トーサー

同義語：主等質空間torsorprincipal homogeneous space

概要

前提知識: Grothendieck位相, 群スキーム, Čechコホモロジー, 群作用
レベル: 大学院

定義

トーサーは「群と同じ形をしているが、単位元に当たる点が指定されていない」対象である。局所的には群そのものと同型だが、全体では基点が選べないことがある。その選べなさが 1 次のコホモロジーで測られる。
以下、$\mathcal C$ を終対象 $X$ をもつ景とする（典型例は、スキーム $X$ 上のスキームの圏にエタール位相や fppf 位相を入れたもの）。$G$ を $\mathcal C$ 上の群の層とする。

トーサー

$\mathcal C$ 上の層 $P$ に、層の射 $P\times G\to P$、$(p,g)\mapsto pg$ による右作用が与えられているとする（各対象 $U$ で $P(U)$ への $G(U)$ の右作用であり、制限と両立する）。$P$ が $G$ トーサー（$G$-torsor）であるとは、次の 2 条件が成り立つことをいう。

（単純推移性）層の射 $P\times G\to P\times P$、$(p,g)\mapsto(p,pg)$ は同型である。
（局所的な空でなさ）$X$ の被覆 $\{U_i\to X\}_{i\in I}$ で、各 $i$ について $P(U_i)\ne\varnothing$ となるものがある。
$G$ トーサーの射とは、$G$ の作用と両立する層の射をいう。$G$ 自身に右からの積で作用させたものを自明な $G$ トーサーという。

条件 1 は、各 $U$ で $P(U)$ が空であるか、または $G(U)$ の作用が単純推移的（任意の $p,p'\in P(U)$ に対し $p'=pg$ となる $g\in G(U)$ がただ 1 つある）であることと同値である。$G$ トーサーは主等質空間（principal homogeneous space）とも呼ばれる。$G$ が $X$ 上の群スキームで、$P$ が $X$ 上のスキームで表現されるときは、$P$ を $X$ 上の $G$ トーサーであるスキームと呼ぶ。

切断をもつトーサーは自明

$G$ トーサー $P$ について、次は同値である。

$P$ は自明な $G$ トーサーと同型である。
$P(X)\ne\varnothing$ である。

軌道写像

1 ⇒ 2 は $G(X)\ni1$ から従う。2 ⇒ 1：$p\in P(X)$ を取り、各 $U$ について $\varphi_U\colon G(U)\to P(U)$、$g\mapsto p|_Ug$ と置く。これは制限と両立し、$G$ の右作用と両立する層の射である。$P(U)$ は $p|_U$ を含むので空でなく、条件 1 から $G(U)$ の作用は単純推移的だから、$\varphi_U$ は全単射である。よって $\varphi$ は同型である。

直感

位相空間 $X$ 上の主 $G$ 束 $P\to X$ は、各点の近くでは $U\times G$ と同型だが、全体では「単位元の切断」をもたないことがある。トーサーは、この状況を任意の景に移したものである。$G$ トーサーの切断を 1 つ選ぶことは、「基点」を選んで $P$ を $G$ と同一視することに当たる（prop-torsor-trivial）。
代数幾何では、平坦な射やエタール射を「開集合」と考えるので、「局所的に自明」の意味が位相によって変わる。たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb C\to\operatorname{Spec}\mathbb R$ は、Zariski 位相では局所的にも自明にならないが、エタール位相では自明化できる（下の反例）。

