射影極限

$p$ を素数とし、$\mathbb{N}$ 上の射影系 $\cdots\to\mathbb{Z}/p^3\to\mathbb{Z}/p^2\to\mathbb{Z}/p\to\mathbb{Z}/p^0=0$（推移写像は自然な全射 $x\bmod p^{n+1}\mapsto x\bmod p^n$）の射影極限
$$ \mathbb{Z}_p:=\varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n=\Bigl\{(x_n)_n\in\prod_n\mathbb{Z}/p^n\ \Bigm|\ x_{n+1}\equiv x_n\pmod{p^n}\Bigr\} $$
が p進整数環である。各 $\mathbb{Z}/p^n$ は環で推移写像は環準同型なので、$\mathbb{Z}_p$ は $\prod\mathbb{Z}/p^n$ の部分環である。

1. 自然な写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$、$x\mapsto(x\bmod p^n)_n$ は単射である（すべての $n$ で $x\equiv0\pmod{p^n}$ なら $x=0$）。
2. $\mathbb{Z}_p$ の元は $p$ 進展開で一意に表される。$(x_n)\in\mathbb{Z}_p$ に対し、桁 $d_0,\dots,d_{n-1}\in\{0,1,\dots,p-1\}$ が定まって $\sum_{k< n}d_kp^k$ が $x_n$ の代表元になっているとき、$x_{n+1}\equiv x_n\pmod{p^n}$ なので $x_{n+1}\equiv\sum_{k< n}d_kp^k+d_np^n\pmod{p^{n+1}}$ をみたす $d_n\in\{0,1,\dots,p-1\}$ がただ 1 つ存在する。逆に任意の桁の列 $(d_k)_k\in\{0,\dots,p-1\}^{\mathbb{N}}$ から $x_n:=\sum_{k< n}d_kp^k\bmod p^n$ により両立系が得られる。よって $\mathbb{Z}_p$ は $\{0,\dots,p-1\}^{\mathbb{N}}$ と一対一に対応し、非可算集合である。とくに $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ は全射でない。
3. 各 $\mathbb{Z}/p^n$ に離散位相を入れた射影極限としての位相（prop-inverse-limit-topological-group）は、$p$ 進距離 $|x-y|_p=p^{-\max\{n\mid x_n=y_n\}}$ の定める位相と一致する。実際、両立系 $x$ の基本近傍は $\{y\mid y_n=x_n\}$（第 $n$ 成分が一致すれば $n$ 以下の成分も一致する）であり、これは閉球 $\{y\mid|x-y|_p\le p^{-n}\}$ である。$\mathbb{Z}_p$ はコンパクト空間であり（prop-inverse-limit-compact）、$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}_p$ で稠密である（$x_n$ の代表元 $\tilde{x}\in\mathbb{Z}$ は $x$ と最初の $n$ 成分が一致する）。
   正の整数全体 $\mathbb{N}_{\ge1}$ に整除関係 $n\le m\iff n\mid m$ で順序を入れると有向集合であり（$\operatorname{lcm}(n,m)$ が上界）、$n\mid m$ のとき自然な全射 $\mathbb{Z}/m\to\mathbb{Z}/n$ を推移写像とする射影系の射影極限
   $$ \hat{\mathbb{Z}}:=\varprojlim_n\mathbb{Z}/n $$
   を $\mathbb{Z}$ の副有限完備化という。中国剰余定理 $\mathbb{Z}/n\cong\prod_{p\mid n}\mathbb{Z}/p^{v_p(n)}$（$v_p(n)$ は $n$ を割る $p$ の冪指数）により $\hat{\mathbb{Z}}\cong\prod_{p}\mathbb{Z}_p$ である。実際、$(x_n)_n\in\hat{\mathbb{Z}}$ に対し素数 $p$ ごとに $(x_{p^k})_k\in\mathbb{Z}_p$ であり、これで写像 $\hat{\mathbb{Z}}\to\prod_p\mathbb{Z}_p$ が定まる。逆に $(y^{(p)})_p\in\prod_p\mathbb{Z}_p$ に対し、各 $n$ で「すべての $p\mid n$ について $x_n\equiv y^{(p)}_{v_p(n)}\pmod{p^{v_p(n)}}$」をみたす $x_n\in\mathbb{Z}/n$ がただ 1 つ存在し、$n\mid m$ のとき $x_m\bmod n$ も同じ合同式をみたすので $(x_n)$ は両立系である。2 つの写像が互いに逆であることは中国剰余定理の一意性から従う。

