標数

1 は 環準同型 の記事の命題「整数環からの環準同型」の 1 で証明されているので、ここでは繰り返さない（$\iota_A$ が環準同型であることと、環準同型 $f\colon\mathbb{Z}\to A$ が $f(1)=1_A$ と加法の保存から $f(k)=k\cdot 1_A$ に決まることによる）。
3 のために、任意の整数 $k$ と $a,b\in A$ について $(k\cdot a)b=k\cdot(ab)=a(k\cdot b)$ が成り立つことを示す。$k\geq 0$ のときは $k$ についての帰納法による。$k=0$ なら両辺とも $0$ である（$0\cdot b=0$ は分配法則 $0\cdot b=(0+0)\cdot b=0\cdot b+0\cdot b$ から従う）。$k$ で成り立てば、分配法則により $((k+1)\cdot a)b=(k\cdot a+a)b=(k\cdot a)b+ab=k\cdot(ab)+ab=(k+1)\cdot(ab)$ である。$k<0$ のときは、$(-x)b=-(xb)$（これは $xb+(-x)b=(x+(-x))b=0$ から従う）を使って $(k\cdot a)b=(-((-k)\cdot a))b=-(((-k)\cdot a)b)=-((-k)\cdot(ab))=k\cdot(ab)$ となる。$a(k\cdot b)=k\cdot(ab)$ も同様である。
2. 核 $\ker\iota_A=\{k\in\mathbb{Z}\mid k\cdot 1_A=0\}$ は加法群 $\mathbb{Z}$ の部分群である。$\mathbb{Z}$ の部分群はある $m\geq 0$ によって $m\mathbb{Z}$ の形に書け、$m\neq 0$ なら $m$ はその部分群に属する最小の正の整数である（巡回群 の記事の命題「巡回群の部分群は巡回群」の証明）。$\ker\iota_A$ が正の整数を含むとき、その最小の正の整数は定義により $\operatorname{char}A=n$ だから $\ker\iota_A=n\mathbb{Z}$ である。$\ker\iota_A$ が正の整数を含まないときは、$k\in\ker\iota_A$ なら $-k\in\ker\iota_A$ でもあるから $\ker\iota_A=\{0\}=0\mathbb{Z}$ であり、このとき定義により $n=0$ である。
3. $k\cdot 1_A=0$ ならば、最初に示した等式により任意の $a\in A$ について $k\cdot a=k\cdot(1_A a)=(k\cdot 1_A)a=0\cdot a=0$ である。逆はすべての $a$ についての主張を $a=1_A$ に適用すればよい。最後の主張は $k=n$ の場合である。

$n:=\operatorname{char}A>0$ とする。整域では $1\neq 0$ だから $n\neq 1$、すなわち $n\geq 2$ である。$n$ が素数でないと仮定すると、$n=rs$ かつ $1< r,s< n$ となる整数 $r,s$ がとれる。prop-characteristic-ring-kernel の 1 により $\iota_A$ は乗法を保つので
$$ (r\cdot 1)(s\cdot 1)=\iota_A(r)\iota_A(s)=\iota_A(rs)=n\cdot 1=0 $$
である。$A$ は整域なので $r\cdot 1=0$ または $s\cdot 1=0$ であるが、$0< r,s< n$ だからこれは $n$ の最小性に反する。ゆえに $n$ は素数である。体は整域だから最後の主張も従う。

$|A|=N$ とおく。$N+1$ 個の元 $0\cdot 1,\ 1\cdot 1,\ 2\cdot 1,\ \ldots,\ N\cdot 1$ はすべて $A$ に属するので、鳩の巣原理によりある $0\leq i< j\leq N$ について $i\cdot 1=j\cdot 1$、すなわち $(j-i)\cdot 1=0$ となる。$0< j-i\leq N$ だから、定義の条件を満たす正の整数が存在し、その最小値である $\operatorname{char}A$ は $1$ 以上 $N$ 以下である。$A$ が有限整域なら thm-characteristic-ring-domain により標数は素数である。最後の主張は最初の主張の言い換えである。

