Nesbittの不等式

同義語：ネスビットの不等式Nesbitt's inequality

概要

前提知識: 不等式の証明の技法, Engel形の不等式, 相加平均と相乗平均

高校での出発点：分数の和を下からおさえる

正の数 $a,b,c$ について、$\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$ はどこまで小さくなるだろうか。いくつかの値で計算してみる。

いくつかの値で計算する

左辺を $N(a,b,c)=\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$ と書く。
(1) $a=b=c=1$：$N=\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12=\dfrac32$。
(2) $(a,b,c)=(1,2,3)$：$N=\dfrac15+\dfrac24+\dfrac33=0.2+0.5+1=1.7$。
(3) $(a,b,c)=(1,1,2)$：$N=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac22=\dfrac53=1.666\cdots$。
(4) $(a,b,c)=(1,1,10)$：$N=\dfrac1{11}+\dfrac1{11}+\dfrac{10}2=5.18\cdots$。
どれも $\dfrac32$ 以上で、$a=b=c$ のときに最も小さい。また、$a,b,c$ を同じ数倍しても $N$ は変わらない（分子と分母が同じ倍率で変わる）。

2 つの数の場合

$2$ つの正の数 $a,b$ では、$\dfrac ab+\dfrac ba\ge2$ が成り立つ。実際、
$$ \frac ab+\frac ba-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0 $$
で、等号は $a=b$ のときに限る。差を「平方 ÷ 正の数」の形にすると、$0$ 以上であることと等号の条件が一度に読める。

この記事では、同じ考え方で $3$ つの分数の和を調べる。答える問いは次の 3 つである。

$N(a,b,c)\ge\dfrac32$ はいつも成り立つか。等号はいつか。→ thm-nes-main
変数を $4$ つにした和はどうなるか。→ thm-nes-four

上からはおさえられるか。→ cor-nes-triangle

高校の計算	この記事の言葉
通分して分子を整理する	差を平方の和で書く
$\dfrac{x^2}y$ の和を下からおさえる	Engel形の不等式
三角形の成立条件 $a< b+c$	上からのおさえ $N<2$

主定理 1：Nesbitt の不等式

Nesbitt の不等式

正の数 $a,b,c$ について
$$ \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\ge\frac32 $$
が成り立つ。等号が成り立つのは $a=b=c$ のときに限る。

方針：左辺から $\dfrac32$ を引いて通分し、分子を「正の数 $\times$ 平方」の和に書き直す。
段 1（通分）。分母を $D=2(a+b)(b+c)(c+a)$ にそろえる。$a,b,c>0$ なので $D>0$ である。
$$ N-\frac32=\frac{2a(c+a)(a+b)+2b(a+b)(b+c)+2c(b+c)(c+a)-3(a+b)(b+c)(c+a)}{D} $$
である。分子を $U$ とおく。
段 2（展開）。$a(c+a)(a+b)=a(ca+cb+a^2+ab)=a^3+a^2b+a^2c+abc$ である。同じように $b(a+b)(b+c)=b^3+b^2c+b^2a+abc$、$c(b+c)(c+a)=c^3+c^2a+c^2b+abc$ である。また
$$ (a+b)(b+c)(c+a)=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc $$
である（左から 2 つを掛けて $ab+ac+b^2+bc$、それに $c+a$ を掛けて整理する）。$T=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$ と書くと、
$$ U=2\bigl(a^3+b^3+c^3+T+3abc\bigr)-3\bigl(T+2abc\bigr)=2(a^3+b^3+c^3)-T $$
である（$abc$ の項は $6abc-6abc=0$ で消える）。
段 3（平方の和）。$(a+b)(a-b)^2=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=a^3-a^2b-ab^2+b^3$ である。$(b+c)(b-c)^2$、$(c+a)(c-a)^2$ も同じ形なので、3 つを足すと、$a^3,b^3,c^3$ はそれぞれ 2 回ずつ、$T$ の 6 つの項はそれぞれ 1 回ずつ負の符号で出てきて
$$ (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2=2(a^3+b^3+c^3)-T=U $$
となる。よって
$$ N-\frac32=\frac{(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)} $$
である。
段 4（符号と等号）。$a+b>0$、$(a-b)^2\ge0$ なので分子の各項は $0$ 以上で、分母は正である。よって $N-\dfrac32\ge0$ である。等号は分子の 3 つの項がすべて $0$、つまり $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$ のとき、すなわち $a=b=c$ のときに限る。$\square$

段 3 の形は、ex-nes-two の「平方 ÷ 正の数」の 3 変数版である。分子の重み $a+b$ などは正なので、差 $a-b$、$b-c$、$c-a$ のどれか 1 つでも $0$ でなければ、$N$ は $\frac32$ より大きい。不等式の証明の技法で扱う「差を平方の和にする」技法の典型である。