$A$ を環とする。$\mathbb{N}$ 上の射影系 $\cdots\to A[t]/(t^3)\to A[t]/(t^2)\to A[t]/(t)=A$（推移写像は自然な全射）の射影極限は形式的冪級数環
$$ \varprojlim_nA[t]/(t^n)\cong A[\![t]\!] $$
である。実際 $A[t]/(t^n)$ の元は次数 $n$ 未満の多項式 $\sum_{k< n}a_kt^k$ でただ 1 通りに表され、推移写像は「次数 $n$ 以上の項を落とす」写像なので、両立系はちょうど係数の無限列 $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$、すなわち形式的冪級数 $\sum_ka_kt^k$ であり、環構造も一致する（積の第 $k$ 係数は次数 $k$ 以下の係数だけで決まる）。同様に $A[\![t_1,\dots,t_r]\!]=\varprojlim_nA[t_1,\dots,t_r]/(t_1,\dots,t_r)^n$ である。これは 形式的冪級数 の記事の命題「切り詰め多項式による復元」の射影極限による言い換えである。

$A$ を環、$I\subset A$ をイデアル、$M$ を $A$ 加群とする。$\mathbb{N}$ 上の射影系 $\cdots\to M/I^3M\to M/I^2M\to M/IM$（推移写像は自然な全射）の射影極限
$$ \hat{M}:=\varprojlim_nM/I^nM $$
を $M$ の $I$ 進完備化という。$\hat{A}=\varprojlim A/I^n$ は環であり、$\hat{M}$ は $\hat{A}$ 加群である。ex-inverse-limit-p-adic は $A=\mathbb{Z}$、$I=(p)$ の場合、ex-inverse-limit-power-series は $A[t]$ と $I=(t)$ の場合である。
自然な写像 $M\to\hat{M}$ の核は $\bigcap_nI^nM$ である。$M$ に $I^nM$ を $0$ の基本近傍系とする $I$ 進位相を入れると、$\hat{M}$ はこの位相に関する完備化（Cauchy列の空間を零列で割ったもの）と同型であり、$\bigcap_nI^nM=0$ のとき $M\to\hat{M}$ は単射で、$\hat{M}$ は $M$ の完備 Hausdorff 化である（AM69 第 10 章）。
$A$ が Noether環で $M$ が有限生成加群のとき、次が成り立つ（AM69 第 10 章、命題 10.12〜10.14・定理 10.17 とその系・定理 10.26）：有限生成加群の短完全列 $0\to M'\to M\to M''\to0$ に対し $0\to\hat{M}'\to\hat{M}\to\hat{M}''\to0$ は完全、$\hat{A}\otimes_AM\cong\hat{M}$、$\hat{A}$ は $A$ 上平坦加群、Krull の交叉定理 $\bigcap_nI^nM=\{x\in M\mid\text{ある }a\in I\text{ で }(1+a)x=0\}$、および $\hat{A}$ は Noether 環。証明の要点は、Artin–Rees の補題により部分加群 $M'\subset M$ 上の $I$ 進位相と $M$ から誘導される位相が一致し、誘導される射影系が全射的で Mittag-Leffler 条件（def-inverse-limit-mittag-leffler）をみたすことである。局所環 $(R,\mathfrak{m})$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化 $\hat{R}$ は完備局所環であり、スキームの点における局所環の完備化 $\widehat{\mathcal{O}_{X,x}}$ は形式スキームの局所モデルになる。

