Wallman型コンパクト化

$\emptyset$ と $X$ は閉集合なので $\mathcal{F}$ に属する。(N1) は、閉集合の補集合が開集合の全体であることから常に成り立つ。(N2) は $X$ が $T_1$ であることから常に成り立つ：$x\notin A$ のとき $F=\{x\}$ は閉集合で $x\in F$、$A\cap F=\emptyset$ である。(N3) は、有限個の閉集合の合併と交叉が閉であることから常に成り立つ。したがって、$\mathcal{F}$ が正規基底であることと (N4) が成り立つこととは同値である。
(N4) $\Rightarrow$ 正規性：交わらない閉集合 $E,F$ に対し (N4) の $G,H$ を取り、$U=X\setminus H$、$V=X\setminus G$ とおく。$U,V$ は開で、$E\cap H=\emptyset$ より $E\subset U$、$F\cap G=\emptyset$ より $F\subset V$、$U\cap V=X\setminus(G\cup H)=\emptyset$ である。
正規性 $\Rightarrow$ (N4)：交わらない閉集合 $E,F$ に対し、交わらない開集合 $U\supset E$、$V\supset F$ を取り、$H=X\setminus U$、$G=X\setminus V$ とおく。$G,H$ は閉集合で、$G\cup H=X\setminus(U\cap V)=X$、$E\cap H=\emptyset$、$F\cap G=\emptyset$ である。$\square$

以下、定数関数が連続であること、実数値連続関数の和・積・絶対値・$\min$・$\max$ が連続であること、および分母がどの点でも $0$ にならない商が連続であることを、基本事項として用いる。
零集合は連続関数による一点の逆像なので閉集合である。定数関数により $\emptyset=Z(1)$、$X=Z(0)$ が零集合である。
(N3)：$Z(f)\cap Z(g)=Z(f^2+g^2)$、$Z(f)\cup Z(g)=Z(fg)$ であり、$f^2+g^2$ と $fg$ は連続である。
(N1)：$x\in U$、$U$ 開とする。$A=X\setminus U$ は閉で $x\notin A$ なので、完全正則性より $f\colon X\to[0,1]$ で $f(x)=1$、$A$ 上 $f=0$ となるものが取れる。$A\subset Z(f)$ かつ $x\notin Z(f)$ なので、$x\in X\setminus Z(f)\subset U$ である。よって $\mathcal{Z}(X)$ の元の補集合は開基をなす。
(N2)：$x\notin A$ に対し完全正則性で取った $f$ について $g:=\min(f-1/2,0)$ とおくと $g$ は連続で、$Z(g)=\{y\in X\mid f(y)\ge 1/2\}$ である。$f(x)=1$ より $x\in Z(g)$、$A$ 上 $f=0$ より $A\cap Z(g)=\emptyset$ である。
(N4)：$E=Z(f)$、$F=Z(g)$ が交わらないとする。$|f|+|g|$ はどの点でも $0$ にならないので $h:=|f|/(|f|+|g|)$ は連続で、$E$ 上 $h=0$、$F$ 上 $h=1$ である。$H:=\{y\mid h(y)\ge 1/2\}=Z(\min(h-1/2,0))$、$G:=\{y\mid h(y)\le 1/2\}=Z(\max(h-1/2,0))$ とおくと、$G,H$ は零集合で $G\cup H=X$、$E\cap H=\emptyset$、$F\cap G=\emptyset$ である。
なお、以上で用いたのは完全正則性だけであり、$T_1$ 性は使っていない。$T_1$ 性は、この正規基底からコンパクト化を作る段階（prop-wallman-type-compactification-point の単射性）で必要になる。$\square$

