確率母関数

1：$G_X$ は収束半径が $1$ 以上の冪級数の和なので、冪級数 の系「何回でも微分できることと係数の公式」により $(-1,1)$ の上で何回でも微分でき、係数は $G_X^{(k)}(0)/k!$ である。
2：$G_X-G_Y$ は係数が $P(X=k)-P(Y=k)$ で収束半径が $1$ 以上の冪級数の和であり、点列 $(s_j)$ の上で $0$ になる。冪級数 の命題「中心に近づく点列の上で0になる冪級数」により係数はすべて $0$ なので、すべての $k$ で $P(X=k)=P(Y=k)$ である。後半は $s_j:=\varepsilon/(j+1)$ ととればよい。$\blacksquare$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ は明らかである。$n\ge2$ とし、$S':=X_1+\cdots+X_{n-1}$ とおく。
事象 $\{S'=m\}$ は、$k_1+\cdots+k_{n-1}=m$ を満たす有限個の組についての互いに交わらない事象 $\{X_1=k_1,\dots,X_{n-1}=k_{n-1}\}$ の和集合なので、独立性から
$$ P(S'=m,\,X_n=k)=\sum_{k_1+\cdots+k_{n-1}=m}\prod_{i< n}P(X_i=k_i)\cdot P(X_n=k)=P(S'=m)\,P(X_n=k) $$
である。帰納法の仮定から $G_{S'}=G_{X_1}\cdots G_{X_{n-1}}$ である。
次に、$a_m:=P(S'=m)$、$b_k:=P(X_n=k)$ とおく。$\{S=j\}$ は互いに交わらない事象 $\{S'=m,\,X_n=j-m\}$（$0\le m\le j$）の和集合なので
$$ P(S=j)=\sum_{m=0}^ja_m\,b_{j-m} $$
である。$\lvert s\rvert< 1$ では、収束半径が $1$ 以上の冪級数の積の公式（冪級数 の命題「冪級数の和・定数倍・積」）により
$$ G_S(s)=\sum_{j=0}^\infty\Bigl(\sum_{m=0}^ja_mb_{j-m}\Bigr)s^j=\Bigl(\sum_ma_ms^m\Bigr)\Bigl(\sum_kb_ks^k\Bigr)=G_{S'}(s)\,G_{X_n}(s) $$
となる。両辺は $[-1,1]$ の上で連続なので（定義の後の段落）、$s\to\pm1$ の極限をとれば $s=\pm1$ でも等しい。よって $G_S=G_{X_1}\cdots G_{X_n}$ を得る。$\blacksquare$

$p_n:=P(X=n)$、$c_n:=n(n-1)\cdots(n-k+1)p_n\ge0$ とおく。
1：式は 冪級数 の系「何回でも微分できることと係数の公式」である。各項 $c_ns^{n-k}$ は $s\in[0,1)$ について単調非減少なので、和も単調非減少である。
2：$L:=\sum_nc_n\in[0,\infty]$ とおく。$0\le s< 1$ では $G_X^{(k)}(s)\le L$ であり、どの $N$ についても $G_X^{(k)}(s)\ge\sum_{n\le N}c_ns^{n-k}\to\sum_{n\le N}c_n$（$s\uparrow1$）なので、左極限（1 により存在する）は $L$ に等しい。一方 $f(x):=x(x-1)\cdots(x-k+1)$ について、$f(X)=\sum_nf(n)\mathbf 1_{\{X=n\}}$ の部分和は $0$ 以上で単調に増えるので、Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」により $E[f(X)]=\sum_nf(n)p_n=L$ である。
分散の式は、$E[X^2]=E[X(X-1)]+E[X]$ と $V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ に 2 を代入したものである。$\blacksquare$

$S_n:=X_1+\cdots+X_n$（$S_0:=0$）とおく。thm-pgf-sum により $G_{S_n}=G^n$ である。
1：$\{S=m\}$ は互いに交わらない事象 $\{N=n,\,S_n=m\}$（$n\ge0$）の和集合である。事象 $\{S_n=m\}$ は $X_1,\dots,X_n$ の値を指定する事象の有限個の互いに交わらない和なので、prf-pgf-sum の前半と同じ計算で $P(N=n,\,S_n=m)=P(N=n)P(S_n=m)$ である。よって
$$ G_S(s)=\sum_{m\ge0}\sum_{n\ge0}P(N=n)P(S_n=m)s^m=\sum_{n\ge0}P(N=n)\sum_{m\ge0}P(S_n=m)s^m=\sum_{n\ge0}P(N=n)\,G(s)^n $$
である。2 番目の等号で和の順序を交換したが、絶対値の二重和は $\sum_n\sum_mP(N=n)P(S_n=m)=1$ 以下で有限なので、数え上げ測度についての Fubiniの定理 の定理「Fubiniの定理」により交換してよい。右辺は $G_N(G(s))$ である（$\lvert G(s)\rvert\le1$）。
2：要点は、1 を合成関数の微分で $G_S'(s)=G_N'(G(s))\,G'(s)$（$0\le s< 1$）とし、$s\uparrow1$ として thm-pgf-moments を使うことである。

