Kleinの2次曲面

同義語：Kleinの二次曲面Klein quadric

概要

前提知識: Plücker埋め込み, 外積代数, 射影空間

Klein の 2 次曲面（Klein quadric）とは、4 次元ベクトル空間 $V$ の 2 次の外冪 $\bigwedge^2V$ の射影化 $\mathbb P^5$ の中で、2 次式
$$ Q(\omega)=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23} $$
の零点として定まる非特異な 2 次超曲面である。Plücker埋め込みは 3 次元射影空間 $\mathbb P^3=\mathbb P(V)$ の直線の全体 $\operatorname{Gr}(2,V)$ をこの 2 次超曲面の上へ一対一に写す（Klein 対応）。こうして $\mathbb P^3$ の直線の幾何は、$\mathbb P^5$ の 1 つの 2 次超曲面の幾何に翻訳される。2 直線が交わることは 2 点が 2 次形式の極形式について直交することに、1 点を通る直線の全体と 1 平面に含まれる直線の全体は 2 次超曲面に含まれる 2 種類の平面に対応する。
この記事では、任意の体の上でこの一対一対応（thm-klein-correspondence）、交わりの条件（thm-klein-incidence）、2 次超曲面に含まれる平面と直線の分類（thm-klein-planes）を証明する。この対応は Klein が 1868 年の学位論文で複素数体の上で調べたものである（Tay92 p. 179）。

定義

$K$ を体、$V$ を $K$ 上の 4 次元ベクトル空間、$e_1,\dots,e_4$ をその基底とし、$e_{ij}:=e_i\wedge e_j$、$e_{1234}:=e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4$ と書く。$\omega\in\bigwedge^2V$ を $\omega=\sum_{i< j}p_{ij}\,e_{ij}$ と書き、係数 $p_{ij}$ をその Plücker 座標とする。添字の順序を入れ替えた $p_{ji}:=-p_{ij}$ も使う。

Klein の 2 次曲面

$\omega=\sum_{i< j}p_{ij}e_{ij}\in\bigwedge^2V$ について
$$ Q(\omega):=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23} $$
とおく。$\mathbb P(\bigwedge^2V)\cong\mathbb P^5$ の 2 次超曲面 $\mathcal Q:=\{[\omega]\mid Q(\omega)=0\}$ を Klein の 2 次曲面 という。

$\omega,\omega'\in\bigwedge^2V$ について、$\omega\wedge\omega'\in\bigwedge^4V=K\,e_{1234}$ なので、$\omega\wedge\omega'=B(\omega,\omega')\,e_{1234}$ によって $B(\omega,\omega')\in K$ が定まる。$e_{12}\wedge e_{34}=e_{34}\wedge e_{12}=e_{1234}$、$e_{13}\wedge e_{24}=e_{24}\wedge e_{13}=-e_{1234}$、$e_{14}\wedge e_{23}=e_{23}\wedge e_{14}=e_{1234}$ で、ほかの $e_{ij}\wedge e_{kl}$ は $0$ だから
$$ B(\omega,\omega')=p_{12}p'_{34}+p_{34}p'_{12}-p_{13}p'_{24}-p_{24}p'_{13}+p_{14}p'_{23}+p_{23}p'_{14} $$
である。$B$ は対称双線形形式で、$Q(\omega+\omega')=Q(\omega)+Q(\omega')+B(\omega,\omega')$、$B(\omega,\omega)=2Q(\omega)$ を満たす。すなわち $B$ は $Q$ の極形式であり、標数が $2$ でなければ
$$ \omega\wedge\omega=2Q(\omega)\,e_{1234} $$
である。$Q$ は 3 つの積 $p_{12}p_{34}$、$p_{13}p_{24}$、$p_{14}p_{23}$ の和であり、6 つの偏導関数 $\partial Q/\partial p_{12}=p_{34}$、$\partial Q/\partial p_{13}=-p_{24}$ などが同時に $0$ になるのは $\omega=0$ のときだけである。とくに、標数によらず $\mathcal Q$ は非特異であり、$B$ は非退化である。$(e_{12},e_{34})$、$(e_{13},-e_{24})$、$(e_{14},e_{23})$ は $B$ について互いに直交する 3 つの双曲的な対である（Tay92 (12.13) の直後）。

Klein 対応

次の計算で、$Q$ の 3 つの項が 4 つの添字について交代的に振る舞うことを確かめておく。添字の列 $(i,j,l,m)$ について
$$ R(i,j,l,m):=p_{ij}p_{lm}-p_{il}p_{jm}+p_{im}p_{jl} $$
とおくと $R(1,2,3,4)=Q(\omega)$ である。$j$ と $l$、$l$ と $m$、$i$ と $j$ を入れ替えると、$p_{ji}=-p_{ij}$ を使って $R$ はそれぞれ $-R$ になる。隣り合う互換は 4 次の対称群を生成するので、$(i,j,l,m)$ が $(1,2,3,4)$ の置換 $\sigma$ による並べ替えなら $R(i,j,l,m)=\operatorname{sgn}(\sigma)\,Q(\omega)$ である。

