Frobenius群

$g\in G_x$ なら $(aga^{-1})\cdot(a\cdot x)=a\cdot(g\cdot x)=a\cdot x$ なので $aG_xa^{-1}\subset G_{a\cdot x}$。逆に $h\in G_{a\cdot x}$ なら $(a^{-1}ha)\cdot x=a^{-1}\cdot(h\cdot(a\cdot x))=a^{-1}\cdot(a\cdot x)=x$ なので $a^{-1}ha\in G_x$、すなわち $h\in aG_xa^{-1}$。$\square$

(1)⇒(2)：$H$ を Frobenius 補群とし、$X:=G/H=\{aH\mid a\in G\}$ に $g\cdot(aH):=gaH$ で作用させる。作用は推移的で、$H\neq G$ より $|X|\ge2$ である。$aH$ の安定化群は $\{g\mid gaH=aH\}=\{g\mid a^{-1}ga\in H\}=aHa^{-1}=H^a$ である。(a) $H\neq\{1\}$ の元 $h\neq1$ は点 $H$ を固定する。(b) $g\neq1$ が相異なる二点 $aH\neq bH$ を固定したとすると $g\in H^a\cap H^b=a\bigl(H\cap H^{a^{-1}b}\bigr)a^{-1}$ である。$aH\neq bH$ より $a^{-1}b\notin H$ なので $H\cap H^{a^{-1}b}=\{1\}$、よって $g=1$ となり矛盾する。
(2)⇒(1)：(a) により、ある $g_0\neq1$ が固定点 $x$ を持つ。$H:=G_x$ とおくと $g_0\in H$ より $H\neq\{1\}$。$|X|\ge2$ と推移性から $y\neq x$ と $a\in G$ で $a\cdot x=y$ となるものがあり、$a\notin H$ なので $H\neq G$。$g\in G\setminus H$ とすると $g\cdot x\neq x$ で、lem-frobenius-group-stabilizer により $H^g=gG_xg^{-1}=G_{g\cdot x}$ だから $H\cap H^g=G_x\cap G_{g\cdot x}$ である。この共通部分の非自明な元は相異なる二点 $x$、$g\cdot x$ を固定することになり (b) に反する。よって $H\cap H^g=\{1\}$ である。$\square$

$H\subset N_G(H)$ は明らか。$g\in N_G(H)$ で $g\notin H$ とすると、$H\cap H^g=H\cap H=H\neq\{1\}$ となり定義に反する。よって $N_G(H)\subset H$。$\square$

$H$ を Frobenius 補群、$z\in Z(G)$、$z\neq1$ とする。$z\in H$ なら、$H\neq G$ より $g\in G\setminus H$ がとれ、$z=gzg^{-1}\in H^g$ なので $z\in H\cap H^g=\{1\}$ となり矛盾する。$z\notin H$ なら $H^z=zHz^{-1}=H$ なので $H\cap H^z=H\neq\{1\}$ となり、$z\in G\setminus H$ に対する条件に反する。$\square$

$(-1)^j$ は $j$ を $2$ を法として見ても定まるので積は well-defined である。結合律は、三つの積の第 $1$ 成分がいずれも $i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m$、第 $2$ 成分が $j+l+m$ になることから従う（$(-1)^{j+l}=(-1)^j(-1)^l$）。$a^0b^0$ は単位元、$a^ib^j$ の逆元は $a^{-(-1)^ji}b^j$ である（$(a^{-(-1)^ji}b^j)(a^ib^j)=a^{-(-1)^ji+(-1)^ji}b^{2j}=1$、$(a^ib^j)(a^{-(-1)^ji}b^j)=a^{i-(-1)^{2j}i}b^{2j}=1$）。元は $(i,j)$ で一意に定まるので位数は $2q$。$a^n=a^nb^0$ は帰納法、$a^q=a^0b^0=1$、$b^2=1$。$ba^k=(a^0b^1)(a^kb^0)=a^{-k}b$ で、$b^{-1}=b$ なので $ba^kb^{-1}=a^{-k}$。$\square$

