多重対数関数
概要
多重対数関数（polylogarithm）とは、$\lvert z\rvert<1$ で $\operatorname{Li}_s(z)=\sum_{n\ge1}z^n/n^s$ と定まる関数であり、$\operatorname{Li}_1(z)=-\log(1-z)$ から $\operatorname{Li}_{s+1}(z)=\int_0^z\operatorname{Li}_s(t)\,dt/t$ と積分を重ねて得られる。正の整数位数のものは $\mathbb{C}\setminus[1,\infty)$ へ解析接続されて代数関数でなく、$0$ 以下の整数位数のものは有理関数である。2 重対数関数 $\operatorname{Li}_2$ は Euler の反転公式や逆数の公式を満たし、$\lvert z\rvert<1$ の有理数 $z$ での値は周期である。
前提知識: 冪級数, 対数関数, 解析接続, Riemannゼータ関数
多重対数関数（polylogarithm）は、冪級数
$$
\operatorname{Li}_s(z)=\sum_{n\ge1}\frac{z^n}{n^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\cdots
$$
で定まる関数である。$s=1$ では $\operatorname{Li}_1(z)=-\log(1-z)$ で、$s$ を 1 つ増やすごとに $\operatorname{Li}_{s+1}(z)=\int_0^z\operatorname{Li}_s(t)\,\frac{dt}t$ と積分を 1 回重ねる。対数関数を積分で何重にも重ねたものという意味で「多重対数」とよばれ、$\operatorname{Li}_2$ を 2 重対数関数（dilogarithm）、$\operatorname{Li}_3$ を 3 重対数関数（trilogarithm）という。$\operatorname{Re}s>1$ なら、$z=1$ での値は Riemannゼータ関数 の値 $\zeta(s)$ である。
この記事では、定義と解析接続、$s$ が $0$ 以下の整数のときに有理関数になること、正の整数のときに代数関数でないことを示し、2 重対数関数の 2 つの関数等式（Euler の反転公式と逆数の公式）を証明する。最後に、$-1< z<1$ の有理数 $z$ での値（$k\ge2$ では $z=\pm1$ も）が周期になることを示す。和の添字を複数にした一般化は 多重ポリログ で扱う。
定義
複素数 $s$ と $\lvert z\rvert<1$ について
$$
\operatorname{Li}_s(z):=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}
$$
とおく（$n^s=e^{s\log n}$）。$\operatorname{Li}_s$ を 多重対数関数（polylogarithm）、$s$ をその 位数 という。
$\lvert z^n/n^s\rvert=\lvert z\rvert^nn^{-\operatorname{Re}s}$ で、$n^{-\operatorname{Re}s}$ は高々 $n$ の多項式の速さでしか増えないので、級数は $\lvert z\rvert<1$ で絶対収束し、$\operatorname{Li}_s$ は単位円板上の正則関数である（冪級数）。$\operatorname{Re}s>1$ なら $\lvert z\rvert\le1$ で一様に絶対収束し（Weierstrass の M 判定法、$\sum n^{-\operatorname{Re}s}<\infty$）、閉円板上で連続で、$\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)$ である。
$$
\operatorname{Li}_1(z)=-\operatorname{Log}(1-z),\qquad\operatorname{Li}_0(z)=\frac z{1-z},\qquad\operatorname{Li}_{-1}(z)=\frac z{(1-z)^2},\qquad\operatorname{Li}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}.
