Riemannゼータ関数の零点のない領域

1：左の不等式は $\Lambda(n)\ge0$ と級数表示による（$\Lambda(2)=\log2>0$）。$g(s):=(s-1)\zeta(s)$ とおく。Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」により $\zeta(s)-\frac1{s-1}$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則なので、$g$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則で $g(1)=1$ である。$1< \sigma\le2$ で $\zeta(\sigma)>0$ なので $g$ は閉区間 $[1,2]$ の上で正の値をとり、$g'/g$ はそこで連続である。$A_0:=\max_{[1,2]}\lvert g'/g\rvert+1$ とおくと、$-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma)=\frac1{\sigma-1}-\frac{g'}{g}(\sigma)\le\frac1{\sigma-1}+A_0$ である。

2：同記事の補題は、$T\ge2$、$-1\le\sigma\le2$ で $s=\sigma+iT$ が零点でないとき $\bigl\lvert\frac{\zeta'}{\zeta}(s)-\sum_{\lvert\gamma-T\rvert\le1}\frac1{s-\rho}\bigr\rvert\le C\log T$ を与える。$T=t$ とし、$\sigma>1$ なので $s$ は零点でない。実部をとって符号を変えると $-\operatorname{Re}\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\le C\log t-\sum_{\lvert\gamma-t\rvert\le1}\operatorname{Re}\frac1{s-\rho}$ である。$\operatorname{Re}\frac1{s-\rho}=\frac{\operatorname{Re}(s-\rho)}{\lvert s-\rho\rvert^2}=\frac{\sigma-\beta}{\lvert s-\rho\rvert^2}$ で、非自明な零点は $\beta\le1< \sigma$ を満たすので各項は正である。$A_1:=C$ とおけばよい。$\square$

$(s-1)\zeta(s)\to1$（$s\to1$）なので、$r_0>0$ があって $0< \lvert s-1\rvert< r_0$ で $\lvert\zeta(s)\rvert\ge\frac1{2\lvert s-1\rvert}>0$ である。長方形 $K:=\{\frac12\le\sigma\le1,\ \lvert t\rvert\le2\}$ から開円板 $\lvert s-1\rvert< r_0$ を除いた集合 $K'$ はコンパクトで、$\zeta$ は連結な開集合 $\mathbb C\setminus\{1\}$ で正則かつ恒等的に $0$ ではないので、零点は孤立し、$K'$ の中の零点は有限個である。prop-zf-mertens の後の段落により、そのどれも $\beta<1$ を満たす。そこで $\beta^*$ を $K$ の中の零点の実部の最大値（零点がなければ $\beta^*:=\frac12$）とすると $\frac12\le\beta^*<1$ である。$\lvert\gamma\rvert<2$ の非自明な零点は、$\beta\ge\frac12$ なら $K$ にあって $\beta\le\beta^*$、$\beta< \frac12$ でも $\beta< \frac12\le\beta^*$ を満たす。$\log(\lvert\gamma\rvert+2)\ge\log2$ なので $1-\frac{c_2}{\log(\lvert\gamma\rvert+2)}\ge1-\frac{c_2}{\log2}=1-\frac{1-\beta^*}{2}>\beta^*\ge\beta$ である。

$x\ge2$ なので $\sqrt L\ge\sqrt{\log2}>\log2$ で、$T>2$ である。明示公式(素数分布) の記事の定理「打ち切った明示公式」から

$$\lvert\psi(x)-x\rvert\le\sum_{\lvert\gamma\rvert< T}\frac{x^\beta}{\lvert\rho\rvert}+C\Bigl(\frac{x\log^2(xT)}{T}+\log x\Bigr)$$

である。$\lvert\gamma\rvert< T$ の零点では、$T+2\le3T$ と $\log3<2\sqrt{\log2}\le2\sqrt L$ から $\log(\lvert\gamma\rvert+2)< \log(3T)<3\sqrt L$ なので、thm-zf-main により $\beta<1-\frac{c}{3\sqrt L}$、すなわち $x^\beta\le x\,e^{-(c/3)\sqrt L}$ である。同じ記事の補題「零点の個数」の 2 により $\sum_{\lvert\gamma\rvert< T}\frac1{\lvert\rho\rvert}\le C\log^2T=CL$ なので、第 1 項は $C\,xL\,e^{-(c/3)\sqrt L}$ 以下である。第 2 項は $\log^2(xT)=(L+\sqrt L)^2\le4(L+1)^2$ から $C\bigl(4x(L+1)^2e^{-\sqrt L}+L\bigr)$ 以下である。

$u\ge0$ の関数 $u^2e^{-(c/6)u}$ と $(u^2+1)^2e^{-u/2}$ は有界なので、$u=\sqrt L$ として $L\,e^{-(c/3)\sqrt L}\le C'e^{-(c/6)\sqrt L}$、$(L+1)^2e^{-\sqrt L}\le C'e^{-\sqrt L/2}$ である。また $L/(x\,e^{-\sqrt L})=Le^{-L+\sqrt L}$ は $x\ge2$ で有界である。$c\le\frac14\log2<3$ なので $\frac c6< \frac12$ であり、すべての項が $C\,x\,e^{-(c/6)\sqrt L}$ 以下になる。$\square$

$L:=\log x$ とする。von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」により $0\le\psi(x)-\theta(x)\le\frac{\sqrt x\,L^2}{2\log2}$ であり、$\sqrt xL^2/(x\,e^{-c'\sqrt L})=L^2e^{-L/2+c'\sqrt L}$ は $x\ge2$ で有界なので、cor-zf-psi から $\lvert\theta(x)-x\rvert\le Cx\,e^{-c'\sqrt L}$ である。

$n$ が素数なら $a_n:=\log n$、そうでなければ $a_n:=0$ とおくと、総和関数は $\theta$ である。Abelの級数変形法とその応用 の定理「総和関数による積分公式」を $f(t)=\frac1{\log t}$、区間 $[\frac32,x]$ に使うと、$\theta(t)=0$（$t<2$）なので

$$\pi(x)=\sum_{\frac32< n\le x}\frac{a_n}{\log n}=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}\,dt$$

である。一方、部分積分で $\operatorname{Li}(x)=\frac{x}{\log x}-\frac2{\log2}+\int_2^x\frac{t}{t\log^2t}\,dt$ なので

$$\pi(x)-\operatorname{Li}(x)=\frac{\theta(x)-x}{\log x}+\frac2{\log2}+\int_2^x\frac{\theta(t)-t}{t\log^2t}\,dt$$

である。$x\ge4$ のとき、積分を $[2,\sqrt x]$ と $[\sqrt x,x]$ に分ける。前者は $\lvert\theta(t)-t\rvert\le Ct$ により $C\sqrt x/\log^22$ 以下である。後者は $\lvert\theta(t)-t\rvert\le Ct\,e^{-c'\sqrt{\log t}}\le Ct\,e^{-c'\sqrt{L/2}}$ と $\log^2t\ge L^2/4$ により $4Cx\,e^{-(c'/\sqrt2)\sqrt L}/L^2$ 以下である。$\frac{1}{\sqrt2}>\frac12$ であり、$\sqrt x$ と定数は $Cx\,e^{-(c'/2)\sqrt L}$ で抑えられるので、$x\ge4$ で主張が成り立つ。$2\le x<4$ では両辺の比が有界なので、定数 $C$ を大きくとればよい。$\square$