sigma') $$
である。
全射。 異種球面 の記事の命題「$M_k$ の λ」により、$M_3$ は $S^7$ と同相（とくにホモトピー球面）で、$\lambda(M_3)=1$ である。$1$ は $\mathbb{Z}/7$ を生成するので $\lambda$ は全射で、$\lvert\Theta_7\rvert$ は $7$ の倍数である。$\square$