$$
第 1 式は $-\operatorname{Log}(1-z)$ の Taylor 展開、第 2 式は等比級数である。残りは後の prop-plog-negative による。また $\operatorname{Li}_2(1)=\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$（Basel問題 の定理「平方数の逆数の和」）、$\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{\pi^2}{12}$（同記事の系「奇数の平方の逆数の和と交代級数」）である。
基本の性質
$\lvert z\rvert<1$ について次が成り立つ。
- $z\dfrac d{dz}\operatorname{Li}_s(z)=\operatorname{Li}_{s-1}(z)$。
- $\operatorname{Li}_{s+1}(z)=\displaystyle\int_0^z\frac{\operatorname{Li}_s(t)}t\,dt$（$0$ から $z$ への線分に沿う積分）。
- $\operatorname{Li}_s(z)+\operatorname{Li}_s(-z)=2^{1-s}\operatorname{Li}_s(z^2)$。
- $\operatorname{Re}s>0$ なら $\operatorname{Li}_s(z)=\dfrac z{\Gamma(s)}\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-z}\,dx$（$\Gamma$ は Γ関数）。
証明を開く
1 と 2 は冪級数の項別微分・項別積分である（$\operatorname{Li}_s(t)/t=\sum_nt^{n-1}/n^s$ は $t=0$ で正則）。3：左辺の $z^n$ の係数は、$n$ が奇数なら $1-1=0$、偶数 $n=2m$ なら $2/(2m)^s=2^{1-s}/m^s$ である。4：$x>0$ で $\lvert ze^{-x}\rvert<1$ なので $\frac z{e^x-z}=\sum_{n\ge1}z^ne^{-nx}$ であり、$\int_0^\infty x^{s-1}e^{-nx}dx=\Gamma(s)/n^s$ である。$\sum_n\lvert z\rvert^n\int_0^\infty x^{\operatorname{Re}s-1}e^{-nx}dx=\Gamma(\operatorname{Re}s)\sum_n\lvert z\rvert^nn^{-\operatorname{Re}s}<\infty$ なので、Fubiniの定理 により和と積分を入れ替えてよい。$\square$
4 の形の積分から、Fermi–Dirac 積分・Bose–Einstein 積分とよばれる積分が $-\operatorname{Li}_{s+1}(-e^x)$、$\operatorname{Li}_{s+1}(e^x)$ で表される（DLMF 式 25.12.11、25.12.14–25.12.16）。
$m\ge0$ を整数とすると、多項式 $A_m(z)$ があって
$$
\operatorname{Li}_{-m}(z)=\sum_{n\ge1}n^mz^n=\frac{A_m(z)}{(1-z)^{m+1}}
$$
であり、$A_0=z$、$A_{m+1}(z)=z(1-z)A_m'(z)+(m+1)zA_m(z)$、$A_m(1)=m!$ である。とくに $\operatorname{Li}_{-m}$ は有理関数である。
証明を開く
$m=0$ は等比級数である。$m$ で成り立つとすると、prop-plog-basic の 1 により $\operatorname{Li}_{-m-1}=z\frac d{dz}\frac{A_m}{(1-z)^{m+1}}=\frac{zA_m'}{(1-z)^{m+1}}+\frac{(m+1)zA_m}{(1-z)^{m+2}}=\frac{z(1-z)A_m'+(m+1)zA_m}{(1-z)^{m+2}}$ である。漸化式で $z=1$ とおくと $A_{m+1}(1)=(m+1)A_m(1)$ なので、$A_0(1)=1$ から $A_m(1)=m!$ である。$\square$
$A_1=z$、$A_2=z+z^2$、$A_3=z+4z^2+z^3$ で、$A_m$ の係数は Eulerian 数（Eulerian number）とよばれる（$\sec x$ の Taylor 係数である Euler 数とは別のもの）。$A_m(1)=m!\ne0$ なので、$\operatorname{Li}_{-m}$ は $z=1$ でちょうど $m+1$ 位の極をもつ。
解析接続
$k\ge1$ を整数とし、$\Omega:=\mathbb{C}\setminus[1,\infty)$ とする。$\Omega$ 上の正則関数 $L_k$ を
$$
L_1(z):=-\operatorname{Log}(1-z),\qquad L_{k+1}(z):=\int_0^z\frac{L_k(t)}t\,dt\quad(0\ \text{から}\ z\ \text{への線分に沿う積分})
$$
で順に定めると、$L_k$ は $\Omega$ 上で正則で、$\lvert z\rvert<1$ で $\operatorname{Li}_k$ に一致する。すなわち $\operatorname{Li}_k$ は $\Omega$ 上の正則関数に一意に延びる。$k\ge2$ なら、級数は $\lvert z\rvert\le1$ で収束し、$\lvert z\rvert\le1$、$z\ne1$ で延長の値に等しい。
