Bolzano–Weierstrassの定理

$(x_n)$ を有界な実数列とする。どの実数列も単調な部分列 $(x_{n_k})$ をもつ（単調収束定理 の記事の補題「単調な部分列の存在」）。部分列の項はもとの数列の項なので $(x_{n_k})$ も有界であり、単調で有界な実数列は収束する（単調収束定理 の記事の定理「単調収束定理」）。よって $(x_{n_k})$ は収束する。$\square$

1 ⇒ 2 は、収束する数列の部分列が同じ極限に収束することである。
2 ⇒ 1 を対偶で示す。$(x_n)$ が $x$ に収束しないとすると、ある $\varepsilon>0$ について、$\lvert x_n-x\rvert\ge\varepsilon$ となる $n$ が無限個ある。そのような $n$ を小さい順に $m_0< m_1<\cdots$ と並べると、部分列 $(x_{m_j})$ は有界なので、thm-bw-main によりさらに収束する部分列 $(x_{m_{j_i}})$ をもつ。その極限を $y$ とすると、すべての $i$ で $\lvert x_{m_{j_i}}-x\rvert\ge\varepsilon$ だから、極限をとって $\lvert y-x\rvert\ge\varepsilon$ であり（数列の極限 の記事の命題「絶対値と極限」「極限は大小関係を保つ」）、$y\ne x$ である。$(x_{m_{j_i}})$ は $(x_n)$ の部分列なので、2 が成り立たない。$\square$

各 $I_k$ について「$x_n\in I_k$ となる番号 $n$ は無限個ある」ことを $k$ に関する帰納法で示す。$k=0$ ではすべての $n$ がそうである。$I_k$ について成り立てば、$I_k$ は左半分と右半分の和なので、少なくとも一方に入る番号は無限個ある。左半分がそうなら $I_{k+1}$ は左半分であり、そうでなければ右半分に入る番号が無限個あって $I_{k+1}$ は右半分である。どちらの場合も $I_{k+1}$ について成り立つ。
したがって $n_k$ はつねに定まり、$n_0< n_1< n_2<\cdots$ である。$I_0\supset I_1\supset\cdots$ で $I_k$ の長さは $\frac{b-a}{2^k}$ なので、区間 の記事の定理「区間縮小法」により、すべての $I_k$ に共通な点がちょうど 1 つある。それを $p$ とする。$j\ge k$ ならば $x_{n_j}\in I_j\subset I_k$ であり、$p\in I_k$ なので
$$ \lvert x_{n_j}-p\rvert\le\frac{b-a}{2^k}\qquad(j\ge k) $$
である。$\varepsilon>0$ に対して $\frac{b-a}{2^k}<\varepsilon$ となる $k$ をとれば（$2^k\ge k$ と Archimedes の性質による）、$j\ge k$ で $\lvert x_{n_j}-p\rvert<\varepsilon$ となる。よって $x_{n_k}\to p$ である。$\square$

$(x_n)$ を $\mathbb{R}^m$ の有界な点列とし、$x_n=(x_{n,1},\dots,x_{n,m})$ と成分で書く。$\lvert x_{n,i}\rvert\le\|x_n\|$ なので、各成分の実数列 $(x_{n,i})_n$ は有界である。
第 1 成分の実数列 $(x_{n,1})_n$ に thm-bw-main を当てて、第 1 成分が収束する部分列 $(x_n)_{n\in N_1}$ をとる（$N_1\subset\mathbb{N}$ はその番号の集合）。次に、この部分列の第 2 成分は有界な実数列なので、もう一度 thm-bw-main を当てて、第 2 成分も収束する部分列 $(x_n)_{n\in N_2}$（$N_2\subset N_1$）をとる。部分列の部分列はもとの点列の部分列であり、第 1 成分は収束する数列の部分列なので同じ極限に収束し続ける。これを $m$ 回繰り返すと、すべての成分が収束する部分列 $(x_n)_{n\in N_m}$ が得られる。成分ごとの極限を並べた点を $p$ とすると、成分ごとの収束と $\mathbb{R}^m$ での収束の同値により、この部分列は $p$ に収束する。$\square$