$L/K$ を（無限次でもよい）Galois拡大とし、$K\subset E\subset L$ で $E/K$ が有限次 Galois 拡大であるような中間体 $E$ の全体を $\mathcal{E}$ とする。$\mathcal{E}$ は包含で順序づけると有向集合である（2 つの有限次 Galois 拡大の合成体は有限次 Galois 拡大）。$E\subset E'$ のとき制限写像 $\operatorname{Gal}(E'/K)\to\operatorname{Gal}(E/K)$（$E/K$ が正規なので $E'$ の $K$ 自己同型は $E$ を保つ）を推移写像とする有限群の射影系が得られ、制限写像の族は群の同型
$$ \operatorname{Gal}(L/K)\xrightarrow{\ \sim\ }\varprojlim_{E\in\mathcal{E}}\operatorname{Gal}(E/K) $$
を与える。証明：$L$ の各元 $x$ は、その $K$ 上の共役元（$L/K$ が正規なのですべて $L$ に属し、有限個である）が生成する有限次 Galois 拡大 $E_x\in\mathcal{E}$ に属する。単射性：$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)$ がすべての $E\in\mathcal{E}$ 上で恒等なら、任意の $x\in L$ について $\sigma(x)=\sigma|_{E_x}(x)=x$。全射性：両立系 $(\sigma_E)_{E\in\mathcal{E}}$ に対し、$x\in L$ ごとに $x\in E$ なる $E\in\mathcal{E}$ をとって $\sigma(x):=\sigma_E(x)$ とおく。$x\in E,E'$ なら共通の上界 $E''\supset E\cup E'$ で $\sigma_E(x)=\sigma_{E''}(x)=\sigma_{E'}(x)$ なので well-defined であり、$x,y\in L$ に対し両方を含む $E$ をとれば $\sigma$ が和と積を保つことが従う。$\sigma$ は $K$ を固定する $L$ の自己準同型で、$\sigma^{-1}$ を $(\sigma_E^{-1})$ から同様に作れば自己同型であり、$\sigma|_E=\sigma_E$ をみたす。$\square$
各 $\operatorname{Gal}(E/K)$ に離散位相を入れて射影極限の位相を $\operatorname{Gal}(L/K)$ に移したものが Krull 位相であり、$\operatorname{Gal}(L/K)$ は有限群の射影極限（副有限群）としてコンパクト空間・Hausdorff・全不連結空間である（prop-inverse-limit-compact）。無限次 Galois 理論の基本定理は「$\operatorname{Gal}(L/K)$ の閉部分群と中間体が一対一に対応する」と述べられ、閉性の条件が本質的である（Ser02 I §1）。
有限体 $\mathbb{F}_q$ の代数閉包 $\bar{\mathbb{F}}_q=\bigcup_n\mathbb{F}_{q^n}$ では、$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q)$ は Frobenius 写像 $x\mapsto x^q$ の生成する位数 $n$ の巡回群 $\mathbb{Z}/n$ であり、$n\mid m$ のとき制限写像は Frobenius を Frobenius に送るので $\mathbb{Z}/m\to\mathbb{Z}/n$ の自然な全射に対応する。よって
$$ \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)\cong\varprojlim_n\mathbb{Z}/n=\hat{\mathbb{Z}} $$
であり、Frobenius に対応する $1\in\hat{\mathbb{Z}}$ が生成する部分群 $\mathbb{Z}$ は稠密だが全体ではない（$\hat{\mathbb{Z}}\cong\prod_p\mathbb{Z}_p$ は非可算）。