$\operatorname{Log}$ は主値なので、$L_1$ は $1-z\notin(-\infty,0]$、すなわち $z\in\Omega$ で正則である。$L_k$ が $\Omega$ で正則で $L_k(0)=0$ とする。$L_k(t)/t$ は $t=0$ で除去可能な特異点をもつので（Riemannの拡張定理 の定理「Riemann の拡張定理」）、$\Omega$ 上の正則関数である。$\Omega$ は $0$ について星形（$z\in\Omega$ なら線分 $[0,z]\subset\Omega$）なので、線分に沿う積分 $L_{k+1}(z)$ は $L_k(t)/t$ の $\Omega$ 上の原始関数であり（Cauchyの積分定理 の補題「三角形条件からの原始関数」。三角形の条件は同記事の定理「Goursat の定理」による）、正則で $L_{k+1}(0)=0$ である。
$\lvert z\rvert<1$ では $L_1=\operatorname{Li}_1$ であり、$L_k=\operatorname{Li}_k$ なら prop-plog-basic の 2 により $L_{k+1}=\operatorname{Li}_{k+1}$ である。延長の一意性は 一致の定理 による。$k\ge2$ のとき、$\lvert z\rvert=1$、$z\ne1$ では $L_k(rz)\to L_k(z)$（$r\to1-$、$L_k$ の連続性）であり、級数は閉円板で一様収束するので $\operatorname{Li}_k(rz)\to\operatorname{Li}_k(z)$ である。以下 $\operatorname{Li}_k(1):=\zeta(k)$ とおくと、閉円板 $\lvert z\rvert\le1$ に制限した $\operatorname{Li}_k$ は級数の一様収束により連続である。$\square$
以下、正の整数 $k$ について $\operatorname{Li}_k$ はこの延長（主枝）を表す。$\operatorname{Li}_k$ は切断 $[1,\infty)$ の上で上下の極限が異なる。たとえば $x>1$ で $\operatorname{Li}_1(x\pm\sqrt{-1}\,0)=-\log(x-1)\pm\pi\sqrt{-1}$ で、これを $\frac{dt}t$ で積分すると $\operatorname{Li}_2(x\pm\sqrt{-1}\,0)$ の差は $2\pi\sqrt{-1}\log x$ である。点 $1$ のまわりを 1 周する解析接続で $\operatorname{Li}_2$ が $-2\pi\sqrt{-1}\log z$ だけずれることは、反復積分 の命題「$\mathrm{Li}_2$ の点 $1$ のまわりのモノドロミー」で計算されている。
$k\ge1$ を整数とすると、$\operatorname{Li}_k$ は単位円板上で 代数関数 でない。
証明を開く
$\operatorname{Li}_k$（$k\ge2$）が代数関数だとすると、代数関数 の定理「代数関数の満たす線形微分方程式」の 1 により $\operatorname{Li}_k'\in\mathbb{C}(z)(\operatorname{Li}_k)$ で、$\mathbb{C}(z)(\operatorname{Li}_k)$ の元はすべて代数的なので（同記事の定理「代数関数は体をなす」）、$\operatorname{Li}_{k-1}=z\operatorname{Li}_k'$ も代数関数である。くり返すと $\operatorname{Li}_1=-\operatorname{Log}(1-z)$ が代数関数になる。$P(z,-\operatorname{Log}(1-z))=0$ なら $w=1-z$ として $P(1-w,-y)$ が $\operatorname{Log}w$ を根にもち（$\lvert w-1\rvert<1$ で）、一致の定理で $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 全体で根になるので、同記事の命題「指数関数と対数関数は代数関数でない」の 2 に反する。$\square$
位数が $0$ 以下の整数なら有理関数（prop-plog-negative）、正の整数なら超越関数であり、境目は $\operatorname{Li}_0=z/(1-z)$ と $\operatorname{Li}_1=-\operatorname{Log}(1-z)$ のあいだにある。
2 重対数関数の関数等式
$\operatorname{Li}_2$ は thm-plog-continuation により $\Omega=\mathbb{C}\setminus[1,\infty)$ 上で正則で
$$
\operatorname{Li}_2(z)=-\int_0^z\frac{\operatorname{Log}(1-t)}t\,dt,\qquad\frac d{dz}\operatorname{Li}_2(z)=-\frac{\operatorname{Log}(1-z)}z
$$
を満たす。関数等式は、両辺を微分して一致を確かめ、1 点で値を比べて定数を決める、という同じ手順で示せる。
$0< x<1$ について
$$
\operatorname{Li}_2(x)+\operatorname{Li}_2(1-x)=\frac{\pi^2}6-\log x\,\log(1-x).
