n次元球面

$S^n$ の $n$ は球面自身の次元（多様体としての次元）であり、それが入っている Euclid 空間の次元 $n+1$ ではない。$S^1$ は平面 $\mathbb{R}^2$ の中の曲線、$S^2$ は空間 $\mathbb{R}^3$ の中の曲面である。$S^0=\{-1,1\}\subset\mathbb{R}$ は 2 点からなる。

2 次元のコンパクトで連結な多様体であっても $S^2$ と同相とは限らない。トーラス（トーラス）$T^2=S^1\times S^1$ は $S^2$ と同じくコンパクトで連結な 2 次元閉多様体だが、$S^2$ と同相でない。$T^2$ が満たす性質は「コンパクト・連結・$2$ 次元位相多様体である」ことであり、満たさない性質は「$S^2$ と同相である」ことである。破れる含意は「コンパクト連結 $n$ 次元多様体は $S^n$ と同相」であり、球面を特徴づけるには単連結性（単連結空間）やホモロジー群のような付加的な不変量が必要になる。実際、$T^2$ の基本群（基本群）は $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ であり（単連結空間の記事の注意（反例：単連結でない空間））、$S^2$ の基本群は自明である（n-sphere-thm-fundamental-group）。基本群は同相で不変なので両者は同相でない。

$n\ge1$ のとき $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ は $S^n$ を変位レトラクト（変位レトラクト）として含み（$x\mapsto x/\|x\|$ と直線ホモトピー（ホモトピー）$(x,t)\mapsto(1-t)x+tx/\|x\|$）、$S^n$ とホモトピー同値（ホモトピー同値）である。しかし $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ はコンパクトでないので $S^n$ と同相でない。満たす性質は「$S^n$ とホモトピー同値である」こと、満たさない性質は「$S^n$ と同相である」ことであり、破れる含意は「ホモトピー同値ならば同相」である。ホモロジー群・ホモトピー群はホモトピー同値で不変なので、これらの不変量だけでは $S^n$ を同相で特徴づけられない。

$n\ge2$ の場合の完全な証明（ループを一点を避けるループに取り替え、$S^n\setminus\{\text{点}\}\cong\mathbb{R}^n$ で縮める）は単連結空間の記事の命題（球面の単連結性）が所有する。$\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ は、被覆写像 $\mathbb{R}\to S^1$、$t\mapsto(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ と道の持ち上げにより示され、被覆空間の記事の注意（基本群との関係の証明について）と Hat02 §1.1 Theorem 1.7、Mun00 §54 Theorem 54.5 に証明がある。同型はループの回転数で与えられる。$S^0$ の各点は $\mathbb{R}$ の中で孤立点なので、基点を固定したループは定値写像しかない。

$H_i(S^n)$ の計算は、$S^n$ を二つの可縮（可縮空間）な開集合（北極・南極を除いた集合）で覆って Mayer–Vietoris 完全列を使うか、対 $(D^n,S^{n-1})$ の長完全列と切除定理で次元についての帰納法を行う。Hat02 §2.1 Corollary 2.14 に証明がある。コホモロジー群は普遍係数定理（Hat02 §3.1 Theorem 3.2）により $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_i(S^n;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{i-1}(S^n;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})$ で、ホモロジー群がすべて自由なので $\operatorname{Ext}$ の項は消える。$S^n$ はコンパクトで向き付け可能（向き付け可能）な $n$ 次元多様体なので、Poincaré 双対性（Poincaré双対性）$H^i(S^n)\cong H_{n-i}(S^n)$ からも同じ結果が得られる。$H_0(S^0)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ は $S^0$ が 2 個の弧状連結成分をもつことによる。

1・2・3 は球面のホモトピー群の記事の命題（消滅域と対角線）、4 は同記事の命題（Hopf束による $\pi_3(S^2)$ の計算）が証明つきで所有する。3 は $\mathbb{R}\to S^1$ が可縮な普遍被覆であり、被覆写像が $k\ge2$ でホモトピー群の同型を誘導することによる（ホモトピー群の記事の命題（被覆空間と$n$-単純性））。有限性と例外次数 $k=2n-1$ の形は Serre の定理（球面のホモトピー群の記事の定理（Serreの有限性定理（球面の場合）））による。低次の値の表、懸垂による安定化、計算手段の概略も球面のホモトピー群が扱う。

