Milnor K群

同義語：ミルナーK群Milnor K理論Milnor K-theoryMilnor K-group

概要

Milnor K群とは

Milnor K群は、体の乗法群から作る記号を、多重線形性とSteinberg関係だけで割って得られる斉次群である。定義は簡潔だが、離散付値の境界写像、二次形式、Galoisコホモロジーなどを一つの記号計算で結ぶ。以下、$F$ を体、$F^\times=F\setminus\{0\}$ をその乗法群とする。テンソル積はすべて $\mathbb Z$ 上で取る。

Milnor K環とMilnor K群

$F^\times$ のテンソル代数を
$$ T_*(F^\times)=\bigoplus_{n\ge 0}(F^\times)^{\otimes n}, \qquad (F^\times)^{\otimes0}=\mathbb Z $$
とする。$a\in F^\times\setminus\{1\}$ に対する斉次元
$$ a\otimes(1-a)\in(F^\times)^{\otimes2} $$
が生成する斉次両側イデアルを $I_{\mathrm{St}}$ とする。商斉次環
$$ K_*^M(F):=T_*(F^\times)/I_{\mathrm{St}} $$
を Milnor K環といい、その次数 $n$ の成分
$$ K_n^M(F):=(F^\times)^{\otimes n}/\bigl(I_{\mathrm{St}}\cap(F^\times)^{\otimes n}\bigr) $$
を $F$ の 第$n$ Milnor K群という。
$a_1\otimes\cdots\otimes a_n$ の像を
$$ \{a_1,\ldots,a_n\}\in K_n^M(F) $$
と書き、記号という。定義関係
$$ \{a,1-a\}=0\qquad(a\ne0,1) $$
を Steinberg関係という。Stacks0EAY。

各 $K_n^M(F)$ は加法群として書く。ただし $K_1^M(F)=F^\times$ の演算はもとの乗法なので、たとえば
$$ \lbrace ab,c\rbrace=\lbrace a,c\rbrace+\lbrace b,c\rbrace, \qquad \lbrace a,bc\rbrace=\lbrace a,b\rbrace+\lbrace a,c\rbrace $$
である。この「記号の中では乗法、記号の外では加法」という二重の記法が計算の基本である。

低次数と積

低次数のMilnor K群

任意の体 $F$ に対して
$$ K_0^M(F)=\mathbb Z, \qquad K_1^M(F)=F^\times, $$
また
$$ K_2^M(F)= \frac{F^\times\otimes_{\mathbb Z}F^\times} {\langle a\otimes(1-a)\mid a\in F^\times\setminus\{1\}\rangle} $$
である。

証明

$I_{\mathrm{St}}$ の生成元はすべて次数 $2$ である。したがって斉次両側イデアル $I_{\mathrm{St}}$ の次数 $0$ と次数 $1$ の成分はともに $0$ であり、テンソル代数の対応する成分がそのまま残る。ゆえに
$$ K_0^M(F)=(F^\times)^{\otimes0}=\mathbb Z, \qquad K_1^M(F)=(F^\times)^{\otimes1}=F^\times. $$
次数 $2$ では、両側から掛ける正次数の元は次数を増やすため、$I_{\mathrm{St}}$ の次数 $2$ 成分は生成元 $a\otimes(1-a)$ の加法部分群そのものである。これが表示された $K_2^M(F)$ を与える。

テンソル代数の積は商へ降り、記号の積を連結で与える：
$$ \lbrace a_1,\ldots,a_p\rbrace\cdot\lbrace b_1,\ldots,b_q\rbrace =\lbrace a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_q\rbrace. $$
したがって $K_*^M(F)$ は次数付き環であり、正次数部分は $K_1^M(F)$ の元で生成される。

記号計算と次数付き可換性

テンソル積の多重線形性から、各変数について
$$ \lbrace a_1,\ldots,a_ib_i,\ldots,a_n\rbrace =\lbrace a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n\rbrace +\lbrace a_1,\ldots,b_i,\ldots,a_n\rbrace $$
が成り立つ。特に、任意の位置に $1$ が現れる記号は $0$ であり、逆元を入れると符号が反転する。

基本反交換関係

$a,b\in F^\times$ に対して
$$ \lbrace a,-a\rbrace=0, \qquad \lbrace a,b\rbrace=-\lbrace b,a\rbrace $$
が $K_2^M(F)$ で成り立つ。したがって
$$ \lbrace a,a\rbrace=\lbrace a,-1\rbrace $$
である。

証明

まず $\{1,c\}=0$ は、多重線形性から
$\{1,c\}=\{1\cdot1,c\}=2\{1,c\}$ として従う。$a\ne1$ のとき、$a^{-1}\ne1$ にSteinberg関係を適用すると
$$ 0=\lbrace a^{-1},1-a^{-1}\rbrace =-\left\lbrace a,\frac{a-1}{a}\right\rbrace =-\lbrace a,a-1\rbrace+\lbrace a,a\rbrace. $$
一方、$a-1=-(1-a)$ なので
$$ \lbrace a,a-1\rbrace=\lbrace a,-1\rbrace+\lbrace a,1-a\rbrace=\lbrace a,-1\rbrace. $$
よって $\{a,a\}=\{a,-1\}$ である。$a=1$ の場合も両辺は $0$ である。また
$$ 2\lbrace a,-1\rbrace=\lbrace a,(-1)^2\rbrace=\lbrace a,1\rbrace=0 $$
だから
$$ \lbrace a,-a\rbrace=\lbrace a,-1\rbrace+\lbrace a,a\rbrace=2\lbrace a,-1\rbrace=0. $$
最後に $ab\in F^\times$ へ今得た関係を適用し、多重線形性で展開すると
$$ \begin{aligned} 0=\lbrace ab,-ab\rbrace &=\lbrace a,-1\rbrace+\lbrace a,a\rbrace+\lbrace a,b\rbrace\\ &\quad+\lbrace b,-1\rbrace+\lbrace b,a\rbrace+\lbrace b,b\rbrace. \end{aligned} $$
最初の2項と第4・第6項はそれぞれ $\{a,-a\}$ と $\{b,-b\}$ なので消え、$\{a,b\}+\{b,a\}=0$ が残る。