$$
$0< x<1$ で左辺を微分すると
$$
-\frac{\log(1-x)}x+\frac{\log x}{1-x}
$$
である（第 2 項は $\frac d{dx}\operatorname{Li}_2(1-x)=-\operatorname{Li}_2'(1-x)=\frac{\log x}{1-x}$）。右辺の導関数 $-\frac{\log(1-x)}x+\frac{\log x}{1-x}$ もこれに等しいので、両辺の差は $(0,1)$ 上で定数 $c$ である。$x\to0+$ とすると、$\operatorname{Li}_2(x)\to0$、$\operatorname{Li}_2(1-x)\to\operatorname{Li}_2(1)=\frac{\pi^2}6$（閉円板での連続性、thm-plog-continuation）であり、$0< x\le\frac12$ で $\lvert\log(1-x)\rvert\le2x$ なので $\lvert\log x\log(1-x)\rvert\le2x\lvert\log x\rvert\to0$ である。よって $c=0$ である。$\square$
$$ \operatorname{Li}_2\Bigl(\frac12\Bigr)=\sum_{n\ge1}\frac1{2^nn^2}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{(\log2)^2}2=0.5822405\ldots. $$
thm-plog-euler-reflection で $x=\frac12$ とすると $2\operatorname{Li}_2(\frac12)=\frac{\pi^2}6-(\log\frac12)^2$ である。$\square$
級数 $\sum 1/(2^nn^2)$ は収束が速く、第 10 項までの和は $0.58223$ で、cor-plog-half の値と小数第 4 位まで一致する。逆に cor-plog-half を使えば、$\pi^2$ を速く収束する級数で計算できる。
$z\in\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ について
$$
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2\Bigl(\frac1z\Bigr)=-\frac{\pi^2}6-\frac12\operatorname{Log}(-z)^2.
$$
$W:=\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ は連結な開集合である。$z\in W$ なら $z\notin[1,\infty)$ で、$\frac1z\in[1,\infty)$ となるのは $z\in(0,1]$ のときだけなので、左辺は $W$ 上で正則である。$-z\notin(-\infty,0]$ なので右辺も正則である。左辺を微分すると
$$
-\frac{\operatorname{Log}(1-z)}z+\Bigl(-\frac{\operatorname{Log}(1-1/z)}{1/z}\Bigr)\Bigl(-\frac1{z^2}\Bigr)=\frac{\operatorname{Log}(1-1/z)-\operatorname{Log}(1-z)}z
$$
であり、右辺の導関数は $-\operatorname{Log}(-z)/z$ である。そこで $W$ 上で
$$
\operatorname{Log}\Bigl(1-\frac1z\Bigr)=\operatorname{Log}(1-z)-\operatorname{Log}(-z)
$$
を示せばよい。$1-\frac1z=\frac{1-z}{-z}$ なので、両辺の差は $2\pi\sqrt{-1}$ の整数倍であり、偏角の主値について $\operatorname{Arg}(1-z)-\operatorname{Arg}(-z)\in(-\pi,\pi]$ なら差は $0$ である。$\operatorname{Im}z>0$ なら $1-z$ と $-z$ の虚部はどちらも負で、偏角はどちらも $(-\pi,0)$ にあり、差は $(-\pi,\pi)$ にある。$\operatorname{Im}z<0$ も同様で、$z<0$ なら $1-z$、$-z$ は正の実数で偏角は $0$ である。よって両辺の導関数は等しく、差は $W$ 上の定数である。
$z=-1$ では右辺は $-\frac{\pi^2}6$、左辺は $2\operatorname{Li}_2(-1)$ である。prop-plog-basic の 3（$s=2$）で $z\to1-$ とすると、閉円板での連続性から $\zeta(2)+\operatorname{Li}_2(-1)=\frac12\zeta(2)$、すなわち $\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{\pi^2}{12}$ なので、定数は $0$ である。$\square$
逆数の公式は、$\lvert z\rvert>1$ での値を $\lvert1/z\rvert<1$ の級数で計算することを可能にする。たとえば $z=-2$ では $\operatorname{Li}_2(-2)=-\frac{\pi^2}6-\frac12(\log2)^2-\operatorname{Li}_2(-\frac12)=-1.4367\ldots$ である。
関数等式はほかにもあり、$\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(\frac z{z-1})=-\frac12\operatorname{Log}(1-z)^2$（$z\notin[1,\infty)$）は同じ方法で示せる（DLMF 式 25.12.3）。単位円周上では、$0\le\theta\le2\pi$ で $\sum_{n\ge1}\frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}6-\frac{\pi\theta}2+\frac{\theta^2}4$ であり、虚部 $\sum_n\frac{\sin n\theta}{n^2}$ は Clausen 関数とよばれる（DLMF 式 25.12.7–25.12.9。この記事では証明しない）。