Klein 対応

$K$ を任意の体とする。$0$ でない $\omega\in\bigwedge^2V$ が分解可能であるための必要十分条件は $Q(\omega)=0$ である。したがって、直線 $\mathbb P(W)\subset\mathbb P(V)$ に $[w_1\wedge w_2]$（$w_1,w_2$ は $W$ の基底）を対応させる写像は、$\mathbb P^3=\mathbb P(V)$ の直線の全体から $\mathcal Q$ への全単射である。

必要性：$\omega=u\wedge v$ なら、Plücker埋め込みの定理「Plücker の関係式」の必要性を $k=2$、$n=4$ で使ったもの（同記事の例「小さい場合」の 3）により $Q(\omega)=0$ である。
十分性：$Q(\omega)=0$ とし、$p_{ab}\ne0$ となる $a< b$ をとり、$\{c,d\}:=\{1,2,3,4\}\setminus\{a,b\}$ とする。$\omega$ を定数倍して $p_{ab}=1$ としてよい。上の計算から $R(a,b,c,d)=\pm Q(\omega)=0$、すなわち $p_{cd}=p_{ac}p_{bd}-p_{ad}p_{bc}$ である。
$$ u:=e_a-p_{bc}\,e_c-p_{bd}\,e_d,\qquad v:=e_b+p_{ac}\,e_c+p_{ad}\,e_d $$
とおいて展開すると、$e_c\wedge e_b=-e_b\wedge e_c$ などを使って
$$ u\wedge v=e_a\wedge e_b+p_{ac}\,e_a\wedge e_c+p_{ad}\,e_a\wedge e_d+p_{bc}\,e_b\wedge e_c+p_{bd}\,e_b\wedge e_d+(p_{ac}p_{bd}-p_{ad}p_{bc})\,e_c\wedge e_d $$
である。$\omega$ も $\{a,b\},\{a,c\},\dots,\{c,d\}$ の 6 つの組について $p_{xy}\,e_x\wedge e_y$ を足したもので、$p_{xy}e_x\wedge e_y$ は $x,y$ の順序によらないから、$\omega=u\wedge v$ であり分解可能である。
最後の主張は、Plücker埋め込みの定理「Plücker 埋め込みの基本性質」の 1（Plücker 埋め込みは単射で、像は分解可能な類の全体）と前半から従う。$\square$

標数が $2$ でなければ $Q(\omega)=0$ は $\omega\wedge\omega=0$ と同値なので、Klein 対応の条件は「$\omega\wedge\omega=0$」と書ける。標数 $2$ ではすべての $\omega$ について $\omega\wedge\omega=2Q(\omega)e_{1234}=0$ となり、この言い換えは成り立たない（ex-klein-counter）。

交わる 2 直線

$\mathbb P^3$ の直線 $L=\mathbb P(W)$、$L'=\mathbb P(W')$ が対応する $\mathcal Q$ の点を $[\omega]$、$[\omega']$ とする。$L$ と $L'$ が交わるための必要十分条件は $B(\omega,\omega')=0$ である。

$W$、$W'$ の基底を $w_1,w_2$、$w_1',w_2'$ とし、$\omega=w_1\wedge w_2$、$\omega'=w_1'\wedge w_2'$ としてよい。$L\cap L'\ne\emptyset$ は $W\cap W'\ne0$、すなわち $\dim(W+W')<4$、すなわち $w_1,w_2,w_1',w_2'$ が 1 次従属であることと同値である。これは $w_1\wedge w_2\wedge w_1'\wedge w_2'=\omega\wedge\omega'=0$ と同値であり（外積代数の命題「1 次独立性の判定」）、$B(\omega,\omega')=0$ と同値である。$\square$

$\mathcal Q$ の 2 点 $[\omega]$、$[\omega']$ を結ぶ $\mathbb P^5$ の直線上の点は $[s\omega+t\omega']$ で、$Q(s\omega+t\omega')=st\,B(\omega,\omega')$ である。したがって、thm-klein-incidence は「2 直線が交わることと、$\mathcal Q$ の対応する 2 点を結ぶ直線が丸ごと $\mathcal Q$ に含まれることは同値」とも言える。

