Maschkeの定理

同義語：マシュケの定理Maschke's theorem

概要

前提知識: 群の表現, 群環, 半単純環

線形代数では、部分空間にはいつでも補空間がある。群が作用しているときには、群で保たれる部分空間（部分表現）に、やはり群で保たれる補空間があるとは限らない。Maschke の定理は、有限群 $G$ の体 $k$ 上の表現について、$k$ の標数が $G$ の位数を割らなければ（$k$ で $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ なら）、どの部分表現にも群で保たれる補空間があることを述べる。証明は、ふつうの射影を群で平均するという一行の工夫である。
この定理から、有限次元の表現は既約表現の直和に分かれ、群環 $k[G]$ は半単純環になる。標数 $0$ の体、とくに $\mathbb{C}$ の上では位数の条件はいつも満たされるので、有限群の表現論は既約表現の分類に帰着する。標数が位数を割るとき、また群が無限のときは、結論は一般には成り立たない。

設定と定義

この記事では $k$ を体、$G$ を群とする。$G$ の $k$ 上の表現とは、$k$ ベクトル空間 $V$ と群準同型 $\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)$ の組であり、$\rho(g)v$ を $gv$ と略記する（群の表現）。$V$ は有限次元とは限らない。

部分表現と完全可約性

$V$ を $G$ の $k$ 上の表現とする。

部分空間 $W\subset V$ がすべての $g\in G$ について $gW\subset W$ を満たすとき、$W$ を 部分表現（不変部分空間）という。
部分表現 $W$ について、部分表現 $W'$ で $V=W\oplus W'$ となるものを、$W$ の 不変な補空間という。
$V\neq0$ で、部分表現が $0$ と $V$ だけであるとき、$V$ は既約であるという。
$V$ が有限個の既約な部分表現の直和 $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$（$r=0$ なら $V=0$）に分かれるとき、$V$ は 完全可約であるという。

$G$ が有限群のとき、$G$ の元を基底とする $k$ ベクトル空間に $G$ の積を双線形に延ばした積を入れた環を群環 $k[G]$ という。$\bigl(\sum_ga_gg\bigr)v:=\sum_ga_g\,gv$ により、$G$ の表現は左 $k[G]$ 加群と同じものになり、部分表現は部分加群、表現の射（$G$ の作用と可換な線形写像）は $k[G]$ 加群の準同型にあたる（群環の命題「群環上の加群と群の表現」）。$k[G]$ 自身に左からの積で $G$ を作用させたものを 正則表現という。正則表現の部分表現は $k[G]$ の左イデアルである。
添加写像 $\varepsilon\colon k[G]\to k$、$\varepsilon\bigl(\sum_ga_gg\bigr):=\sum_ga_g$ は環準同型で、$\varepsilon(gx)=\varepsilon(x)$（$g\in G$）を満たす。その核 $I_G:=\ker\varepsilon$ を 添加イデアルという。$I_G$ は正則表現の部分表現で、$\varepsilon$ は全射なので $k[G]/I_G$ は $1$ 次元である。以上の定義は $G$ が無限群でも同じである（$k[G]$ の元は有限個を除いて係数が $0$ の和とする）。

Maschke の定理

$G$ を有限群、$k$ を体とし、$k$ において $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$（$k$ の標数が $\lvert G\rvert$ を割らない）とする。$V$ を $G$ の $k$ 上の表現、$W$ をその部分表現とする。

$p\colon V\to V$ を、像が $W$ に含まれ $W$ の上で恒等写像になる任意の線形写像（$W$ への射影）とする。
$$ p^\natural:=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}g\circ p\circ g^{-1} $$
とおくと、$p^\natural$ は $G$ の作用と可換な $W$ への射影である。
$W':=\ker p^\natural$ は $W$ の不変な補空間である。とくに、すべての部分表現は不変な補空間をもつ。