prop-characteristic-ring-kernel の 2 により、整数 $k,k'$ について $k\cdot 1=k'\cdot 1$ であることと $(k-k')\cdot 1=0$、すなわち $n\mid k-k'$、すなわち $[k]=[k']$ とは同値である。左向きの含意が $\bar\iota_A$ の well-defined 性、右向きの含意が単射性を与える。$\bar\iota_A$ が環準同型であることは、$\iota_A$ が環準同型であること（同命題の 1）と $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が全射環準同型であることから従う：$\bar\iota_A([k]+[l])=\bar\iota_A([k+l])=(k+l)\cdot 1=\bar\iota_A([k])+\bar\iota_A([l])$、乗法と単位元も同様である。像は $\iota_A$ の像に等しく、これは定義により素部分環である。単射環準同型はその像への同型を与えるので、素部分環は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型である。

1. thm-characteristic-ring-domain により $p$ は素数である。prop-characteristic-ring-prime-subring により素部分環 $P:=\{k\cdot 1\mid k\in\mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型であり、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体である（有限体 の記事の例「素数を法とする剰余体」）。ゆえに $P$ は $K$ の部分体である。一方、$K$ の任意の部分体 $L$ は $1$ を含み加法と減法について閉じているので $P\subset L$ である。よって $P$ はすべての部分体の共通部分に含まれ、かつそれ自身が部分体だから、$P$ は $K$ の素体である。
2. $\operatorname{char}K=0$ なので $\iota_K\colon\mathbb{Z}\to K$ は単射であり（prop-characteristic-ring-prime-subring）、$b\neq 0$ なら $b\cdot 1\neq 0$ だから $(b\cdot 1)^{-1}$ が $K$ に存在する。well-defined 性：$a/b=a'/b'$ すなわち $ab'=a'b$ とすると、$\iota_K$ が環準同型であることから $(a\cdot 1)(b'\cdot 1)=(a'\cdot 1)(b\cdot 1)$ であり、両辺に $(b\cdot 1)^{-1}(b'\cdot 1)^{-1}$ を掛けて（$K$ は可換）$(a\cdot 1)(b\cdot 1)^{-1}=(a'\cdot 1)(b'\cdot 1)^{-1}$ を得る。環準同型であること：$\iota_K$ が環準同型であることと $K$ の可換性から
   $$ j_K\Bigl(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\Bigr)=j_K\Bigl(\frac{ad+bc}{bd}\Bigr)=\bigl((ad+bc)\cdot 1\bigr)\bigl((bd)\cdot 1\bigr)^{-1}=(a\cdot 1)(b\cdot 1)^{-1}+(c\cdot 1)(d\cdot 1)^{-1} $$
   （最後の等号は右辺を通分して確かめる）、$j_K\bigl(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\bigr)=\bigl((ac)\cdot 1\bigr)\bigl((bd)\cdot 1\bigr)^{-1}=j_K\bigl(\frac{a}{b}\bigr)j_K\bigl(\frac{c}{d}\bigr)$、$j_K(1)=1$ である。単射性：$j_K(a/b)=0$ なら $a\cdot 1=0$、よって $\iota_K$ の単射性から $a=0$ である。ゆえに $j_K$ は単射で、像 $j_K(\mathbb{Q})$ は $\mathbb{Q}$ と同型な部分環であり、体なので $K$ の部分体である。最小性：$K$ の任意の部分体 $L$ は $1$ を含むので $\iota_K(\mathbb{Z})\subset L$ であり、$0$ でない元の逆元と積について閉じているので $(a\cdot 1)(b\cdot 1)^{-1}\in L$、すなわち $j_K(\mathbb{Q})\subset L$ である。よって $j_K(\mathbb{Q})$ は $K$ の素体である。
   最後の主張は 1 と 2 および thm-characteristic-ring-domain から従う。

