等比級数

$S_N:=\sum_{n=0}^{N}ar^n$ とおくと $rS_N=\sum_{n=1}^{N+1}ar^n$ なので、$n=1,\dots,N$ の項が打ち消し合って
$$ (1-r)S_N=S_N-rS_N=a-ar^{N+1} $$
となる。$r\ne1$ なら両辺を $1-r$ で割ればよい。$r=1$ なら $N+1$ 個の項がすべて $a$ である。

1：prop-geom-finite により $S_N=\frac{a}{1-r}-\frac{ar^{N+1}}{1-r}$ なので、差の式が成り立つ。$|r|<1$ なら $|r|^{N+1}\to0$（数列の極限 の記事の例「等比数列」）なので、差は $0$ に収束し、和は $\frac a{1-r}$ である。三角不等式により $|1-r|\ge1-|r|>0$ なので、差の絶対値は $\frac{|a||r|^{N+1}}{1-|r|}$ 以下である。絶対値をとった級数 $\sum_n|a||r|^n$ は、初項 $|a|$、公比 $|r|$ の等比級数なので、同じ計算により $\frac{|a|}{1-|r|}$ に収束する。よって絶対収束する。
2：$|r|\ge1$ なら $|ar^n|=|a||r|^n\ge|a|>0$ なので、項が $0$ に収束しない。級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」により、級数は発散する。

$z=0$ なら明らかなので $0<|z|<1$ とし、$h:=\frac1{|z|}-1>0$ とおく。$n\ge2k+1$ とする。二項定理で $(1+h)^n$ を展開して $h^{k+1}$ の項だけを残すと
$$ \frac1{|z|^n}=(1+h)^n\ge\binom{n}{k+1}h^{k+1}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}\,h^{k+1} $$
である（$n\ge k+1$ なので $h^{k+1}$ の項がある）。$n\ge2k$ より $n-k\ge\frac n2$ なので、右辺の分子の $k+1$ 個の因子はすべて $\frac n2$ 以上であり、
$$ 0\le n^k|z|^n\le\frac{n^k(k+1)!\,2^{k+1}}{n^{k+1}h^{k+1}}=\frac{(k+1)!\,2^{k+1}}{h^{k+1}}\cdot\frac1n $$
となる。右辺は $n\to\infty$ で $0$ に近づく。

$T_k(N):=\sum_{n=0}^{N}\binom{n+k}{k}z^n$ とおく。$k\ge1$ について、次の等式を示す。
$$ (1-z)\,T_k(N)=T_{k-1}(N)-\binom{N+k}{k}z^{N+1}. $$
$zT_k(N)=\sum_{n=1}^{N+1}\binom{n-1+k}{k}z^n$ なので、
$$ (1-z)T_k(N)=\binom kk+\sum_{n=1}^{N}\left(\binom{n+k}{k}-\binom{n-1+k}{k}\right)z^n-\binom{N+k}{k}z^{N+1} $$
である。Pascal の関係式により $\binom{n+k}{k}-\binom{n+k-1}{k}=\binom{n+k-1}{k-1}$ であり、$\binom kk=1=\binom{k-1}{k-1}$ なので、右辺の最初の 2 つの部分の和は $\sum_{n=0}^{N}\binom{n+k-1}{k-1}z^n=T_{k-1}(N)$ である。
$|z|<1$ として、$k$ についての帰納法で $T_k(N)\to(1-z)^{-(k+1)}$（$N\to\infty$）を示す。$k=0$ は thm-geom-convergence である。$k\ge1$ とし、$k-1$ で成り立つとする。$N\ge k$ なら $\binom{N+k}{k}\le\frac{(N+k)^k}{k!}\le\frac{(2N)^k}{k!}$ なので
$$ \left|\binom{N+k}{k}z^{N+1}\right|\le\frac{2^k|z|}{k!}\,N^k|z|^N $$
であり、lem-geom-poly-decay により右辺は $0$ に近づく。上の等式を $1-z\,(\ne0)$ で割って $N\to\infty$ とすると、帰納法の仮定により
$$ T_k(N)=\frac{T_{k-1}(N)}{1-z}-\frac{1}{1-z}\binom{N+k}{k}z^{N+1}\longrightarrow\frac{(1-z)^{-k}}{1-z}=\frac1{(1-z)^{k+1}} $$
となる。絶対収束は、同じ結果を $|z|$ に当てれば、正の項の級数 $\sum_n\binom{n+k}{k}|z|^n$ が $(1-|z|)^{-(k+1)}$ に収束することから従う。
$|z|\ge1$ なら $\bigl|\binom{n+k}{k}z^n\bigr|\ge1$ なので項が $0$ に近づかず、級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」により発散する。

$n\ge1$ の項だけが残るので、$m=n-1$ とおくと $\sum_{n\ge0}nz^n=z\sum_{m\ge0}(m+1)z^m=\frac{z}{(1-z)^2}$ である（thm-geom-power の $k=1$）。また $n^2=2\binom{n+1}{2}-n$ であり、$\sum_{n\ge0}\binom{n+1}{2}z^n=z\sum_{m\ge0}\binom{m+2}{2}z^m=\frac{z}{(1-z)^3}$（$k=2$）なので、級数 の記事の命題「級数の線形性」により
$$ \sum_{n\ge0}n^2z^n=\frac{2z}{(1-z)^3}-\frac{z}{(1-z)^2}=\frac{2z-z(1-z)}{(1-z)^3}=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3} $$
となる。

1：発散は thm-geom-convergence の 2 による。prop-geom-finite により $S_N=\frac{1-z^{N+1}}{1-z}$ であり、$|1-z^{N+1}|\le1+|z|^{N+1}=2$ なので $|S_N|\le\frac2{|1-z|}$ である。平均をとると
$$ \sigma_N=\frac1{N+1}\sum_{n=0}^{N}\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\frac1{1-z}-\frac{1}{(N+1)(1-z)}\sum_{n=0}^{N}z^{n+1} $$
である。$\sum_{n=0}^{N}z^{n+1}=zS_N$ なので、その絶対値は $\frac2{|1-z|}$ 以下であり、
$$ \left|\sigma_N-\frac1{1-z}\right|\le\frac{2}{(N+1)\,|1-z|^2}\longrightarrow0 $$
となる。$0\le x<1$ なら $|zx|<1$ なので、thm-geom-convergence により $\sum_nz^nx^n=\frac1{1-zx}$ であり、$x\mapsto\frac1{1-zx}$ は $x=1$ の近くで連続（分母 $1-zx$ は $x=1$ で $1-z\ne0$）なので、$x\to1-0$ の極限は $\frac1{1-z}$ である。
2：$S_N=N+1$ で、$\sigma_N=\frac{1+2+\cdots+(N+1)}{N+1}=\frac{N+2}2$ である。