射影を群で平均する

$n:=\lvert G\rvert$ とおく。$n\cdot1\neq0$ なので $1/n\in k$ であり、$p^\natural$ は線形写像として定まる。
まず $W$ への射影 $p$ が存在することを確かめる。$W$ の基底を $V$ の基底に延長し（基底。$V$ が無限次元のときも基底の延長はできる）、延ばした基底ベクトルが張る部分空間を $C$ とすると $V=W\oplus C$ であり、$C$ に沿った $W$ への射影が $p$ の例である。
射影であること：$x\in V$ と $g\in G$ について $p(g^{-1}x)\in W$ であり、$W$ は部分表現なので $g\,p(g^{-1}x)\in W$ である。よって $p^\natural(V)\subset W$ である。$w\in W$ なら $g^{-1}w\in W$ なので $p(g^{-1}w)=g^{-1}w$、したがって $g\,p(g^{-1}w)=w$ であり、
$$ p^\natural(w)=\frac1n\sum_{g\in G}w=w $$
となる。
$G$ の作用と可換であること：$h\in G$ について、和の添字を $g=hg'$ と置き換えると（$g'$ が $G$ を動くとき $g$ も $G$ を動く）
$$ p^\natural(hx)=\frac1n\sum_{g\in G}g\,p(g^{-1}hx)=\frac1n\sum_{g'\in G}hg'\,p(g'^{-1}x)=h\,p^\natural(x) $$
である。
2：$W'=\ker p^\natural$ は部分表現である。$x\in W'$ なら $p^\natural(hx)=h\,p^\natural(x)=0$ だからである。$x\in V$ を $x=p^\natural(x)+\bigl(x-p^\natural(x)\bigr)$ と書くと、第 1 項は $W$ に入り、$p^\natural(p^\natural(x))=p^\natural(x)$（$p^\natural(x)\in W$ で、$p^\natural$ は $W$ の上で恒等写像）なので第 2 項は $W'$ に入る。$y\in W\cap W'$ なら $y=p^\natural(y)=0$ である。よって $V=W\oplus W'$ である。$\square$

この定理と証明は Ser77 §1.3 Theorem 1（$k=\mathbb{C}$、有限次元。p. 6）と Lan02 Chapter XVIII, §1, Theorem 1.2（pp. 666–667）にある。証明に使ったのは、$k$ で $\lvert G\rvert$ が可逆であることと、$G$ が有限で和がとれることだけである。不変な補空間は一般に一意でない（$G$ が自明に作用するなら、部分空間のすべての補空間が不変な補空間である）。

完全可約性

既約な部分表現の和の部分表現

表現 $V$ が有限個の既約な部分表現の和 $V=V_1+\cdots+V_r$ であるとし、$W$ を部分表現とする。このとき、ある $J\subset\{1,\dots,r\}$ について $V=W\oplus\bigoplus_{j\in J}V_j$ となる。とくに $W$ は不変な補空間をもち、（$W=0$ として）$V$ は完全可約である。

加えられるだけ加える

和 $W+\sum_{j\in J}V_j$ が直和 $W\oplus\bigoplus_{j\in J}V_j$ になる $J$ のうち、要素の個数が最大のものをとり（$J=\emptyset$ は条件を満たす）、その直和を $U$ とする。$U$ は部分表現である。各 $i$ について $V_i\cap U$ は既約な $V_i$ の部分表現なので $0$ か $V_i$ である。$0$ なら $U+V_i=U\oplus V_i$ であり、$i\notin J$（$i\in J$ なら $V_i\subset U$）なので $J\cup\{i\}$ が条件を満たし、最大性に反する。よってすべての $i$ で $V_i\subset U$ であり、$U=V$ である。$\square$

有限次元の表現の完全可約性

$G$ を有限群、$k$ を $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ となる体とする。$G$ の $k$ 上の有限次元の表現はすべて完全可約である。

次元についての帰納法

$\dim V$ についての帰納法で示す。$V=0$ なら空の直和である。$V\neq0$ で $V$ が既約ならそれ自身が直和である。既約でなければ、$0\neq W\neq V$ となる部分表現 $W$ があり、thm-maschke により $V=W\oplus W'$ と不変な補空間で分かれる。$W,W'$ はどちらも $0$ でなく次元が $\dim V$ より小さいので、帰納法の仮定によりそれぞれ既約な部分表現の直和であり、$V$ もそうである。$\square$