1次のコホモロジーによる分類

$G$ トーサー $P$ が被覆 $\mathfrak U=\{U_i\to X\}$ で自明化されるとし、$p_i\in P(U_i)$ を選ぶ。$U_{ij}=U_i\times_XU_j$ 上で $p_i|_{U_{ij}}$ と $p_j|_{U_{ij}}$ はともに $P(U_{ij})$ の元だから、ただ 1 つの $g_{ij}\in G(U_{ij})$ があって
$$ p_j|_{U_{ij}}=p_i|_{U_{ij}}\,g_{ij} $$
となる。$U_{ijk}$ 上で $p_k=p_jg_{jk}=p_ig_{ij}g_{jk}$ かつ $p_k=p_ig_{ik}$ だから、作用の単純推移性により $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ である。すなわち $(g_{ij})$ は Čechコホモロジーの意味での 1 コサイクルである。$p_i$ を $p_ih_i$（$h_i\in G(U_i)$）に取り替えると、$g_{ij}$ は $h_i^{-1}g_{ij}h_j$ に変わり、同値なコサイクルになる。$\mathfrak U$ で自明化される 2 つのトーサーが同型なら、同型で $p_i$ を移すことで同値なコサイクルが得られる。

トーサーとコサイクルの対応

$\mathfrak U$ で自明化される $G$ トーサーの同型類の集合を $\operatorname{Tors}(\mathfrak U,G)$ と書く。上の構成は全単射
$$ \operatorname{Tors}(\mathfrak U,G)\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \check H^1(\mathfrak U,G) $$
を与え、自明なトーサーを自明な類に写す。被覆について帰納極限をとると、$X$ 上の $G$ トーサーの同型類の集合と $\check H^1(X,G)$ の全単射が得られる。

単射性と貼り合わせ

写像が well-defined であることは上で見た。
単射性。$P,P'$ から $p_i$、$p'_i$ を選んで得たコサイクル $(g_{ij})$、$(g'_{ij})$ が同値で、$g'_{ij}=h_i^{-1}g_{ij}h_j$ とする（非可換な係数の同値の定義で $h_i$ を $h_i^{-1}$ に置き換えた形）。$p_i$ を $p_ih_i$ に取り替えれば $g_{ij}=g'_{ij}$ と仮定してよい。各 $U_i$ 上で $P|_{U_i}\to P'|_{U_i}$ を、$p_i$ を $p'_i$ に写す $G$ 同変な同型として定める（prop-torsor-trivial により、$p_ig\mapsto p'_ig$ で定まる）。$U_{ij}$ 上では $p_j=p_ig_{ij}$、$p'_j=p'_ig_{ij}$ だから、$i$ と $j$ から定めた同型は $U_{ij}$ 上で一致する。層の射は層の条件により貼り合わせられるので（層の $\operatorname{Hom}$ はまた層である）、$P\cong P'$ である。
全射性。コサイクル $(g_{ij})$ から、自明なトーサー $G|_{U_i}$ を $g_{ij}$ による左からの積で貼り合わせて $G$ トーサーを作る。景上の層は被覆に沿った降下データから一意に貼り合わせられる（層は景上のスタックをなす）という事実による。この事実は Stacks「Sites and Sheaves」の章の降下の節、Milne80 第 III 章 §4 にある（本記事では証明しない）。

非可換な1次コホモロジー

一般の群の層 $G$ について、$H^1(X,G)$ を「$G$ トーサーの同型類の点付き集合」と定義する。$G$ が可換なら、これは導来関手としての $H^1(X,G)$ と一致する（Čechコホモロジーの記事の系で $\check H^1\cong H^1$ を認める）。群の層の完全列 $1\to G'\to G\to G''\to1$ からは、点付き集合の完全列 $1\to G'(X)\to G(X)\to G''(X)\to H^1(X,G')\to H^1(X,G)\to H^1(X,G'')$ が得られ、$G'$ が $G$ の中心に含まれるときはさらに $H^1(X,G'')\to H^2(X,G')$ へ延びる（Milne80 第 III 章 §4、Ser97 第 I 章 §5）。

表現可能性（引用）

$X$ をスキーム、$G$ を $X$ 上のアフィン群スキームとする。$X$ 上のスキームの圏の fppf 位相についての $G$ トーサー（層）は、$X$ 上のアフィンなスキームで表現される。$G$ がさらに $X$ 上滑らかなら、fppf 位相の $G$ トーサーはエタール位相で局所的に自明であり、エタール位相と fppf 位相の $H^1(X,G)$ は一致する。