$S^n$ と同相だが標準的な $S^n$ と微分同相でない滑らかな多様体をエキゾチック球面（exotic sphere）という。最初の例は Milnor が $S^4$ 上の $S^3$ 束として構成した 7 次元の例である（Mil56）。Kervaire と Milnor は、$n\ge5$ に対し $S^n$ とホモトピー同値な向き付けられた滑らかな閉多様体の $h$-コボルディズム類（$n\ge5$ では向きを保つ微分同相類に一致する）が連結和（連結和）について有限アーベル群 $\Theta_n$ をなすことを示し、$\Theta_7\cong\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}$、$\Theta_5=\Theta_6=\Theta_{12}=0$ などを求めた（KM63）。$n\le3$ では微分構造は一意である（$n=3$ は Moi52）。$n=61$ では標準的な構造しかなく、奇数次元で微分構造が一意なのは $n=1,3,5,61$ に限る（WX17）。偶数次元では $n=2,6,12,56$ で一意であることが知られ（$n=56$ は BHHM20）、$S^4$ がエキゾチックな微分構造をもつかどうか（滑らかな 4 次元 Poincaré 予想）は現在（2026年9月時点）も未解決である。

標準的な微分構造をもつ $S^n$ の接束 $TS^n=\{(x,v)\in S^n\times\mathbb{R}^{n+1}\mid\langle x,v\rangle=0\}$ が自明なベクトル束（ベクトル束）になる、すなわち $S^n$ が平行化可能（parallelizable）であるのは $n=1,3,7$ のときに限る（BM58、Ker58）。$n=1,3,7$ は複素数・四元数・八元数（八元数）の乗法から平行化が得られる。一方、任意の $n$ について $TS^n$ に自明な直線束 $\varepsilon^1$ を Whitney 和した $TS^n\oplus\varepsilon^1$ は自明である。これは $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ の法束が外向き単位法ベクトル $x$ により自明化されることによるもので、証明はベクトル束の記事の命題（球面の接束は安定的に自明）が所有する。とくに $TS^2$ は非自明で、$S^2$ 上には至るところ消えない接ベクトル場が存在しない（毛玉の定理。$S^n$ が至るところ消えない接ベクトル場をもつのは $n$ が奇数のときに限る、Mil97 §6）。

Lie 群の接束は左移動により自明化されるので、標準的な $S^n$ に Lie 群の構造が入るなら $n\in\{0,1,3,7\}$ である。実際 $S^0\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$S^1\cong\mathrm{U}(1)\cong\mathbb{R}/\mathbb{Z}$、$S^3\cong\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm{Sp}(1)$（SO(3)とSU(2)）は Lie 群である。$S^7$ は八元数の乗法をもつが結合的でないため群にならず、Lie 群の構造は入らない（コンパクト連結 Lie 群の分類（BtD85）から、単連結で 7 次元の Lie 群は存在しない）。これは、$\mathbb{R}^m$ 上に零因子のない結合的な双線形な積が入るのが $m=1,2,4$（実数・複素数・四元数）に限ることに対応する。
任意の $n$ について、直交群 $\mathrm{O}(n+1)$ と特殊直交群 $\mathrm{SO}(n+1)$ は $S^n$ に行列の積で作用し（群作用）、この作用は滑らかで推移的である。点 $e_{n+1}$ の固定部分群はそれぞれ $\mathrm{O}(n)$、$\mathrm{SO}(n)$ なので、$S^n$ は等質空間
$$S^n\cong\mathrm{O}(n+1)/\mathrm{O}(n)\cong\mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$$
である。$\mathbb{R}^{2n}=\mathbb{C}^n$ とみなすと $n\ge 1$ で $S^{2n-1}\cong\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)$、$n\ge 2$ で $S^{2n-1}\cong\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)$ であり、$\mathbb{R}^{4n}=\mathbb{H}^n$ とみなすと $n\ge 1$ で $S^{4n-1}\cong\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)$ である（BtD85 Chapter I）。

複素多様体（複素多様体）は実次元が偶数なので、複素構造をもちうるのは $S^{2m}$ だけである。$S^2$ は Riemann 球面として複素構造をもつ。$S^4$ は複素構造をもたず、より強く $m\ne1,3$ のとき $S^{2m}$ は概複素構造（概複素構造）すらもたない（BS53）。$S^6$ は八元数を用いて概複素構造をもつが、それが可積分（複素構造）になるか、すなわち $S^6$ が複素多様体になるかは未解決である。

$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ に Euclid 計量から誘導される Riemann 計量（リーマン幾何学）を入れたものを $S^n$ の標準的計量（round metric）という。標準的計量の $S^n$ は断面曲率（断面曲率）が恒等的に $1$ の定曲率空間であり、測地線は大円である。完備・単連結で断面曲率が恒等的に $1$ の $n$ 次元 Riemann 多様体（リーマン多様体）は標準的計量の $S^n$ と等長（等長写像）である。この一意性はリーマン幾何学の記事の定理（空間形の分類）が扱う（doCarmo92 Ch. 8）。