Steinitzの定理(Dedekind整域上の加群)

1. $I$ は可逆なので $1=\sum_{i=1}^su_iv_i$（$u_i\in I$、$v_i\in I^{-1}$）と書ける。$p\colon A^s\to I$、$(a_i)\mapsto\sum_ia_iu_i$ と $q\colon I\to A^s$、$x\mapsto(v_ix)_i$（$v_ix\in A$）について $p\circ q(x)=\sum_iu_iv_ix=x$ なので、$I$ は $A^s$ の直和因子であり、有限生成射影加群である。

2. $0$ でない $d\in A$ で $dI\subset A$ となるものをとる。$x,y\in I$ について $dx,dy\in A$ なので、$A$ 線形性から $(dy)f(x)=f(dyx)=(dx)f(y)$ である。従って $x,y\ne0$ なら $f(x)/x=f(y)/y$ であり、この共通の値を $c$ とおくと $f(x)=cx$ である。$f$ は全射なので $J=cI$、単射なので $c\ne0$ である。逆に $J=cI$ なら $x\mapsto cx$ は同型 $I\to J$ である。

3. $\supset$ を示せばよい。$x\in\bigcap_{\mathfrak m}I_{\mathfrak m}$ をとり、$\mathfrak a=\{a\in A\mid ax\in I\}$ とおく。各 $\mathfrak m$ について $x=y/s$（$y\in I$、$s\notin\mathfrak m$）と書けるので $sx=y\in I$、すなわち $s\in\mathfrak a\setminus\mathfrak m$ である。イデアル $\mathfrak a$ はどの極大イデアルにも含まれないので $\mathfrak a=A$ であり、$x=1\cdot x\in I$ である。$\square$

$J=A$ なら $b=1$ でよい。$J\ne A$ とし、$J$ を含む極大イデアルを $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_s$ とする（$J$ は有限個の極大イデアルの積に分解され、$J$ を含む素イデアルはその因子のどれかを含むので、因子のどれかに一致する。従って有限個である）。各 $i$ について $I^{-1}\ne\mathfrak p_iI^{-1}$ である（等しければ $I$ を掛けて $A=\mathfrak p_i$ となる）ので、$b_i\in I^{-1}\setminus\mathfrak p_iI^{-1}$ をとる。相異なる極大イデアルは互いに素なので、中国剰余定理 により $c_i\equiv1\pmod{\mathfrak p_i}$、$c_i\in\mathfrak p_j$（$j\ne i$）を満たす $c_i\in A$ がある。$b=\sum_ic_ib_i$ とおくと、$b-b_i=(c_i-1)b_i+\sum_{j\ne i}c_jb_j\in\mathfrak p_iI^{-1}$ なので $b\notin\mathfrak p_iI^{-1}$ であり、特に $b\ne0$ である。$b\in I^{-1}$ なので $bI\subset A$ である。もし $bI\subset\mathfrak p_i$ なら $bA=bII^{-1}\subset\mathfrak p_iI^{-1}$ となり矛盾するので、$bI\not\subset\mathfrak p_i$ である。$bI+J$ を含む極大イデアルは $J$ を含むので $\mathfrak p_i$ のどれかだが、$bI$ を含まないので、そのような極大イデアルはない。よって $bI+J=A$ である。$\square$

1. 射影加群は自由加群の部分加群なので捩れをもたない。逆は lem-steinitz-sum-of-ideals である。

2. 対応が単射であることは thm-steinitz-main の 2、全射であることは $A^{r-1}\oplus I$ が階数 $r$、Steinitz 類 $[I]$ をもつことによる。$M$ が自由なら $M\cong A^r=A^{r-1}\oplus A$ なので $\operatorname{St}(M)=[A]=1$、逆に $\operatorname{St}(M)=1$ なら $I=cA\cong A$ で $M\cong A^r$ である。積の公式は、$M\cong A^{r-1}\oplus I$、$M'\cong A^{r'-1}\oplus I'$ から prop-steinitz-exchange により $M\oplus M'\cong A^{r+r'-2}\oplus I\oplus I'\cong A^{r+r'-1}\oplus II'$ となることによる。

3. $M$ は自由加群の直和因子なので射影的であり、$M=0$ なら自由である。$n=0$ なら $M\cong A^m$ である。$n\ge1$、$M\ne0$ なら 2 の積の公式から $\operatorname{St}(M)=\operatorname{St}(M)\operatorname{St}(A^n)=\operatorname{St}(A^m)=1$ なので $M$ は自由である。