1. $B$ の単位元は $A$ の単位元と同じなので、$k\cdot 1_B=k\cdot 1_A$ であり、これが $0$ になる正の整数 $k$ の集合は両者で一致する。
2. $f$ は環準同型だから $f\circ\iota_A\colon\mathbb{Z}\to B$ は環準同型であり、prop-characteristic-ring-kernel の 1 の一意性により $f\circ\iota_A=\iota_B$ である。よって $k\in\ker\iota_A$ ならば $\iota_B(k)=f(\iota_A(k))=f(0)=0$、すなわち $\ker\iota_A\subset\ker\iota_B$ である。同命題の 2 により $\operatorname{char}A\cdot\mathbb{Z}\subset\operatorname{char}B\cdot\mathbb{Z}$、すなわち $\operatorname{char}B\mid\operatorname{char}A$ である。$f$ が単射なら $\iota_B(k)=0$ から $f(\iota_A(k))=0=f(0)$、よって $\iota_A(k)=0$ となり $\ker\iota_A=\ker\iota_B$、したがって標数は等しい。
3. $A\times B$ の単位元は $(1_A,1_B)$ であり、$k\cdot(1_A,1_B)=(k\cdot 1_A,k\cdot 1_B)$ である。これが $0$ になることは $k\cdot 1_A=0$ かつ $k\cdot 1_B=0$、すなわち $\operatorname{char}A\mid k$ かつ $\operatorname{char}B\mid k$ と同値である。$\operatorname{char}A,\operatorname{char}B$ がともに正なら、そのような正の整数 $k$ の最小値は最小公倍数である。一方が $0$ なら $\operatorname{char}A\mid k$（$k=0$ の意味）を満たす正の $k$ は存在せず、標数は $0$ である。
4. $A$ は定数多項式として $A[x]$ の部分環であり、$1_{A[x]}=1_A$ なので 1 により $\operatorname{char}A[x]=\operatorname{char}A$ である。$M_n(A)$ については、$A$ をスカラー行列 $a\mapsto aI_n$ によって $M_n(A)$ の部分環とみなせ（$I_n$ は単位行列）、$1_{M_n(A)}=I_n$ なので同じく 1 による。

乗法と単位元：$A$ は可換なので $(ab)^p=a^pb^p$ であり、$1^p=1$ である。
加法：$A$ は可換なので二項定理が使え、
$$ (a+b)^p=\sum_{i=0}^{p}\binom{p}{i}\cdot\bigl(a^ib^{p-i}\bigr)=a^p+b^p+\sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}\cdot\bigl(a^ib^{p-i}\bigr) $$
となる（$\binom{p}{i}\cdot x$ は整数倍）。$0< i< p$ のとき二項係数 $\binom{p}{i}$ は $p$ で割り切れる。実際、整数の等式 $\binom{p}{i}\,i!\,(p-i)!=p!$ の右辺は $p$ で割り切れるが、$i!\,(p-i)!$ は $p$ より小さい正の整数の積であり、$p$ は素数なので $p$ で割り切れない。よって $p\mid\binom{p}{i}$ である。$\binom{p}{i}=pm_i$（$m_i\in\mathbb{Z}$）と書くと、$\operatorname{char}A=p$ と prop-characteristic-ring-kernel の 3 により
$$ \binom{p}{i}\cdot\bigl(a^ib^{p-i}\bigr)=m_i\cdot\bigl(p\cdot(a^ib^{p-i})\bigr)=m_i\cdot 0=0 $$
である。ゆえに $(a+b)^p=a^p+b^p$ であり、$F_A$ は環準同型である。
$F_A^r$ が環準同型であることは環準同型の合成が環準同型であることから従い、$(a+b)^q=a^q+b^q$ はその加法性そのものである。$(a-b)^q=a^q-b^q$ は $a^q=((a-b)+b)^q=(a-b)^q+b^q$ を移項して得られる。出典は DF04 §13.5、Lan02 Chapter V である。

$b,c\in K$ が $b^q=c^q=a$ を満たすとする。prop-characteristic-ring-frobenius により $(b-c)^q=b^q-c^q=a-a=0$ である。$K$ は体だから零因子をもたず、$(b-c)^q=0$ から $b-c=0$、すなわち $b=c$ が従う（$x^q=0$ かつ $x\neq 0$ なら $x^{q-1}=x^{-1}x^q=0$ となり、$q$ についての帰納法で $x=0$ に至る）。