含まれる平面と直線

$\mathbb P^3$ の点 $P=[u]$ と平面 $H=\mathbb P(U)$（$\dim U=3$）について
$$ \alpha(P):=\{[\omega]\in\mathcal Q\mid\text{対応する直線が }P\text{ を通る}\},\qquad\beta(H):=\{[\omega]\in\mathcal Q\mid\text{対応する直線が }H\text{ に含まれる}\} $$
とおく。以下、$\mathbb P^5$ の平面・直線とは、$\bigwedge^2V$ の 3 次元・2 次元部分空間の射影化のことである。

2 種類の平面

$K$ を任意の体とする。

$\alpha(P)=\mathbb P(u\wedge V)$、$\beta(H)=\mathbb P(\bigwedge^2U)$ であり、どちらも $\mathcal Q$ に含まれる $\mathbb P^5$ の平面である。
$\mathcal Q$ に含まれる $\mathbb P^5$ の平面は、ある点 $P$ についての $\alpha(P)$ か、ある平面 $H$ についての $\beta(H)$ である。
$\mathcal Q$ に含まれる $\mathbb P^5$ の直線は、$P\in H$ を満たすある点 $P$ と平面 $H$ について $\alpha(P)\cap\beta(H)$ であり、これは「$H$ の中で $P$ を通る直線の全体」に対応する。$P\notin H$ なら $\alpha(P)\cap\beta(H)=\emptyset$ である。

1：線形写像 $V\to\bigwedge^2V$、$v\mapsto u\wedge v$ の核は $Ku$ なので（外積代数の命題「1 次独立性の判定」）、像 $u\wedge V$ は 3 次元である。その $0$ でない元 $u\wedge v$ は $P$ を通る直線 $\mathbb P(\operatorname{span}(u,v))$ に対応し、逆に $P$ を通る直線はこの形である。$U$ の基底 $u_1,u_2,u_3$ を $V$ の基底に延ばすと、$u_1\wedge u_2$、$u_1\wedge u_3$、$u_2\wedge u_3$ は $\bigwedge^2V$ の基底の一部なので（外積代数の定理「自由加群の外冪の基底」）、$\bigwedge^2U\subset\bigwedge^2V$ は 3 次元である。$\bigwedge^2U$ の $0$ でない元は $U$ の中で分解可能であり（Plücker埋め込みの例「小さい場合」の 2 を $n=3$、$k=2$ で使う）、$H$ に含まれる直線に対応する。逆に $H$ に含まれる直線 $\mathbb P(W)$ では $W\subset U$ である。
2：$\mathbb P(L)\subset\mathcal Q$（$\dim L=3$）とする。$\omega,\omega'\in L$ について $Q(\omega)=Q(\omega')=Q(\omega+\omega')=0$ なので $B(\omega,\omega')=0$ である。$L$ の基底 $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ に対応する直線 $L_1,L_2,L_3$ は相異なり、thm-klein-incidence により 2 本ずつ交わる。$P:=L_1\cap L_2$（1 点）、$L_1,L_2$ を含む平面を $H=\mathbb P(U)$ とする。$P\in L_3$ なら $\omega_1,\omega_2,\omega_3\in u\wedge V$ なので、次元を比べて $L=u\wedge V$、すなわち $\mathbb P(L)=\alpha(P)$ である。$P\notin L_3$ なら、$L_3$ と $L_1$、$L_3$ と $L_2$ の交点は相異なる $H$ の 2 点であり（同じ点なら $L_1\cap L_2=\{P\}$ に入る）、$L_3$ はその 2 点を通るので $H$ に含まれる。よって $L=\bigwedge^2U$、$\mathbb P(L)=\beta(H)$ である。
3：$\mathbb P(M)\subset\mathcal Q$（$\dim M=2$）とし、基底 $\omega_1,\omega_2$ に対応する直線 $L_1\ne L_2$ をとる。2 と同じく $B(\omega_1,\omega_2)=0$ なので $L_1,L_2$ は 1 点 $P=[u]$ で交わり、平面 $H=\mathbb P(U)$ を張る。$\omega_1=u\wedge v_1$、$\omega_2=u\wedge v_2$ と書け、$U=\operatorname{span}(u,v_1,v_2)$ だから $M\subset u\wedge U$ である。$v\mapsto u\wedge v$ の核は $Ku$ なので $\dim u\wedge U=2$ であり、$M=u\wedge U$ である。$u\wedge U$ の $0$ でない元はちょうど $H$ の中で $P$ を通る直線に対応するので、$\mathbb P(M)=\alpha(P)\cap\beta(H)$ である。$P\notin H$ なら $P$ を通り $H$ に含まれる直線はないので、$\alpha(P)\cap\beta(H)=\emptyset$ である。$\square$