極大性を仮定し、$F\in\mathcal{F}$ が $\xi$ のすべての元と交わるとする。
$$\eta:=\{H\in\mathcal{F}\mid \exists G\in\xi,\ F\cap G\subset H\}$$
とおく。(N3) より $F\cap G\in\mathcal{F}$ であり、仮定より $F\cap G\neq\emptyset$ なので $\emptyset\notin\eta$。$H_1,H_2\in\eta$ なら $F\cap G_1\subset H_1$、$F\cap G_2\subset H_2$ なる $G_1,G_2\in\xi$ が取れ、$G_1\cap G_2\in\xi$ と $F\cap(G_1\cap G_2)\subset H_1\cap H_2$ より $H_1\cap H_2\in\eta$。上方閉性は定義から明らかである。よって $\eta$ は $\mathcal{F}$-フィルターで、$G\in\xi$ に対し $F\cap G\subset G$ だから $\xi\subset\eta$、また $F\cap G\subset F$ だから $F\in\eta$ である。極大性より $\eta=\xi$、したがって $F\in\xi$。
逆に条件を仮定し、$\xi\subsetneq\eta$ なる $\mathcal{F}$-フィルター $\eta$ があったとする。$F\in\eta\setminus\xi$ を取ると、任意の $G\in\xi\subset\eta$ に対し $F\cap G\in\eta$ で $\emptyset\notin\eta$ だから $F\cap G\neq\emptyset$。条件より $F\in\xi$ となり矛盾する。よって $\xi$ は極大である。
最後の主張は、対偶をとれば条件そのものである。$\square$

$$\xi_0:=\{H\in\mathcal{F}\mid \exists n\ge 0,\ \exists A_1,\dots,A_n\in\mathcal{A},\ A_1\cap\dots\cap A_n\subset H\}$$
とおく（$n=0$ のときは $X\subset H$ と読む）。(N3) より $A_1\cap\dots\cap A_n\in\mathcal{F}$、有限交叉性より $A_1\cap\dots\cap A_n\neq\emptyset$ なので $\emptyset\notin\xi_0$。$X\in\xi_0$ なので $\xi_0\neq\emptyset$。二つの元の交叉と上方閉性は定義から従うので、$\xi_0$ は $\mathcal{A}$ を含む $\mathcal{F}$-フィルターである。
次に、$\xi_0$ を含む $\mathcal{F}$-フィルターの全体を包含関係で順序づける。空でない全順序部分集合の合併は再び $\mathcal{F}$-フィルターである（$\emptyset$ を含まないことと上方閉性は各元から従い、二元の交叉については、二つの元を同時に含む鎖の元を取ればよい）。したがって Zorn の補題（選択公理を使う）より、この順序集合に極大元 $\xi$ が存在する。$\xi$ はすべての $\mathcal{F}$-フィルターの中でも極大である：$\xi\subsetneq\eta$ なる $\mathcal{F}$-フィルター $\eta$ があれば、$\eta\supset\xi\supset\xi_0$ だから $\eta$ もこの順序集合の元であり、$\xi$ の極大性に反する。$\xi\supset\xi_0\supset\mathcal{A}$ なので、$\xi$ が求める極大 $\mathcal{F}$-フィルターである。$\square$

$X\in\mathcal{F}$ かつ $x\in X$ なので $\xi_x\neq\emptyset$。$x\notin\emptyset$ より $\emptyset\notin\xi_x$。$x\in F$ かつ $x\in G$ なら $x\in F\cap G$、$x\in F\subset G$ なら $x\in G$ なので、$\xi_x$ は $\mathcal{F}$-フィルターである。
極大性は lem-wallman-type-compactification-maximal で確かめる。$F\in\mathcal{F}$ が $\xi_x$ のすべての元と交わるとし、$x\notin F$ と仮定する。$F$ は閉集合なので (N2) より $x\in G$ かつ $F\cap G=\emptyset$ なる $G\in\mathcal{F}$ が取れる。$G\in\xi_x$ なので仮定に反する。よって $x\in F$、すなわち $F\in\xi_x$ である。
単射性：$x\neq y$ とする。$X$ が $T_1$ なら $\{y\}$ は閉集合で $x\notin\{y\}$ なので、(N2) より $x\in F$ かつ $y\notin F$ なる $F\in\mathcal{F}$ が取れる。$F\in\xi_x\setminus\xi_y$ だから $\xi_x\neq\xi_y$ である。$\square$