4. 単項イデアル整域なら $\operatorname{Cl}(A)=1$（Dedekind整域 の命題「イデアル類群が自明な条件」）なので 2 から自由である。逆に、$0$ でないイデアル $I$ は階数 1 の有限生成で捩れのない加群なので、自由なら $I\cong A$、すなわち $I=cA$ と単項である（lem-steinitz-fractional の 2）。$\square$

1. $T(M)$ は部分加群である（$am=0$、$bm'=0$ なら $ab(m+m')=0$）。$M/T(M)$ は捩れをもたない。実際 $a\ne0$、$am\in T(M)$ なら $bam=0$ となる $b\ne0$ があり、$ba\ne0$ なので $m\in T(M)$ である。$M/T(M)$ は有限生成なので lem-steinitz-sum-of-ideals により射影的であり、全射 $M\to M/T(M)$ は分裂する。後半は thm-steinitz-main による。

2. $T=T(M)$ は有限生成部分加群（Noether 性）なので、生成元を消す $0$ でない元の積 $a$ で $aT=0$ となる。$T=0$ なら空の直和である。$aA=\prod_{\mathfrak p}\mathfrak p^{h_{\mathfrak p}}$ と素イデアル分解すると、相異なる極大イデアルの冪は互いに素なので、中国剰余定理 により $A/aA\cong\prod_{\mathfrak p}A/\mathfrak p^{h_{\mathfrak p}}$ である。その直交冪等元を作用させて $T=\bigoplus_{\mathfrak p}T_{(\mathfrak p)}$（$\mathfrak p^{h_{\mathfrak p}}T_{(\mathfrak p)}=0$）を得る。$A/\mathfrak p^h$ の素イデアルは $\mathfrak p/\mathfrak p^h$ だけなので $\mathfrak p$ の外の元は $A/\mathfrak p^h$ で単元であり、$A/\mathfrak p^h\cong A_{\mathfrak p}/\mathfrak p^hA_{\mathfrak p}$ である。従って $T_{(\mathfrak p)}$ は離散付値環 $A_{\mathfrak p}$ 上の有限生成捩れ加群とみなせ、単項イデアル整域 の定理「単項イデアル整域上の加群」の 4 により $T_{(\mathfrak p)}\cong\bigoplus_jA_{\mathfrak p}/\pi^{e_j}A_{\mathfrak p}\cong\bigoplus_jA/\mathfrak p^{e_j}$ と書け、指数 $e_j$ の重複を込めた集まりは $T_{(\mathfrak p)}$ から一意に決まる（単元倍を除いた $\pi^{e_j}$ の一意性）。最後に、$\mathfrak q\ne\mathfrak p$ なら $\mathfrak q^{h}\not\subset\mathfrak p$ なので $(T_{(\mathfrak q)})_{\mathfrak p}=0$ であり、$T_{(\mathfrak p)}\cong T_{\mathfrak p}=A_{\mathfrak p}\otimes_AT$ は $T$ だけで決まる。よって $(\mathfrak p_i,e_i)$ の集まりは一意である。離散付値環上の部分（巡回加群への分解と指数の一意性）は、Dedekind整域 の定理「有限捩れ加群の一意な表示」の証明で、行列の消去と $\dim_{A/\mathfrak p}(\pi^{l-1}T_{\mathfrak p}/\pi^lT_{\mathfrak p})$ の計数により直接示されている。$\square$

$(1+\sqrt{-3})^2=-2+2\sqrt{-3}=2(1+\sqrt{-3})-4$ なので $P^2=(4,2+2\sqrt{-3})=2P$ である。$P$ が射影的と仮定する。射影加群の双対基底により、$x_i\in P$ と線形写像 $f_i\colon P\to A$ で $x=\sum_if_i(x)x_i$（$x\in P$）を満たすものがある。lem-steinitz-fractional の 2 の証明と同じ議論で $f_i(x)=c_ix$（$c_i\in K$）と書け、$c_iP\subset A$、$1=\sum_ic_ix_i\in P^{-1}P$ となるので $P$ は可逆である。すると $P^2=2P$ に $P^{-1}$ を掛けて $P=2A$ となるが、$1+\sqrt{-3}\notin2A$ なので矛盾する。$\square$