等式を数で確かめる

$(a,b,c)=(1,2,3)$ では、分子は $3\cdot1^2+5\cdot1^2+4\cdot2^2=3+5+16=24$、分母は $2\cdot3\cdot5\cdot4=120$ なので、$N-\dfrac32=\dfrac{24}{120}=\dfrac15=0.2$ である。ex-nes-start (2) の $1.7-1.5=0.2$ と一致する。

a+b+c=1 の三角形の上に左辺の値の等高線を描いた図で、中心 a=b=c で最小値 1.5 をとり、辺に近づくほど大きくなる。色を塗った中点三角形の内側では値が 2 未満である
図 1 は、$a+b+c=1$ を満たす正の数の組を正三角形の内部の点で表し（各頂点が $a$、$b$、$c$ のどれか 1 つが $1$ の点）、$N$ の等高線を描いたものである。$N$ は同じ数倍で変わらないので、この三角形の上で $N$ のすべての値が見える。中心で最小値 $\dfrac32$ をとり、どの辺に近づいても大きくなる。

ほかの 2 つの証明を開く

(i) 置き換え：$x=b+c$、$y=c+a$、$z=a+b$ とおくと $a+b+c=\frac{x+y+z}2$ で、$\frac a{b+c}=\frac{a+b+c}{x}-1$ などから $N=\frac{x+y+z}2\Bigl(\frac1x+\frac1y+\frac1z\Bigr)-3$ である。相加平均と相乗平均の不等式（相加平均と相乗平均）を 2 回使うと $(x+y+z)\Bigl(\frac1x+\frac1y+\frac1z\Bigr)\ge3\sqrt[3]{xyz}\cdot\frac3{\sqrt[3]{xyz}}=9$ なので $N\ge\frac92-3=\frac32$ である。

(ii) Engel形の不等式の例「3 つの分数の和」は、分子と分母に $a$ などを掛けて $\frac{a^2}{a(b+c)}+\cdots\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac32$ と示している。

主定理 2：4 つの変数の巡回する和

変数を $4$ つにし、$a\to b\to c\to d\to a$ と巡回するように分数を並べる。

4 変数の巡回する和

正の数 $a,b,c,d$ について
$$ \frac a{b+c}+\frac b{c+d}+\frac c{d+a}+\frac d{a+b}\ge2 $$
が成り立つ。等号が成り立つのは $a=c$ かつ $b=d$ のときに限る。

方針：Engel形の不等式で分数の和を 1 つの分数でおさえ、分子と分母の差を平方の和にする。
段 1（Engel 形）。各分数の分子と分母に同じ正の数を掛けて、$\dfrac a{b+c}=\dfrac{a^2}{a(b+c)}$ などと書く。Engel形の不等式の命題「Engel 形の不等式」（$\sum\frac{x_i^2}{y_i}\ge\frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}$、$y_i>0$）を $x=(a,b,c,d)$、$y=\bigl(a(b+c),\,b(c+d),\,c(d+a),\,d(a+b)\bigr)$ に使うと、左辺を $L$ として
$$ L\ge\frac{(a+b+c+d)^2}{E},\qquad E=a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b) $$
である。
段 2（分母）。$E$ を展開すると $ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db=ab+2ac+ad+bc+2bd+cd$ である。
段 3（平方の和）。$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ なので
$$ (a+b+c+d)^2-2E=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd=(a-c)^2+(b-d)^2\ge0 $$
である。$E>0$ なので $\dfrac{(a+b+c+d)^2}E\ge2$ であり、段 1 と合わせて $L\ge2$ を得る。
段 4（等号）。$L=2$ なら、段 1 と段 3 の不等号がともに等号である。段 3 の等号から $a=c$、$b=d$ である。逆に $a=c$、$b=d$ なら
$$ L=\frac a{b+a}+\frac b{a+b}+\frac a{b+a}+\frac b{a+b}=\frac{2(a+b)}{a+b}=2 $$
である。$\square$

4 変数の値

$(a,b,c,d)=(1,2,1,2)$：$\dfrac13+\dfrac23+\dfrac13+\dfrac23=2$（等号）。
$(1,5,1,5)$：$\dfrac16+\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56=2$（等号）。4 つが等しくなくても等号になる。
$(1,2,3,4)$：$\dfrac15+\dfrac27+\dfrac35+\dfrac43=0.2+0.2857+0.6+1.3333=2.419\cdots$。

主定理 1 と違い、4 変数の等号は「すべて等しい」ときだけではない。$a=c$、$b=d$ のとき、$4$ つの分数は 2 つずつ組になり、その和がちょうど $1$ ずつになる。

変数の数	和の下からのおさえ	等号の条件
$2$（$\frac ab+\frac ba$）	$2$	$a=b$
$3$（主定理 1）	$\frac32$	$a=b=c$
$4$（主定理 2）	$2$	$a=c$ かつ $b=d$

3 変数と 4 変数の下からのおさえ $\frac32$、$2$ は、どちらも変数の数の半分である。$2$ 変数の $\frac ab+\frac ba\ge2$ はこの形ではない（分母が 1 つの数で、和の形が違う）。

