アフィン独立

3 と 2 の同値。 $j$ を固定する。$\sum_i\mu_i=0$ のとき $\mu_j=-\sum_{i\ne j}\mu_i$ なので
$$ \sum_{i}\mu_ip_i=\sum_{i\ne j}\mu_i(p_i-p_j) $$
である。よって、アフィン関係 $\mu$ は、ベクトル $p_i-p_j$（$i\ne j$）の自明でない線形関係 $(\mu_i)_{i\ne j}$ を与える（$\mu_i$ がすべて $0$ なら $\mu_j=0$ にもなるので、$(\mu_i)_{i\ne j}$ は $0$ でない）。逆に、自明でない線形関係 $\sum_{i\ne j}\mu_i(p_i-p_j)=0$ があれば、$\mu_j:=-\sum_{i\ne j}\mu_i$ を加えたものはアフィン関係である。したがって、$p_i-p_j$（$i\ne j$）が線形独立であることと 3 は同値である。条件 3 は $j$ によらないので、2 の「ある $j$」と「すべての $j$」も同値である。とくに $j=0$ の場合が 1 なので、1 と 3 も同値である。
3 と 4 の同値。 $\sum_i\mu_i\hat p_i=\bigl(\sum_i\mu_ip_i,\ \sum_i\mu_i\bigr)$ なので、$\hat p_i$ の線形関係はアフィン関係そのものである。
3 と 5 の同値。 $p_j=\sum_{i\ne j}\lambda_ip_i$（$\sum_{i\ne j}\lambda_i=1$）と書けたとすると、$\mu_j:=-1$、$\mu_i:=\lambda_i$（$i\ne j$）はアフィン関係である。逆にアフィン関係 $\mu$ があれば $\mu_j\ne0$ となる $j$ をとり、$p_j=\sum_{i\ne j}(-\mu_i/\mu_j)p_i$ と書ける。係数の和は $-\bigl(\sum_{i\ne j}\mu_i\bigr)/\mu_j=\mu_j/\mu_j=1$ なので、これはアフィン結合である。
3 と 6 の同値。 $x=\sum_i\lambda_ip_i=\sum_i\lambda'_ip_i$（$\sum_i\lambda_i=\sum_i\lambda'_i=1$）と 2 通りに書けたとすると、$\mu:=\lambda-\lambda'$ は $\sum_i\mu_ip_i=0$、$\sum_i\mu_i=0$ を満たすので、3 のもとでは $\lambda=\lambda'$ である。逆にアフィン関係 $\mu$ があれば、点 $p_0$ は係数 $(1,0,\dots,0)$ と係数 $(1,0,\dots,0)+\mu$ の 2 通りのアフィン結合で書け、$\mu\ne0$ なのでこの 2 つは異なる。
1 と 7 の同値。 アフィン部分空間 の命題「共通部分とアフィン包」により $\operatorname{aff}\{p_0,\dots,p_k\}=p_0+U$、$U:=\operatorname{span}\{p_1-p_0,\dots,p_k-p_0\}$ であり、その次元は $\dim U$ である。$k$ 個のベクトルの張る部分空間の次元は $k$ 以下で、ちょうど $k$ になるのはそれらが線形独立なときに限る（基底）。$\square$

1．アフィン関係は、とくに $p_0,\dots,p_k$ の自明でない線形関係である。線形独立ならそれはないので、アフィン関係もない（thm-ai-equiv の 3）。
2．$p_0=0$ として定義を当てはめると、差のベクトルは $p_i-0=p_i$ である。
3．2 により $0,v$ はアフィン独立である。$0$ を含む列は $1\cdot0=0$ という自明でない線形関係をもつので線形独立でない。$\square$

$p_0,\dots,p_k$ がアフィン独立なら、$k$ 個の線形独立なベクトル $p_i-p_0$ が $n$ 次元の $V$ にあるので $k\le n$、すなわち点の個数 $k+1$ は $n+1$ 以下である（基底）。後半は prop-ai-linear の 2 による。$\square$

1．存在。 $p_1-p_0,\dots,p_n-p_0$ は $V$ の基底なので、$T(p_i-p_0)=q_i-q_0$（$i=1,\dots,n$）となる線形写像 $T\colon V\to W$ がただ 1 つある（線形写像）。$f(x):=T(x-p_0)+q_0$ とおくと $f$ はアフィン写像で、$f(p_0)=q_0$、$f(p_i)=(q_i-q_0)+q_0=q_i$ である。アフィン写像はアフィン結合を保つので、$\sum_i\lambda_i=1$ なら $f\bigl(\sum_i\lambda_ip_i\bigr)=\sum_i\lambda_iq_i$ である。
一意性。 $g$ も条件を満たすアフィン写像とする。$g$ もアフィン結合を保つので、$V$ の各点 $x=\sum_i\lambda_ip_i$（重心座標）について $g(x)=\sum_i\lambda_iq_i=f(x)$ である。
2．$f(x)-f(y)=T(x-y)$ なので、$f$ が単射であることは $T$ が単射であることと同値である。$T$ は基底 $p_i-p_0$ を $q_i-q_0$ に写すので、$T$ が単射であることは $q_1-q_0,\dots,q_n-q_0$ が線形独立であること、すなわち $q_0,\dots,q_n$ がアフィン独立であることと同値である。$\square$

$n\ge1$ なので $p_i$ の第 1 成分 $t_i$ は相異なり、$p_i$ も相異なる。$r\le n$ とし、番号を付け替えて $r+1$ 個の点 $p_0,\dots,p_r$ を考える。thm-ai-equiv の 4 により、$K^{n+1}$ のベクトル $\hat p_i=(t_i,t_i^2,\dots,t_i^n,1)$（$0\le i\le r$）が線形独立であることを示せばよい。成分の順番を入れ替えても線形独立性は変わらないので、最後の成分を先頭に移した $u_i:=(1,t_i,t_i^2,\dots,t_i^n)$ を考える。
$\sum_{i=0}^rc_iu_i=0$ とする。最初の $r+1$ 個の成分だけを見ると、$\sum_ic_it_i^{\,j}=0$（$0\le j\le r$）である。係数行列 $(t_i^{\,j})_{0\le i,j\le r}$ は Vandermonde 行列で、その行列式は
$$ \det\bigl(t_i^{\,j}\bigr)_{0\le i,j\le r}=\prod_{0\le i< j\le r}(t_j-t_i) $$
である（Vandermonde行列式）。$t_i$ が相異なるのでこれは $0$ でなく、$c_0=\dots=c_r=0$ である。よって $u_0,\dots,u_r$ は線形独立である。$\square$