$\alpha(P)$ は $P$ によって、$\beta(H)$ は $H$ によって決まる。$\alpha(P)$ に対応する直線の共通点は $P$ だけで、$\beta(H)$ に対応する直線は $H$ を張るからである。$\alpha$ 型どうし、$\beta$ 型どうしの 2 平面は 1 点で交わり（直線 $PP'$、直線 $H\cap H'$ に対応）、$\alpha(P)$ と $\beta(H)$ は $P\in H$ のとき直線で交わり、そうでなければ交わらない。こうして $\mathcal Q$ の点・直線・2 種類の平面は、$\mathbb P^3$ の直線・点と平面の組（$P\in H$）・点・平面に対応する（Tay92 Theorem 12.16、p. 188。代数閉体の上で平面の 2 つの族を問う演習が Vak25 Exercise 16.4.K にある）。

例

座標と点の個数

（交わらない 2 直線）$L_1=\mathbb P(\operatorname{span}(e_1,e_2))$、$L_2=\mathbb P(\operatorname{span}(e_3,e_4))$ は $[e_{12}]$、$[e_{34}]$ に対応し、$B(e_{12},e_{34})=1\ne0$ なので交わらない。実際 $\operatorname{span}(e_1,e_2)\cap\operatorname{span}(e_3,e_4)=0$ である。$L_3=\mathbb P(\operatorname{span}(e_1,e_3))$ は $[e_{13}]$ に対応し、$B(e_{12},e_{13})=0$ なので $L_1$ と交わる（交点は $[e_1]$）。
（有限体）$K=\mathbb F_q$ なら、$\mathcal Q$ の $\mathbb F_q$ 有理点の個数は $\mathbb P^3(\mathbb F_q)$ の直線の本数に等しく、Grassmann多様体の命題「有限体上の Grassmann 多様体の点の個数」により
$$ \frac{(q^4-1)(q^3-1)}{(q^2-1)(q-1)}=(q^2+1)(q^2+q+1) $$
である。$q=2$ なら $35$ である。
（実数体）$K=\mathbb R$ では、$xy=\bigl(\tfrac{x+y}2\bigr)^2-\bigl(\tfrac{x-y}2\bigr)^2$ により $Q$ は符号 $(3,3)$ の非退化 2 次形式であり、$\mathcal Q(\mathbb R)$ は $\operatorname{Gr}(2,\mathbb R^4)$ と同相なコンパクトな 4 次元多様体である（Plücker埋め込みの定理「滑らかな埋め込み」）。

反例

標数が $2$ でない代数閉体 $K$ の上では、$\mathbb P^5$ の非特異な 2 次超曲面はすべて射影同値であり（2次超曲面の定理「2 次超曲面の標準形と特異点」）、したがってすべて Klein の 2 次曲面と射影同値である。次の表は、条件を 1 つ外すと成り立たなくなることの例である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
標数が $2$ でない	標数 $2$ の体、$\omega=e_{12}+e_{34}$	$\omega\wedge\omega=0$ なら分解可能
$K$ が代数閉体	$K=\mathbb R$、$x_1^2+\cdots+x_5^2-x_6^2=0$	非特異な 2 次超曲面が Klein の 2 次曲面と射影同値

反例の確かめ

1 行目：$Q(e_{12}+e_{34})=1\ne0$ なので、thm-klein-correspondence により $\omega$ は分解可能でない。一方、標数 $2$ では $\omega\wedge\omega=e_{12}\wedge e_{34}+e_{34}\wedge e_{12}=2e_{1234}=0$ である。
2 行目：この 2 次超曲面は非特異であるが、直線を含まない。直線は 2 次元部分空間 $W\subset\mathbb R^6$ で、その上で 2 次形式が $0$ になるものであるが、$W$ は超平面 $x_6=0$ と $0$ でない元 $w$ で交わり、そこでは $x_1^2+\cdots+x_5^2=0$ から $w=0$ となって矛盾する。一方、Klein の 2 次曲面は直線を含む（thm-klein-planes の 3）ので、両者は射影同値でない。

補足

群の同型：$g\in GL(V)$ について $Q(\bigwedge^2g\,\omega)=\det(g)\,Q(\omega)$ が成り立ち（Tay92 Theorem 12.17、p. 189）、Klein 対応から、$\mathbb P^3$ の共線変換と相関変換のなす群が、$Q$ の半相似変換のなす群を射影化したものと同型であることが導かれる（Tay92 Theorem 12.18、p. 190）。この記事では証明しない。
2 次超曲面の線形部分空間：非特異な 2 次超曲面 $\mathcal Q\subset\mathbb P^5$ に含まれる線形部分空間の次元は $2$ 以下である（2次超曲面の命題「非特異な 2 次超曲面上の線型部分空間」、標数が $2$ でない代数閉体）。thm-klein-planes は、その最大の平面が 2 つの族に分かれることを $\mathbb P^3$ の点と平面で具体的に示している。