熱方程式の最大L²正則性

前提知識: 熱方程式, Sobolev空間, 零境界Sobolev空間, Laplacianの固有関数, Bochner積分

定義と主定理

熱方程式には、正の時刻で解が滑らかになる性質がある。しかし、外力が二乗可積分というだけなら、すべての時刻で古典的に微分できる解を期待するのは強すぎる。代わりに、時間微分と空間の二階微分が外力と同じ二乗可積分性を持つかを問う。この性質が、熱方程式の最大 $L^2$ 正則性である。ここで「最大」は最大値原理の意味ではない。方程式の主要な二つの項を、外力と同じ関数空間で制御することを指す。
以下、$\Omega\subset\mathbb R^d$ は空でない有界な $C^\infty$ 境界の領域、$0< T<\infty$ とする。関数は実数値とし、
$$ H=L^2(\Omega;\mathbb R),\qquad V=H^1_0(\Omega;\mathbb R), \qquad A=-\Delta,\qquad D(A)=H^2(\Omega)\cap V $$
と置く。$H$ の内積を $(\ ,\ )_H$ と書く。$V$ は滑らかなコンパクト台の関数の $H^1$ 閉包であり、零境界条件を $V$ への所属として課す。境界の各点で関数値を最初から指定する定義ではない。$V$ には $\|v\|_V=\|\nabla v\|_{L^2}$ を使う。有界領域の Poincaréの不等式 により、これは通常の $H^1$ ノルムと同値な完備ノルムである。

$H$ 値分布微分 $u_t=w$ とは、任意の $\varphi\in C_c^\infty(0,T)$ に対して $H$ の等式 $\int_0^T u\varphi'=-\int_0^T w\varphi$ が成り立つことである。$W^{1,2}(0,T;H)$ の元には $H$ 値連続代表があるので、$u(0)$ はその代表で解釈する。この性質は、後の一意性の証明で係数ごとに確かめる。

スペクトルと空間正則性の入力

固有基底と勾配ノルム

Laplacianの固有関数 の定理「Dirichlet 条件の固有関数による展開」により、実正規直交基底 $(e_n)_{n\ge1}$ と固有値
$$ Ae_n=\lambda_ne_n,\qquad 0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots,\qquad\lambda_n\longrightarrow\infty $$
を取れる。境界が滑らかなので $e_n\in D(A)$ である。部分積分から $v\in V$ に対して
$$ \int_\Omega\nabla v\cdot\nabla e_n=\lambda_n(v,e_n)_H $$
となる。勾配内積について $e_n/\sqrt{\lambda_n}$ は $V$ の正規直交系である。この系が完全であることも分かる。すべての $n$ について勾配内積が零の $v\in V$ は、上の式からすべての $(v,e_n)_H$ が零であり、$H$ の基底の完全性から $v=0$ だからである。
従って $v\in H$ と $a_n=(v,e_n)_H$ に対して
$$ v\in V\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty\lambda_n|a_n|^2<\infty, \qquad \|v\|_V^2=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n|a_n|^2. $$
逆向きは、右の和が有限なら部分和が完備空間 $V$ で収束し、その $H$ 極限が元の $v$ と一致することによる。射影 $P_Nv=\sum_{n\le N}(v,e_n)_He_n$ は、$H$ と $V$ のどちらでもノルム一以下で、各空間の元へ強収束する。特に $\|v\|_H^2\le\lambda_1^{-1}\|v\|_V^2$ である。
この対称性と正の下限が、時間微分を試験する計算を可能にする。扱っている形式は $a(v,w)=\int_\Omega\nabla v\cdot\nabla w$ であり、$V$ 上で対称かつ coercive である。任意の非対称作用素について同じ固有基底と直交計算を仮定しているのではない。

二階微分の評価

楕円型境界値問題のH²正則性 の主定理「同次境界値問題の大域 $H^2$ 正則性」を使うと、$v\in D(A)$ に対して
$$ \|v\|_{H^2}\le C_\Omega\bigl(\|v\|_H+\|Av\|_H\bigr) $$
となる。実際、$v$ は零 Dirichlet 条件の弱形式で $-\Delta v+v=Av+v$ を満たすから、同定理の右辺に $Av+v$ を代入すればよい。逆に $A\colon H^2\cap V\to H$ は、二階弱微分を足し合わせる写像なので連続である。
$H^2\cap V$ は $H^2$ ノルムで完備である。$H^2$ 収束は $H^1$ 収束を含み、$V$ は $H^1$ で閉じているからである。この完備性と上の楕円評価によって、後で $Au_N$ の収束から $u_N$ の $H^2$ 収束を回収する。境界を平らにする証明自体は、引用した境界正則性の記事に置く。

時空の外力と有限モードの計算

時空の実関数 $f\in L^2(\Omega\times(0,T))$ は、この場合 $L^2(0,T;H)$ と同一視できる。具体的に $f_n(t)=(f(t),e_n)_H$ とすると、Fubini により各係数は可測であり、Parseval と Tonelli により
$$ \sum_n\int_0^T|f_n(t)|^2\,dt =\int_0^T\|f(t)\|_H^2\,dt. $$
有限和 $P_Nf$ は有限次元値の強可測関数で、ほとんどすべての $t$ について $H$ で $f(t)$ へ収束する。このため $f$ も強可測であり、上の Parseval の等式が Bochner 二乗可積分性と時空二乗可積分性の一致を与える。また尾の和は零へ行くので、$P_Nf\to f$ は $L^2(0,T;H)$ の強収束である。ここでは可算基底のある具体的な $H$ を使っており、非可分空間での弱可測性を強可測性へ無条件に置き換えてはいない。
$a_n=(u_0,e_n)_H$ として
$$ c_n(t)=e^{-\lambda_nt}a_n+ \int_0^t e^{-\lambda_n(t-s)}f_n(s)\,ds, \qquad u_N(t)=\sum_{n\le N}c_n(t)e_n $$
と置く。有限時間では $f_n\in L^2$ は $L^1$ でもあるから、積分因子の公式と実数値の微積分の基本定理により、$c_n$ は絶対連続で $c_n'+\lambda_nc_n=f_n$、$c_n(0)=a_n$ となる。$c_n$ は連続なので二乗可積分、従って $c_n'=f_n-\lambda_nc_n\in L^2$ でもある。これは $u_N\in W^{1,2}(0,T;D(A))$ と、有限和の方程式 $u_N'+Au_N=P_Nf$ を与える。