Milnor K環の次数付き可換性

$x\in K_p^M(F)$、$y\in K_q^M(F)$ なら
$$ xy=(-1)^{pq}yx $$
である。

証明

各斉次群は純粋記号で生成されるので、$x=\{a_1,\ldots,a_p\}$、$y=\{b_1,\ldots,b_q\}$ の場合を示せばよい。基本反交換関係により、隣接する $a_i$ と $b_j$ を1回交換するたびに符号 $-1$ が付く。$q$ 個の $b_j$ をそれぞれ $p$ 個の $a_i$ の左へ移すには合計 $pq$ 回の交換が必要だから、$xy=(-1)^{pq}yx$ となる。一般の場合は双線形性で従う。

これは「交代的」と同じではない。次数1の元 $x$ について次数付き可換性から得られるのは $2x^2=0$ だけであり、$x^2=0$ とは限らない。

例と反例

最小の有限体

$F=\mathbb F_2$ では $F^\times=\{1\}$ は自明群である。したがって
$$ K_0^M(\mathbb F_2)=\mathbb Z, \qquad K_n^M(\mathbb F_2)=0\quad(n\ge1). $$
これは正次数のMilnor K群が常に非零であるという誤解への反例である。

証明

自明なアーベル群と任意のアーベル群とのテンソル積は $0$ である。よって $(\mathbb F_2^\times)^{\otimes n}=0$ が $n\ge1$ で成り立ち、その商である $K_n^M(\mathbb F_2)$ も $0$ である。次数 $0$ は定義から $\mathbb Z$ である。

記号の積が交代的でない例

$F=\mathbb Q(t)$ とし、$t=0$ の離散付値を考える。後述のtame symbolにより
$$ \partial_t\lbrace t,t\rbrace=-1\in\mathbb Q^\times $$
である。$-1\ne1$ なので $\{t,t\}\ne0$ である。したがってMilnor K環は次数付き可換だが、一般には $\{a,a\}=0$ を満たす交代代数ではない。これは「反交換的なら自己積が必ず消える」という、$2$-torsionを無視した含意への反例である。

離散付値とtame symbol

$(F,v)$ を離散付値体、$\mathcal O_v$ を付値環、$\kappa(v)$ を剰余体、$\pi$ を一様化元とする。選択した $\pi$ により
$$ F^\times\cong\pi^{\mathbb Z}\times\mathcal O_v^\times $$
と書けるが、この分解自体は $\pi$ に依存する。

Milnor K群のtame symbol

各 $n\ge1$ に対し、一様化元の選択に依存しない準同型
$$ \partial_v:K_n^M(F)\longrightarrow K_{n-1}^M(\kappa(v)) $$
が存在し、$u_1,\ldots,u_n\in\mathcal O_v^\times$ に対して
$$ \partial_v\lbrace u_1,\ldots,u_n\rbrace=0, \qquad \partial_v\lbrace u_1,\ldots,u_{n-1},\pi\rbrace =\lbrace\overline u_1,\ldots,\overline u_{n-1}\rbrace $$
を満たす。$n=1$ では $\partial_v:F^\times\to\mathbb Z$ は付値 $v$ である。

出典と次数2の公式

存在とSteinberg関係との両立は外部定理として Stacks0EAY と Stacks0EAH に委ねる。次数2では、右辺を $K_1^M(\kappa(v))=\kappa(v)^\times$ の乗法記法で書けば
$$ \partial_v\lbrace f,g\rbrace =(-1)^{v(f)v(g)} \overline{f^{v(g)}g^{-v(f)}} $$
である。この式は一様化元を含まず、$\partial_v\{u,\pi\}=\overline u$ を与える。例の $\partial_t\{t,t\}=-1$ もこの公式から従う。

tame symbol $\partial_v$ と、一様化元を選んで構成する特殊化写像は別の写像である。本記事では選択不変な境界写像 $\partial_v$ だけを用いる。

Quillen K理論とGaloisコホモロジーとの境界

Milnor K群は定義上、体の乗法群とSteinberg関係から作る。Quillen K理論の高次K群とは定義が異なる。低次数では
$$ K_0^M(F)\cong K_0(F)\cong\mathbb Z, \qquad K_1^M(F)\cong K_1(F)\cong F^\times $$
であり、Matsumotoの定理はさらに
$$ K_2^M(F)\cong K_2(F) $$
を与える Mat69。しかし $n\ge3$ で両者を同じ定義の群とみなしてはいけない。
また、素数 $\ell$ が $F$ の標数と異なるとき、norm residue写像は
$$ K_n^M(F)/\ell \longrightarrow H^n\bigl(F,\mu_\ell^{\otimes n}\bigr) $$
を与え、Bloch--Katoの定理はこれが同型であることを述べる Voe11。これはMilnor K群の定義ではなく、深い後代の比較定理である。本記事ではその証明を扱わない。Milnor K理論の原初的な二次形式との関係については Mil70 を参照する。