上からのおさえ：三角形の 3 辺

$N(a,b,c)$ には上限がない（ex-nes-start (4) のように、1 つだけ大きくすればいくらでも大きくなる）。しかし $a,b,c$ が三角形の 3 辺なら、上からもおさえられる。

三角形の 3 辺での上からのおさえ

$a,b,c$ が三角形の 3 辺の長さ（$a< b+c$、$b< c+a$、$c< a+b$ を満たす正の数）なら
$$ \frac32\le\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}<2 $$
である。

左の不等式は thm-nes-main である。右の不等式を示す。$a< b+c$ の両辺に $b+c$ を足すと $a+b+c< 2(b+c)$ である。両辺を正の数 $(b+c)(a+b+c)$ で割ると $\dfrac1{b+c}<\dfrac2{a+b+c}$、さらに $a>0$ を掛けて
$$ \frac a{b+c}<\frac{2a}{a+b+c} $$
である。同じように $\dfrac b{c+a}<\dfrac{2b}{a+b+c}$、$\dfrac c{a+b}<\dfrac{2c}{a+b+c}$ である。3 つを足すと右辺の和は $\dfrac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$ なので、$N<2$ である。$\square$

上からのおさえの値

$(3,4,5)$（直角三角形）：$\dfrac39+\dfrac48+\dfrac57=0.3333+0.5+0.7143=1.548$。
$(1,1,1.99)$（つぶれかけた三角形）：$\dfrac1{2.99}\cdot2+\dfrac{1.99}2=0.6689+0.995=1.664$。
$(1,1,0.01)$（つぶれかけた三角形）：$\dfrac1{1.01}\cdot2+\dfrac{0.01}2=1.9802+0.005=1.985$。
のように 1 辺を $0$ に近づけると $N$ は $2$ に近づくが、$2$ にはならない。図 1 の色を塗った中点三角形の内側が、三角形の 3 辺になる組 $(a,b,c)$ に当たる。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$a,b,c$ が正の数（分母も正でなくなる）	$(a,b,c)=(-3,2,2)$	$N\ge\frac32$（$N=-4.75$）
4 変数の等号の条件を「すべて等しい」とする	$(1,2,1,2)$	等号は $a=b=c=d$ のときだけ（等号になる）
$a,b,c$ が三角形の 3 辺（系）	$(1,1,10)$	$N<2$（$N=5.18\cdots$）

反例の確認

$(a,b,c)=(-3,2,2)$：分母は $b+c=4$、$c+a=-1$、$a+b=-1$ で、$N=-\dfrac34+\dfrac2{-1}+\dfrac2{-1}=-4.75$ である。$a<0$ にしたことで、分母 $c+a$、$a+b$ も負になっている。証明の段 4 で使った「分母 $2(a+b)(b+c)(c+a)$ が正」と「重み $a+b$ などが正」が両方とも崩れる。
ex-nes-four (1) のとおり、$(1,2,1,2)$ で和はちょうど $2$ になる。主定理 2 の等号の条件は「$a=c$ かつ $b=d$」である。
$1,1,10$ は $10>1+1$ で三角形の 3 辺にならない。$N=\dfrac2{11}+5=5.18\cdots>2$ で、cor-nes-triangle の上からのおさえは成り立たない。

大学数学で見る：分子は対称な平均の差

主定理 1 の証明の分子 $U=2(a^3+b^3+c^3)-T$ は、$a^3$ の形の項と $a^2b$ の形の項の差である。$a^3$ の形の 3 項の平均と、$a^2b$ の形の 6 項の平均を比べると、$U\ge0$ は
$$ \frac{a^3+b^3+c^3}3\ge\frac{a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}6 $$
と同じである（両辺を $6$ 倍すると $2(a^3+b^3+c^3)\ge T$）。指数の組で書くと、$(3,0,0)$ の形の平均が $(2,1,0)$ の形の平均以上という不等式である。指数の組の「ばらつき」でこの種の不等式の向きが決まることを、Muirheadの不等式（高校数学）で扱う。
通分して分母を払うと、分数の不等式は多項式の不等式になる。主定理 1 は、そうしてできた 3 次の対称式の不等式の中で、最も簡単なものの 1 つである。

さらに先へ

3 つの数 $a,b,c$ の対称な式の平均（$a+b+c$、$ab+bc+ca$、$abc$ を組の数で割ったもの）の大小を基本対称式の平均の不等式で扱う。相加平均と相乗平均の間に、もう 1 つの平均がはさまる。
分数の和を Engel 形でおさえる方法は Engel形の不等式と Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学）で、同じ順に並べた数の積の和を比べる方法は並べ替え不等式で扱う。主定理 1 は、$a\ge b\ge c$ のとき $\frac1{b+c}\ge\frac1{c+a}\ge\frac1{a+b}$ となって同じ順に並ぶことから、並べ替え不等式でも示せる。