$p_n(k):=P(X_n=k)$、$p(k):=P(X=k)$ とおく。$0\le s< 1$ では、$[0,1]$ に値をとる数列 $(a_k)$ について $(*)$：$0\le\sum_{k\ge K}a_ks^k\le\frac{s^K}{1-s}$ が成り立つ。
1 ⇒ 2：$s\in[0,1)$ と $\varepsilon>0$ をとり、$\frac{s^K}{1-s}< \varepsilon$ となる $K$ を選ぶ。$(*)$ により
$$ \lvert G_{X_n}(s)-G_X(s)\rvert\le\sum_{k< K}\lvert p_n(k)-p(k)\rvert+2\varepsilon $$
であり、右辺の有限和は 1 により $n\to\infty$ で $0$ に近づく。$\varepsilon$ は任意なので 2 が成り立つ。
2 ⇒ 1：1 が成り立たないと仮定する。ある $k_0$ と $\delta>0$ と部分列 $(n_j)$ で、すべての $j$ について $\lvert p_{n_j}(k_0)-p(k_0)\rvert\ge\delta$ となるものがある。各 $k$ について $(p_{n_j}(k))_j$ は $[0,1]$ の数列なので、Bolzano–Weierstrassの定理 の定理「Bolzano–Weierstrass の定理」で収束する部分列がとれる。$k=0$ で収束する部分列をとり、その中から $k=1$ で収束する部分列をとり、… と続け、$i$ 番目の部分列の $i$ 番目の項を並べる（対角線の議論）と、部分列 $(m_i)$ と $q(k)\in[0,1]$ で、すべての $k$ について $p_{m_i}(k)\to q(k)$（$i\to\infty$）となるものが得られる。$Q(s):=\sum_kq(k)s^k$ は $0\le s< 1$ で収束し、1 ⇒ 2 と同じ議論（$(*)$ を $p_{m_i}$ と $q$ に使う）で $G_{X_{m_i}}(s)\to Q(s)$ である。2 により $Q(s)=G_X(s)$（$0\le s< 1$）である。$Q-G_X$ は係数 $q(k)-p(k)$ で収束半径が $1$ 以上の冪級数の和で、点列 $s_j=\frac1{j+1}$ の上で $0$ なので、冪級数 の命題「中心に近づく点列の上で0になる冪級数」によりすべての $k$ で $q(k)=p(k)$ である。とくに $p_{m_i}(k_0)\to p(k_0)$ だが、これは $(m_i)$ が $(n_j)$ の部分列であることと $\lvert p_{n_j}(k_0)-p(k_0)\rvert\ge\delta$ に反する。$\blacksquare$

事象 $\{Z_n=z\}$ は $\xi_{m,i}$（$m\le n$）の有限個の値を指定する事象の可算個の互いに交わらない和なので、prf-pgf-sum の前半と同じ計算で、$Z_n,\xi_{n+1,1},\xi_{n+1,2},\dots$ のどの有限個も互いに独立である。thm-pgf-compound を $N=Z_n$、$X_i=\xi_{n+1,i}$ に使うと $G_{Z_{n+1}}=G_{Z_n}\circ G$ と $E[Z_{n+1}]=E[Z_n]\mu$ を得る。$G_{Z_0}(s)=s$、$E[Z_0]=1$ から、帰納法で主張が従う。$\blacksquare$

1：$q_n:=P(Z_n=0)=G_{Z_n}(0)$ とおく。$\{Z_n=0\}\subset\{Z_{n+1}=0\}$ で、絶滅の事象はその和集合なので、確率の連続性（確率空間 の命題「確率の連続性」）により $q_n\uparrow q$ である。thm-pgf-gw-iterate により $q_{n+1}=G(q_n)$ で、$G$ は $[0,1]$ の上で連続なので、極限をとって $q=G(q)$ である。$r\in[0,1]$ を $G(r)=r$ の任意の解とする。$G$ は係数が $0$ 以上なので $[0,1]$ の上で単調非減少であり、$q_0=0\le r$ から帰納法で $q_n=G(q_{n-1})\le G(r)=r$ である。よって $q\le r$ で、$q$ は最小の解である。
2：$h(s):=G(s)-s$ とおくと $h(1)=0$ である。
(a) $p_0+p_1=1$ の場合。$p_1< 1$ なので $p_0>0$ で、$h(s)=p_0(1-s)$ の $[0,1]$ での零点は $1$ だけだから $q=1$ である。$\mu=p_1< 1$ なので主張は成り立つ。
(b) $p_0+p_1< 1$ の場合。ある $k\ge2$ で $p_k>0$ なので、$0< s< 1$ で $G''(s)\ge k(k-1)p_ks^{k-2}>0$ であり、$G'$ は $[0,1)$ の上で狭義単調増加である。thm-pgf-moments により $G'(1-)=\mu$ である。
$\mu\le1$ なら、$0\le s< 1$ で $h'(s)=G'(s)-1< G'(1-)-1\le0$ なので、$h$ は $[0,1]$ の上で狭義単調減少（端点 $1$ では連続性による）であり、零点は $s=1$ だけである。よって $q=1$ である。
$\mu>1$（$\mu=\infty$ を含む）なら、$G'(s_0)>1$ となる $s_0\in[0,1)$ がある。$[s_0,1)$ で $h'>0$ なので、平均値の定理 により $h(s_0)< h(1)=0$ である。$h(0)=p_0\ge0$ なので、中間値の定理 により $[0,s_0)$ に $h$ の零点がある。1 により $q\le s_0< 1$ である。$\blacksquare$