$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ は (N3) より $\mathcal{F}$ に属するので $U\cap V$ は $\mathcal{F}$-開集合である。$\xi\in O(U)\cap O(V)$ なら $F\subset U$、$G\subset V$ なる $F,G\in\xi$ が取れ、$F\cap G\in\xi$ と $F\cap G\subset U\cap V$ より $\xi\in O(U\cap V)$。逆に $\xi\in O(U\cap V)$ なら、$F\subset U\cap V$ なる $F\in\xi$ が $U$ と $V$ の両方に対する証拠になる。
$X\setminus X=\emptyset\in\mathcal{F}$ なので $X$ は $\mathcal{F}$-開集合であり、$\xi\neq\emptyset$ の各元は $X$ に含まれるから $O(X)=wX_{\mathcal{F}}$。$X\setminus\emptyset=X\in\mathcal{F}$ なので $\emptyset$ も $\mathcal{F}$-開集合であり、$F\subset\emptyset$ なる $F\in\xi$ は $F=\emptyset$ となって (F1) に反するから $O(\emptyset)=\emptyset$。
この族は $wX_{\mathcal{F}}$ を覆い、有限交叉について閉じているので、生成する位相の開基である。$\square$

1. $x\in U$ とする。$X\setminus U$ は閉集合で $x\notin X\setminus U$ なので、(N2) より $x\in F$ かつ $F\cap(X\setminus U)=\emptyset$、すなわち $F\subset U$ なる $F\in\mathcal{F}$ が取れる。$F\in\xi_x$ だから $\xi_x\in O(U)$。逆に $x\notin U$ なら、$\xi_x$ の元 $F$ はすべて $x$ を含むので $F\subset U$ とはならず、$\xi_x\notin O(U)$。
2. $\iota$ は prop-wallman-type-compactification-point より単射である。1 より基本開集合の逆像 $\iota^{-1}(O(U))=U$ は開なので $\iota$ は連続である。また一般に $\iota(\iota^{-1}(S))=S\cap\iota(X)$ なので、1 より $\iota(U)=O(U)\cap\iota(X)$ であり、$\mathcal{F}$-開集合は (N1) より $X$ の開基をなすから、$\iota$ は像への開写像である。よって同相写像である。
3. 空でない基本開集合 $O(U)$ を取り、$\xi\in O(U)$ とする。$F\subset U$ なる $F\in\xi$ を取ると (F1) より $F\neq\emptyset$ なので $x\in F\subset U$ が取れ、1 より $\iota(x)\in O(U)$ である。よって空でないすべての開集合が $\iota(X)$ と交わる。$\square$

1. $X\setminus(X\setminus F)=F\in\mathcal{F}$ なので $X\setminus F$ は $\mathcal{F}$-開集合である。$\xi\in O(X\setminus F)$ とは、$G\subset X\setminus F$ すなわち $F\cap G=\emptyset$ なる $G\in\xi$ が存在することであり、lem-wallman-type-compactification-maximal よりこれは $F\notin\xi$ と同値である。
2. $\xi$ は (F2)(F3) を満たすので、$E,F\in\xi$ と $E\cap F\in\xi$ は同値である。また $\emptyset\notin\xi$ より $\emptyset^{\ast}=\emptyset$。
3. $x\in F$ なら $F\in\xi_x$ なので $\iota(F)\subset F^{\ast}$ であり、1 より $F^{\ast}$ は閉だから閉包も $F^{\ast}$ に含まれる。逆に $\xi\in F^{\ast}$ とし、$O(U)$ を $\xi$ を含む基本開集合とする。$G\subset U$ なる $G\in\xi$ を取ると、$F,G\in\xi$ より $F\cap G\in\xi$ で $F\cap G\neq\emptyset$。$x\in F\cap G$ を取れば $x\in F$ かつ $x\in U$ なので、prf-wallman-type-compactification-embedding の 1 より $\iota(x)\in O(U)\cap\iota(F)$ である。よって $\xi$ は $\iota(F)$ の閉包に属する。
4. $C$ を閉集合、$\zeta\notin C$ とする。prop-wallman-type-compactification-base より、$\zeta\in O(U)\subset wX_{\mathcal{F}}\setminus C$ なる $\mathcal{F}$-開集合 $U$ が取れる。$F:=X\setminus U\in\mathcal{F}$ とおくと 1 より $O(U)=wX_{\mathcal{F}}\setminus F^{\ast}$ なので、$C\subset F^{\ast}$ かつ $\zeta\notin F^{\ast}$ である。よって $C$ を含む $F^{\ast}$ たちの交わりは $C$ に等しい。$\square$