これは Ser77 §1.4 Theorem 2（p. 7）にあたる。lem-maschke-complement と合わせると、有限次元の表現 $V$ について「完全可約」と「すべての部分表現が不変な補空間をもつ」は同値である（後者から前者は上の帰納法による。ただし thm-maschke の代わりに、この性質が部分表現に受け継がれることを使う：部分表現 $U\subset W$ について $V=U\oplus U'$ なら $W=U\oplus(U'\cap W)$ であり、$U'\cap W$ は部分表現である）。

群環の形と逆

$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ でないとき、どの部分表現が補空間をもたないかは、添加イデアルで具体的に分かる。次の命題は $G$ が無限群の場合も含む。

添加イデアルの不変な補空間

$G$ を群、$k$ を体とする。正則表現 $k[G]$ の部分表現 $I_G$（添加イデアル）が不変な補空間をもつことと、$G$ が有限群で $k$ において $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ であることは同値である。

固定されるベクトルを調べる

条件が満たされれば、thm-maschke により $I_G$ は不変な補空間をもつ。
逆に、$k[G]=I_G\oplus C$ と不変な補空間 $C$ があるとする。$k[G]/I_G$ は $1$ 次元なので $C$ も $1$ 次元で、$C=kv$、$v\neq0$ と書ける。$v\notin I_G$ なので $\varepsilon(v)\neq0$ である。$C$ は部分表現なので、$g\in G$ ごとに $gv=c_gv$（$c_g\in k$）と書け、$\varepsilon$ を施すと $\varepsilon(v)=\varepsilon(gv)=c_g\varepsilon(v)$ から $c_g=1$ である。よって $gv=v$ がすべての $g$ で成り立つ。$v=\sum_ha_hh$ と書くと $gv=\sum_ha_h\,gh=\sum_{h}a_{g^{-1}h}\,h$ なので、$gv=v$ は $a_{g^{-1}h}=a_h$（すべての $g,h$）、すなわち係数 $a_h$ が $h$ によらない定数 $a$ であることを意味する。
$G$ が無限群なら、$k[G]$ の元は有限個を除いて係数が $0$ なので $a=0$、$v=0$ となり矛盾する。$G$ が有限群なら $v=a\sum_{h\in G}h$ で、$\varepsilon(v)=a\lvert G\rvert\cdot1$ であり、$\varepsilon(v)\neq0$ から $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ である。$\square$

群環が半単純であることの判定

$G$ を有限群、$k$ を体とする。群環 $k[G]$ が半単純環（$k[G]$ が極小左イデアルの和）であることと、$k$ において $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ であることは同値である。

添加イデアルに帰着する

正則表現の部分表現は $k[G]$ の左イデアルであり、既約な部分表現は極小左イデアル（$0$ でなく、$0$ 以外に真の部分左イデアルをもたない左イデアル）である。
$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ なら、$k[G]$ は有限次元なので cor-maschke-complete-reducibility により既約な部分表現の直和、すなわち極小左イデアルの和であり、半単純環である。
$\lvert G\rvert\cdot1=0$ とする。$k[G]$ が極小左イデアルの和なら、$k[G]$ は有限次元なので、そのうち有限個の和ですでに $k[G]$ になる（和に加えて次元が増える回数は $\lvert G\rvert$ 以下）。lem-maschke-complement により $I_G$ は不変な補空間をもつことになり、prop-maschke-augmentation に反する。$\square$

thm-maschke-group-ring は Wis91 5.7（pp. 34–35）にあり、そこでは逆向きを $a=\sum_{g}g$ が生成する両側イデアルの平方が $0$ になることから示している。上の証明はそれとは違い、添加イデアルを使った。半単純環上の加群はすべて単純加群の直和に分かれる（半単純環の定理「加群による特徴づけ」）ので、$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ なら無限次元の表現も既約表現の（無限個でもよい）直和に分かれる。
係数を体から可換環に広げても、平均の議論はそのまま通る。

係数環への一般化

$A$ を可換環、$G$ を有限群とし、$\lvert G\rvert$ が $A$ で可逆であるとする。$M$ を左 $A[G]$ 加群、$N$ をその部分加群とし、$N$ が $A$ 加群として $M$ の直和因子であるとする。このとき $N$ は $A[G]$ 加群として $M$ の直和因子である。