特殊値と周期
正の整数 $k\ge2$ について $\operatorname{Li}_k(1)=\zeta(k)$ であり、$\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$ のように偶数の $k$ では $\pi^k$ の有理数倍になる（Bernoulli数 の定理「$\zeta(2k)$ の値」）。多重対数関数の $-1< z<1$ の有理数 $z$ での値（$k\ge2$ では $z=\pm1$ での値も）は、次の意味で 周期(代数多様体) である。
$k\ge1$ を整数とし、$-1< z<1$、または $k\ge2$ かつ $z=\pm1$ とする。このとき
$$
\operatorname{Li}_k(z)=\int_{[0,1]^k}\frac{z\,dt_1\cdots dt_k}{1-zt_1t_2\cdots t_k}
$$
で、右辺は絶対収束する。とくに $z$ が有理数なら $\operatorname{Li}_k(z)$ は 周期(代数多様体) の定義「周期環」の意味の実周期である。
$u:=t_1\cdots t_k\in[0,1]$ とおくと、$u< 1$ では $\frac z{1-zu}=\sum_{n\ge1}z^nu^{n-1}$ で、$\int_{[0,1]^k}u^{n-1}\,dt=\prod_{i=1}^k\int_0^1t_i^{n-1}dt_i=\frac1{n^k}$ である（$u=1$ となる点は 1 点で測度 $0$）。絶対値の級数の積分は $\sum_n\lvert z\rvert^n/n^k$ で、仮定のもとで有限である（$\lvert z\rvert<1$、または $\lvert z\rvert=1$ かつ $k\ge2$）。単調収束定理 により $\int\sum_n\lvert z\rvert^nu^{n-1}\,dt<\infty$ なので、被積分関数は絶対可積分であり、優収束定理 により項別に積分して $\sum_nz^n/n^k=\operatorname{Li}_k(z)$ を得る。$z$ が有理数なら、被積分関数は有理数係数の有理関数、積分の範囲は有理数係数の不等式 $0\le t_i\le1$ で定まる集合なので、定義により実周期である。$\square$
たとえば $\log2=\operatorname{Li}_1(\frac12)$、$\zeta(3)=\operatorname{Li}_3(1)$、$\operatorname{Li}_2(\frac12)$ はどれも周期である。$\operatorname{Li}_k$ そのものは代数関数でない（prop-plog-transcendental）が、prop-plog-period の範囲の有理数で値をとると周期になる。周期の定義では被積分関数に $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の 代数関数 を許しても周期の集合は変わらない（周期(代数多様体)）ので、同じ積分表示から、$-1< z<1$ の実の代数的数 $z$ での値も周期である。この関係は、多重ゼータ値 と 多重ポリログ の理論で、和の添字を複数にした形に一般化される。
反例：仮定を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 級数の定義の $\lvert z\rvert<1$ | $z=2$ | $\sum2^n/n^2$ は発散する（解析接続しても、切断の上で上下の極限が異なる） |
| thm-plog-continuation の、位数 $k\ge2$（閉円板での収束） | $k=1$、$z=1$ | $\sum1/n$ は発散し、$\operatorname{Li}_1(z)\to+\infty$（$z\to1-$） |
| prop-plog-transcendental の $k\ge1$ | $k=0$ | $\operatorname{Li}_0=z/(1-z)$ は有理関数で、代数関数である |
| thm-plog-inversion の $z\notin[0,\infty)$ のうち $z\notin(0,1]$ の部分 | $z=\frac12$ | $\frac1z=2$ は切断 $[1,\infty)$ の上にあり、$\operatorname{Li}_2(2)$ は主枝で定まらない |
| thm-plog-euler-reflection の $0< x<1$ | $x=2$ | $\operatorname{Li}_2(2)$ も実数の $\log(1-x)$ も定まらない |
- $2^n/n^2\to\infty$。切断の上下の極限は、本文の $x>1$ での計算により $2\pi\sqrt{-1}\log x$ だけ異なる。$x=2$ では上側の極限は $\frac{\pi^2}4+\pi\sqrt{-1}\log2$ である。
- 調和級数は発散する（調和級数）。
- ex-plog-small。
- 1 と同じ。
- $1-x=-1<0$ で、$\log(1-x)$ は実数として定義されない。
補足
- $\lvert z\rvert<1$ を固定すると、$\operatorname{Li}_s(z)$ は $s$ の整関数である（級数は $s$ について広義一様に収束する）。$\operatorname{Re}s>1$ では $\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)$（Riemannゼータ関数）、$\operatorname{Li}_s(-1)=-(1-2^{1-s})\zeta(s)$ である（prop-plog-basic の 3 で $z\to1-$）。
- 添字を複数にした $\operatorname{Li}_{k_1,\dots,k_r}(z)$ は 多重ポリログ で扱う。$\operatorname{Li}_k$ はその深さ $1$ の場合で、反復積分 $\int\omega_1\omega_0\cdots\omega_0$ として書ける。
関連項目
参考文献
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