1 は 集積点 の記事の定理「集合の形のBolzano–Weierstrassの定理」であり、そこでは小立方体を規則で選ぶ証明が与えられている（選択公理を使わない）。
2 の前半：$(x_n)$ を有界な点列とし、項の集合を $S:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ とする。$S$ が有限集合なら、ある値 $v$ について $x_n=v$ となる $n$ が無限個あり、その番号を小さい順に並べた部分列は定数列 $v$ で、$v$ に収束する。$S$ が無限集合なら、$S$ は有界なので 1 により集積点 $p$ をもつ。どの $\varepsilon>0$ についても $B(p,\varepsilon)$ は $S$ の点を無限個含むので、$\|x_n-p\|<\varepsilon$ となる番号 $n$ は無限個ある。そこで $n_0:=0$、$n_k:=$（$n>n_{k-1}$ かつ $\|x_n-p\|<\frac1k$ を満たす最小の $n$）と定めると、$n_0< n_1<\cdots$ で $\|x_{n_k}-p\|<\frac1k$（$k\ge1$）となり、$x_{n_k}\to p$ である。どの段でも番号は規則で 1 通りに決まるので、選択公理は使わない。
2 の後半：$A$ を有界な無限集合とする。可算選択公理を仮定すると、無限集合 $A$ への単射 $\mathbb{N}\to A$ が存在する（無限集合 の記事の定理「無限集合と Dedekind 無限」の 3）。これを相異なる点の列 $(a_n)$ とみると有界なので、thm-bw-rm により部分列 $a_{n_k}\to p$ がある。どの $\varepsilon>0$ についても、十分大きいすべての $k$ で $a_{n_k}\in B(p,\varepsilon)$ であり、これらは相異なる無限個の点なので、$p$ 以外の $A$ の点を含む。よって $p$ は $A$ の集積点である。$\square$

Cauchy 列は有界であり（Cauchy列 の記事の命題「Cauchy列の有界性」）、thm-bw-main により収束する部分列 $x_{n_k}\to p$ をもつ。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ で $\lvert x_m-x_n\rvert<\frac\varepsilon2$ となる $N$ をとり、$n_k\ge N$ かつ $\lvert x_{n_k}-p\rvert<\frac\varepsilon2$ となる $k$ をとると、$n\ge N$ で $\lvert x_n-p\rvert\le\lvert x_n-x_{n_k}\rvert+\lvert x_{n_k}-p\rvert<\varepsilon$ である。$\square$

$K$ の点列 $(x_n)$ は有界なので、thm-bw-rm により $\mathbb{R}^m$ の点 $p$ に収束する部分列をもつ。$p\notin K$ とすると、$K$ の補集合は開集合なので $B(p,r)\cap K=\emptyset$ となる $r>0$ があるが、十分先の $x_{n_k}$ は $B(p,r)$ に入るので $K$ の点であることに反する。よって $p\in K$ である。$\square$

まず、$K$ の点列 $x_n\to p\in K$ ならば $f(x_n)\to f(p)$ である。実際、$\varepsilon$ に対する $\delta$ をとれば、十分先の $n$ で $\|x_n-p\|<\delta$、したがって $\lvert f(x_n)-f(p)\rvert<\varepsilon$ となる。
$f$ が上に有界であることを示す。有界でないとすると、各 $n$ について $f(x_n)\ge n$ となる $x_n\in K$ がある。cor-bw-closed-bounded により部分列 $x_{n_k}\to p\in K$ があり、$f(x_{n_k})\to f(p)$ となるが、$f(x_{n_k})\ge n_k\ge k$ は有界でなく、収束する数列が有界であること（数列の極限 の記事の命題「収束列の有界性」）に反する。
$s:=\sup f(K)$ とおくと、各 $n$ について $f(x_n)>s-\frac1{n+1}$ となる $x_n\in K$ がある。部分列 $x_{n_k}\to p\in K$ をとると、$s-\frac1{n_k+1}< f(x_{n_k})\le s$ から $f(x_{n_k})\to s$ であり、極限の一意性から $f(p)=s$ である。よって $f$ は $p$ で最大値をとる。最小値は $-f$ に当てはめればよい。$\square$