$q$ 奇数とする。$H=\{1,b\}$ は $b^2=1$ より部分群で、$\{1\}\neq H\neq D_{2q}$。$D_{2q}\setminus H$ の元は $a^n$ または $a^nb$（$1\le n\le q-1$）である。$g=a^n$ のとき、$ba^{-n}=a^nb$ を使って $a^nba^{-n}=a^na^nb=a^{2n}b$ なので $H^g=\{1,a^{2n}b\}$ である。$q$ が奇数で $1\le n\le q-1$ なら $q\nmid2n$（$q\mid2n$ なら $q$ が奇数なので $q\mid n$）、よって $a^{2n}\neq1$、$a^{2n}b\neq b$、$H\cap H^g=\{1\}$。$g=a^nb$ のとき、$bHb^{-1}=H$ なので $H^g=a^n(bHb^{-1})a^{-n}=H^{a^n}$ であり、同じく $H\cap H^g=\{1\}$。よって Frobenius 群である。
核を求める。$g\in H$ では $H^g=H=H^{a^0}$ だから、上の計算により $H$ の共役は $H^{a^n}=\{1,a^{2n}b\}$（$0\le n\le q-1$）で尽くされる。$q$ が奇数なので $2$ は $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ で可逆であり、$n$ が $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ を動くと $2n$ も $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ 全体を動く。よって $\bigcup_gH^g=\{1\}\cup\{a^ib\mid i\in\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\}$ であり、Frobenius 核は $\{a^i\mid i\in\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\}$ である。これは $a$ の冪の全体なので部分群であり、$a^ja^ia^{-j}=a^i$、$ba^ib^{-1}=a^{-i}$ により $a$ と $b$ による共役で閉じる。$D_{2q}$ の元は $a^jb^k$ の形なので、この集合は正規部分群である。
$q$ 偶数とする。$z:=a^{q/2}$ は $a$ と交換し、$bzb^{-1}=a^{-q/2}=a^{q/2}=z$（$a^q=1$）なので $b$ とも交換する。$D_{2q}$ は $a,b$ で生成されるから $z$ は中心に属し、$z\neq1$。prop-frobenius-group-center により Frobenius 群でない。$\square$

$f_{a,b}(x):=ax+b$（$a\neq0$）とおく。$f_{a,b}\circ f_{a',b'}(x)=a(a'x+b')+b=aa'x+(ab'+b)$ なので合成は $f_{aa',\,ab'+b}$ で、$aa'\neq0$ より閉じている。$f_{1,0}$ は恒等写像、$\mathbb{F}_p$ が体なので $a^{-1}$ が存在し $f_{a,b}$ の逆写像は $f_{a^{-1},-a^{-1}b}$ である。写像の合成は結合的だから群である。異なる組 $(a,b)$ は異なる写像を定める（$f_{a,b}(0)=b$、$f_{a,b}(1)=a+b$）ので、位数は組の個数 $(p-1)p$ に等しい。写像として作用し、$f_{1,y-x}$ が $x$ を $y$ に送るので推移的、$|\mathbb{F}_p|=p\ge2$。
thm-frobenius-group-action の (2) を確かめる。(a) $p\ge3$ より $a\neq0,1$ なる $a$ がとれ、$f_{a,0}\neq f_{1,0}$ は $0$ を固定する。(b) $f_{a,b}\neq f_{1,0}$ の固定点は $ax+b=x$、すなわち $(a-1)x=-b$ の解である。$a\neq1$ なら $a-1$ は可逆で解はちょうど一つ、$a=1$ なら $b\neq0$ で解はない。よって固定点は高々一つであり、Frobenius 群である。
補群と核を求める。(a) の $f_{a,0}$ の固定点は $0$ だけなので、thm-frobenius-group-action の証明 (2)⇒(1) のとおり、$0$ の安定化群 $G_0=\{f_{a,b}\mid b=0\}=\{f_{a,0}\}$ が Frobenius 補群である。lem-frobenius-group-stabilizer により $G_0$ の共役 $gG_0g^{-1}$ は点 $g\cdot0$ の安定化群であり、作用が推移的なので $\bigcup_gG_0^g=\bigcup_{c\in\mathbb{F}_p}G_c$ である。上の固定点の計算から、$a\neq1$ の $f_{a,b}$ はある $G_c$ に属し、$a=1$、$b\neq0$ の $f_{1,b}$ はどの $G_c$ にも属さない。よって Frobenius 核は $\{f_{1,b}\mid b\in\mathbb{F}_p\}$、すなわち平行移動の全体である。$f_{1,b}\circ f_{1,c}=f_{1,b+c}$、$f_{1,b}^{-1}=f_{1,-b}$ により部分群であり、$f_{a,b}\circ f_{1,c}\circ f_{a,b}^{-1}=f_{a,\,ac+b}\circ f_{a^{-1},-a^{-1}b}=f_{1,\,ac}$ により正規部分群である。$\square$