$A$ 加群の直和分解 $M=N\oplus C$ に沿った射影を $p$ とする。thm-maschke の証明は、$p$ が $A$ 線形で $1/\lvert G\rvert\in A$ であることしか使っていないので、同じ式の $p^\natural$ は $A[G]$ 加群の準同型である $N$ への射影であり、$M=N\oplus\ker p^\natural$ となる。$\square$

例

位数 2 の群の入れ替え

$G=\{1,\sigma\}$ を位数 $2$ の群とし、$k^2$ に $\sigma(x,y):=(y,x)$ で作用させる。対角線 $W=k(1,1)$ は部分表現である。$W$ への射影として $p(x,y):=(x,x)$（$y$ 軸に沿った射影）をとると、$\sigma p\sigma^{-1}(x,y)=\sigma p(y,x)=(y,y)$ なので、$2\neq0$ となる体（標数が $2$ でない体）では
$$ p^\natural(x,y)=\frac12\bigl((x,x)+(y,y)\bigr)=\Bigl(\frac{x+y}2,\frac{x+y}2\Bigr) $$
である。$p$ の核（$y$ 軸）は不変でないが、$p^\natural$ の核 $k(1,-1)$ は不変であり（$\sigma(1,-1)=-(1,-1)$）、$k^2=k(1,1)\oplus k(1,-1)$ は自明な表現と符号の表現への分解である。標数が $2$ の体では $(1,-1)=(1,1)$ となり、この分解は成り立たない（ex-maschke-char2）。

不変なベクトルへの射影

$G$ を有限群、$k$ を $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ となる体とし、$e:=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}g\in k[G]$ とおく。$he=eh=e$（$h\in G$）なので $e^2=e$ であり、$e$ は $k[G]$ の中心にある。$G$ の表現 $V$ について、$V^G:=\{v\in V\mid gv=v\ (g\in G)\}$ とおくと
$$ V=V^G\oplus(1-e)V,\qquad V^G=eV $$
である。実際、$v\in V^G$ なら $ev=v$、逆に $g(ev)=(ge)v=ev$ なので $eV\subset V^G$ であり、冪等元 $e$ による分解 $V=eV\oplus(1-e)V$ が得られる。$e$ は射影なので、$V$ が有限次元で $k$ の標数が $0$ なら
$$ \dim V^G=\operatorname{tr}(e|_V)=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}\operatorname{tr}(g|_V) $$
である（射影の跡は像の次元を $k$ の元とみたものに等しく、標数 $0$ では整数の等式として読める）。これは thm-maschke を $W=V^G$ と射影 $p=e|_V$ に当てた場合にあたる（$p$ はもともと $G$ と可換で、$p^\natural=p$）。

置換表現

対称群 $S_n$（$n\ge2$）を $k^n$ に座標の置換で作用させる。$L:=k(1,\dots,1)$ と $H:=\{x\mid x_1+\cdots+x_n=0\}$ はどちらも部分表現である。$n\cdot1\neq0$ なら $k^n=L\oplus H$ である（$x=\frac{s}{n}(1,\dots,1)+\bigl(x-\frac sn(1,\dots,1)\bigr)$、$s:=\sum x_i$。$(1,\dots,1)\in H$ は $n\cdot1=0$ と同値）。たとえば $n=3$、標数 $2$ の体では、$\lvert S_3\rvert=6$ が $0$ になるので thm-maschke は使えないが、$3\cdot1\neq0$ なのでこの分解は成り立つ。Maschke の定理の条件は、すべての表現について補空間があるための条件であり、個々の表現がうまく分かれるかどうかはそれより弱い条件で決まりうる。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
群が有限（体と標数の条件は保つ）	$\mathbb{Z}$ の $\mathbb{C}$ 上の正則表現	添加イデアルの不変な補空間
$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$（有限群・体は保つ）	位数 $2$ の群の $\mathbb{F}_2^2$ 上の入れ替え	対角線の不変な補空間
係数が体（有限群と $\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ は保つ）	位数 $2$ の群の $\mathbb{Z}^2$ 上の入れ替え	対角線の不変な補部分加群