試験したものは $u_N$ 自身ではなく $u_N'$ である。$u_N$ を試験すると $H$ ノルムと一階空間微分の時間積分が得られるのに対して、ここでは時間微分の二乗積分と、各時刻の一階空間エネルギーが得られる。初期値に $V$ ノルムが現れるのは、この計算の境界項が $\|u_0\|_V^2$ だからである。

解の構成と最大正則性

この構成は、空間の二階微分と時間の一階微分を同時に作る。$u(t)\in H^2$ を結論しているのはほとんどすべての時刻についてであり、すべての時刻で $H^2$ に連続と主張してはいない。一方、$V$ に値を取る連続性は閉区間全体についての結論であり、特に初期値の意味が強く指定される。

広い解クラスでの一意性と連続依存

具体例と結論の限界

一つの固有モードへの外力

有限個のモードへ外力を加えれば、各係数に同じ公式を使って足し合わせればよい。無限個の場合には、公式を形式的に書くだけでなく、時間微分と $Au$ が収束することを保証する必要がある。その役割を果たすのが lem-heat-maximal-energy の帯域尾の不等式である。数値的に有限モードで近似するときにも、初期値の $V$ 尾と外力の $L^2$ 尾が、$C_tV$ と時間微分の誤差を同時に抑える。

外力が二乗可積分でも時間微分は連続とは限らない

外力の二乗可積分性を弱めるとどうなるか

初期値の条件と平滑化

初期値を単に $H$ の元に弱めることもできない。外力零の場合、熱方程式 の命題「時間微分が初期時刻まで二乗可積分となる条件」により、$u_t\in L^2(0,T;H)$ は $u_0\in V$ と同値である。同記事の例「滑らかな正時刻解でも初期時刻の積分は発散する」は、$H\setminus V$ の具体的な高周波初期値を与える。その係数計算と反例の証明は同記事に置く。ここでの非斉次構成は、この初期条件に加えて二乗可積分の外力を入れても、同じ時間微分の制御が成立することを示した。
特に $u_0=0$ なら初期値に由来する項はなく、時間微分と $Au$ は $f$ の $L^2$ ノルムだけで抑えられる。この場合が最大正則性という言葉の基本的な形である。非零初期値を許すときには、適切な初期値空間を同時に指定しなければならない。ここではそれが $H^1_0$ であり、単に零境界条件を古典的に書き添えただけの任意の $L^2$ 初期値ではない。

この証明で使った範囲は、実の Dirichlet Laplacian、有界な滑らかな領域、有限時間である。一般の $L^p$ 最大正則性は、$p=2$ の直交展開だけからは出ない。また時間ごとに作用素が変わると、一つの固有基底で全時刻を対角化する今回の計算はそのまま使えない。まず固定した対称作用素でどのエネルギーが外力と対応するかを理解すると、より広い問題で必要になる追加の構造が見えやすくなる。次の節では、係数が場所と時刻によって変わる場合に、同じ結論がどう得られるかを述べる。

変係数への拡張

$a_{ij},b_i,c$（$1\le i,j\le d$）を $\overline\Omega\times[0,T]$ の上の実数値 $C^\infty$ 級関数とし、定数 $\nu>0$ について
$$ \sum_{i,j}a_{ij}(x,t)\,\xi_i\xi_j\ge\nu|\xi|^2\qquad((x,t)\in\overline\Omega\times[0,T],\ \xi\in\mathbb R^d) $$
とする。$a_{ij}$ の対称性は仮定しない。各時刻 $t$ で
$$ P(t)u:=-\sum_{i,j}\partial_j\bigl(a_{ij}(\cdot,t)\,\partial_iu\bigr)+\sum_ib_i(\cdot,t)\,\partial_iu+c(\cdot,t)\,u $$
とおく。$a_{ij}=\delta_{ij}$、$b_i=0$、$c=0$ なら $P(t)=A$ である。

この結論は Bre11 の第 10 章の注 3 の最後（p. 343）に、thm-heat-maximal-l2 の結論が滑らかな係数の一様楕円型の作用素でも成り立つ、という形で述べられている（同書は証明を述べておらず、評価の定数の依存にも触れていない）。この記事ではこの定理を証明せず、評価と定数の依存も含めて証明の筋だけを示す。

thm-heat-maximal-l2 の固有関数による計算と比べると、時間に依存する非対称な主部は一つの基底で対角化できないので、基底は $A$ のものに固定し、時間方向の評価（筋の 3）と空間方向の評価（筋の 4）を別々に得て組み合わせている。たとえば $a_{ij}=(2+\sin t)\delta_{ij}$、$b_i=x_i$、$c=-1$ もこの定理の仮定を満たし、$c$ の符号には条件がない。

関連項目

• 前提: 熱方程式, Sobolev空間, 零境界Sobolev空間, Bochner積分
• 証明の基礎: Laplacianの固有関数, 楕円型境界値問題のH²正則性, Poincaréの不等式, Gelfandの三つ組
• 比較: 放物型偏微分方程式, Hille–吉田の定理