$\xi\neq\eta$ を極大 $\mathcal{F}$-フィルターとする。一方が他方を真に含むことは極大性からありえないので、一般性を失わずに $F\in\xi\setminus\eta$ が取れる。$\eta$ の極大性と lem-wallman-type-compactification-maximal より、$E\cap F=\emptyset$ なる $E\in\eta$ が存在する。
(N4) より $G\cup H=X$、$E\cap H=\emptyset$、$F\cap G=\emptyset$ なる $G,H\in\mathcal{F}$ を取り、$U:=X\setminus G$、$V:=X\setminus H$ とおく。$U,V$ は $\mathcal{F}$-開集合で、$F\subset U$、$E\subset V$、$U\cap V=X\setminus(G\cup H)=\emptyset$ である。したがって $\xi\in O(U)$、$\eta\in O(V)$ であり、prop-wallman-type-compactification-base より $O(U)\cap O(V)=O(U\cap V)=O(\emptyset)=\emptyset$ である。$\square$

位相空間がコンパクトであることは、有限交叉性を持つ閉集合族の交わりが常に空でないことと同値である（Mun00 §26 を引用し、本記事では証明しない）。そこで $\mathcal{G}$ を $wX_{\mathcal{F}}$ の閉集合からなり有限交叉性を持つ族とし、
$$\mathcal{A}:=\{F\in\mathcal{F}\mid \exists C\in\mathcal{G},\ C\subset F^{\ast}\}$$
とおく。
まず $\mathcal{A}$ は有限交叉性を持つ。$n\ge1$ とし $F_1,\dots,F_n\in\mathcal{A}$、$C_i\subset F_i^{\ast}$ なる $C_i\in\mathcal{G}$ を取る。$\mathcal{G}$ の有限交叉性より $C_1\cap\dots\cap C_n\neq\emptyset$ であり、prop-wallman-type-compactification-closure の 2 より
$$C_1\cap\dots\cap C_n\subset F_1^{\ast}\cap\dots\cap F_n^{\ast}=(F_1\cap\dots\cap F_n)^{\ast}$$
なので $(F_1\cap\dots\cap F_n)^{\ast}\neq\emptyset$、ふたたび 2 より $F_1\cap\dots\cap F_n\neq\emptyset$ である。$n=0$ の場合は $X\neq\emptyset$ による。
lem-wallman-type-compactification-existence より $\mathcal{A}$ を含む極大 $\mathcal{F}$-フィルター $\xi$ が取れる。$C\in\mathcal{G}$ とする。prop-wallman-type-compactification-closure の 4 より $C$ は $C\subset F^{\ast}$ なる $F\in\mathcal{F}$ 全体についての $F^{\ast}$ の交わりに等しい。そのような $F$ はいずれも $\mathcal{A}$ の元だから $F\in\xi$、すなわち $\xi\in F^{\ast}$ である。よって $\xi\in C$ となり、$\xi$ は $\mathcal{G}$ のすべての元に属する。$\square$

コンパクト性は prop-wallman-type-compactification-compact、Hausdorff 性は prop-wallman-type-compactification-hausdorff、埋め込みと稠密性は prop-wallman-type-compactification-embedding による。これらを合わせると、冒頭で定めたコンパクト化の条件がすべて満たされる。$\square$