反例：無限群

$G=\mathbb{Z}$（加法群）、$k=\mathbb{C}$ とする。prop-maschke-augmentation により、正則表現 $\mathbb{C}[\mathbb{Z}]$（$\mathbb{C}[\mathbb{Z}]$ は Laurent 多項式環 $\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ と同じもの）の添加イデアルは不変な補空間をもたない。固定されるベクトルが $0$ しかないことが理由である。この例は「標数 $0$ の体」を満たすが「有限群」を満たさず、thm-maschke の 2 の結論を破る。有限次元の表現でも同じことが起こる：$n\in\mathbb{Z}$ を $\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ に送る $\mathbb{C}^2$ 上の表現では、不変な直線は $\mathbb{C}e_1$ だけであり、$\mathbb{C}e_1$ は不変な補空間をもたない（群の表現の例「反例：無限群の場合」）。

反例：標数が位数を割る体

$k=\mathbb{F}_2$、$G=\{1,\sigma\}$ を ex-maschke-swap と同じく $\mathbb{F}_2^2$ に入れ替えで作用させる（これは正則表現 $\mathbb{F}_2[G]$ と同じもので、対角線は添加イデアルにあたる）。$\mathbb{F}_2^2$ の $1$ 次元部分空間は $\mathbb{F}_2(1,0)$、$\mathbb{F}_2(0,1)$、$\mathbb{F}_2(1,1)$ の 3 つで、$\sigma$ は前の 2 つを入れ替えるので、部分表現になるのは $\mathbb{F}_2(1,1)$ だけである。よって対角線 $W=\mathbb{F}_2(1,1)$ は不変な補空間をもたず、この表現は完全可約でない。この例は「有限群」「体」を満たすが「$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$」を満たさず（$2=0$）、thm-maschke と cor-maschke-complete-reducibility の結論を破る。

反例：係数が体でない場合

$G=\{1,\sigma\}$ を $\mathbb{Z}^2$ に入れ替えで作用させ、$\mathbb{Z}[G]$ 加群とみる。$W=\mathbb{Z}(1,1)$ は部分加群で、$\mathbb{Z}^2=W\oplus\mathbb{Z}(1,0)$ なので $\mathbb{Z}$ 加群としては直和因子である。しかし $W$ は $\mathbb{Z}[G]$ 加群としての補部分加群をもたない。

確かめを開く

補部分加群 $C$ があれば $C\cong\mathbb{Z}^2/W\cong\mathbb{Z}$ なので $C=\mathbb{Z}v$ と書け、$\sigma v=cv$（$c\in\mathbb{Z}$）で $\sigma^2=1$ から $c=\pm1$ である。$c=1$ なら $v\in\mathbb{Z}(1,1)=W$、$c=-1$ なら $v=(a,-a)$ の形である。前者は $W\cap C=0$ に反する。後者では $(1,0)=s(1,1)+t(a,-a)$ から $s+ta=1$、$s-ta=0$ で $2s=1$ となり、整数解がないので $W+C\neq\mathbb{Z}^2$ である。

この例は「有限群」と「$\lvert G\rvert\cdot1=2\neq0$（$\mathbb{Z}$ の中で）」を満たすが「係数が体」を満たさない。係数環 $\mathbb{Z}$ で $2$ が可逆でないので、prop-maschke-ring も使えない。

補足

構造定理との組み合わせ． thm-maschke-group-ring により、$\lvert G\rvert\cdot1\neq0$ なら $k[G]$ は斜体上の行列環の有限直積に分かれる（Wedderburn–Artinの定理）。$k=\mathbb{C}$ では $\mathbb{C}[G]\cong M_{n_1}(\mathbb{C})\times\cdots\times M_{n_r}(\mathbb{C})$ で、$n_i$ は既約表現の次元、$\lvert G\rvert=n_1^2+\cdots+n_r^2$ である（群環の定理「複素群環の Wedderburn 分解」）。
平均の一般化． 和 $\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_g$ を Haar 測度による積分に替えると、コンパクト群の有限次元表現の完全可約性が得られる（コンパクト群の定理「ユニタリ化と完全可約性」）。半単純 Lie 環の有限次元表現の完全可約性（Weylの完全可約性定理）も同じ型の主張である。標数が $\lvert G\rvert$ を割る場合の表現はモジュラー表現論で扱う。