$\ell$ を素数、$G$ をアーベル群とする。$\ell$ 倍写像 $G[\ell^{n+1}]\to G[\ell^n]$（$G[m]:=\{g\in G\mid mg=0\}$）を推移写像とする射影系の射影極限 $T_\ell G:=\varprojlim_nG[\ell^n]$ が $G$ の Tate加群である。アーベル多様体 $A$ や楕円曲線については $G=A(\bar{k})$ にとり、$\ell$ が標数と異なるとき $T_\ell A$ は階数 $2\dim A$ の自由 $\mathbb{Z}_\ell$ 加群になる（Tate加群 の記事に譲る）。
同様に、スキーム $X$ の ℓ進コホモロジーは $H^i(X,\mathbb{Z}_\ell):=\varprojlim_nH^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/\ell^n)$ と定義される。これは層 $\mathbb{Z}_\ell$ のエタールコホモロジーではなく、有限係数のコホモロジー群の射影極限である。有限段の短完全列を射影極限に移す典型は、$\ell$ が $X$ 上可逆のとき Kummer完全列から得られる $0\to\operatorname{Pic}(X)/\ell^n\to H^2(X,\mu_{\ell^n})\to\operatorname{Br}(X)[\ell^n]\to0$ で、左の射影系 $(\operatorname{Pic}(X)/\ell^n)_n$ は推移写像が全射なので Mittag-Leffler 条件をみたし、cor-inverse-limit-finite により
$$ 0\longrightarrow\varprojlim_n\operatorname{Pic}(X)/\ell^n\longrightarrow H^2(X,\mathbb{Z}_\ell(1))\longrightarrow T_\ell\operatorname{Br}(X)\longrightarrow0 $$
は完全である。有限体や代数閉体上の固有スキームでは各 $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/\ell^n)$ が有限群なので、有限係数の任意の短完全列が同じ理由で射影極限に移る。

$p$ を素数とし、$\mathbb{N}$ 上のアーベル群の射影系の短完全列
$$ 0\longrightarrow(p^n\mathbb{Z})_n\longrightarrow(\mathbb{Z})_n\longrightarrow(\mathbb{Z}/p^n)_n\longrightarrow0 $$
を考える。推移写像は、左では包含 $p^{n+1}\mathbb{Z}\subset p^n\mathbb{Z}$、中央では恒等写像、右では自然な全射であり、各 $n$ で $0\to p^n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/p^n\to0$ は完全である。$\varprojlim p^n\mathbb{Z}=\bigcap_np^n\mathbb{Z}=0$、$\varprojlim\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$、$\varprojlim\mathbb{Z}/p^n=\mathbb{Z}_p$ なので、誘導される列 $0\to0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ は左の 3 項で完全（thm-inverse-limit-left-exact）だが、$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ は全射でない（ex-inverse-limit-p-adic の 2）。すなわち射影極限は「各段で全射」から「極限で全射」を導かず、帰納極限 の記事の定理「帰納極限の完全性」の双対は成り立たない。
この例が破っているのは Mittag-Leffler 条件（def-inverse-limit-mittag-leffler）である：左の射影系 $(p^n\mathbb{Z})$ で像 $\operatorname{im}(p^m\mathbb{Z}\to p^n\mathbb{Z})=p^m\mathbb{Z}$ は $m$ について真に減少し続け安定しない。prop-inverse-limit-six-term の完全列
$$ 0\to0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p\to\varprojlim{}^1p^n\mathbb{Z}\to\varprojlim{}^1\mathbb{Z}\to\varprojlim{}^1\mathbb{Z}/p^n\to0 $$
において $(\mathbb{Z})_n$ と $(\mathbb{Z}/p^n)_n$ は推移写像が全射なので $\varprojlim^1=0$（thm-inverse-limit-mittag-leffler）、したがって
$$ \varprojlim{}^1_np^n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}\neq0 $$
である。これは $\varprojlim^1\neq0$ の最も基本的な例である（Wei94 §3.5）。

$X_n:=\{m\in\mathbb{N}\mid m\ge n\}$ とし、包含写像 $X_{n+1}\subset X_n$ を推移写像とする $\mathbb{N}$ 上の集合の射影系を考える。各 $X_n$ は空でなく推移写像は単射だが、射影極限は $\bigcap_nX_n=\emptyset$ である。よって「各段が空でない」ことから「極限が空でない」ことは従わず、標準射影 $\pi_n\colon\varprojlim X_m\to X_n$ は全射でない。この例が破っているのは推移写像の全射性であり、可算添字で推移写像がすべて全射なら極限は空でなく各 $\pi_n$ は全射である（thm-inverse-limit-mittag-leffler の証明の第 1 段と同じ帰納的構成）。また各 $X_n$ が空でない有限集合（より一般にコンパクト Hausdorff 空間）なら、推移写像が全射でなくても極限は空でない（prop-inverse-limit-compact の 2）。