前半はアフィン射についての忠実平坦降下から、後半は滑らかな射がエタール局所に切断をもつことから従う（Milne80 第 III 章 §4）。

例

直線束と乗法群

スキーム $X$ 上の直線束 $L$ に対し、$U\mapsto\{L|_U$ の基底（$\mathcal O_U\cong L|_U$ となる切断）$\}$ は、単元 $\mathbb G_m(U)=\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times$ の積による作用で $\mathbb G_m$ トーサーになる（Zariski 位相で局所的に自明）。逆に $\mathbb G_m$ トーサーから直線束が作れ、$\operatorname{Pic}(X)\cong H^1(X_{\mathrm{Zar}},\mathbb G_m)$ が得られる。コサイクルは直線束の変換関数である。同様に、階数 $n$ の局所自由層は $\mathrm{GL}_n$ トーサー（局所的な基底のなす層）と対応する。$\mathbb G_m$ と $\mathrm{GL}_n$ は滑らかなので、thm-torsor-representable によりエタール位相や fppf 位相で考えても同じ分類になり、さらに Hilbertの定理90 の一般形により、エタール位相の $\mathrm{GL}_n$ トーサーは Zariski 位相で局所的に自明である（Milne80 第 III 章 §4）。

冪根をとるトーサー

$X$ をスキーム、$n\ge1$、$a\in\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times$ とする。$X$ 上のスキーム $U$ に対し
$$ P_a(U):=\{\,t\in\Gamma(U,\mathcal O_U)\mid t^n=a|_U\,\} $$
と置き、群スキーム $\mu_n$（$\mu_n(U)=\{\zeta\in\Gamma(U,\mathcal O_U):\zeta^n=1\}$）を積で作用させる。このとき $P_a$ は fppf 位相の $\mu_n$ トーサーである。
証明。$t,t'\in P_a(U)$ なら $t$ は単元（$t\cdot t^{n-1}a^{-1}=1$）で、$\zeta:=t^{-1}t'$ は $\zeta^n=1$ を満たし、$t'=t\zeta$ となる $\zeta$ はこれだけである。よって条件 1 が成り立つ。次に $Y:=\operatorname{Spec}_X\mathcal O_X[T]/(T^n-a)$ と置く。$\mathcal O_X[T]/(T^n-a)$ は $1,T,\dots,T^{n-1}$ を基底とする階数 $n$ の自由加群だから、$Y\to X$ は有限局所自由で、とくに平坦かつ局所有限表示である。階数が正なのでファイバーは空でなく、全射である。したがって $\{Y\to X\}$ は fppf 被覆であり、$T$ の像が $P_a(Y)$ の元を与える。よって条件 2 も成り立つ。
$P_a$ は $Y$ 自身で表現され、prop-torsor-trivial により、$P_a$ が自明であることと $a$ が $\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times$ の $n$ 乗であることは同値である。$n$ が $X$ 上可逆なら $Y\to X$ はエタールであり、$P_a$ はエタール位相のトーサーでもある。$a\mapsto P_a$ は Kummer完全列の連結準同型 $\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times\to H^1(X,\mu_n)$ を与える。

Galois拡大

$K$ を体、$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$\Gamma=\operatorname{Gal}(L/K)$ とし、$\Gamma$ を $\operatorname{Spec}K$ 上の定数群スキームとみなす。$\operatorname{Spec}L$ は $\Gamma$ の作用（$\sigma\in\Gamma$ は $\operatorname{Spec}\sigma$ で作用し、合成の順序を合わせて右作用とみなす）によって $\Gamma$ トーサーである。
証明。$L=K(\alpha)$、$\alpha$ の最小多項式を $f$ とすると、$f=\prod_{\sigma\in\Gamma}(x-\sigma\alpha)$ は $L$ 上で相異なる一次式の積に分解する。中国剰余定理により
$$ L\otimes_KL\cong L[x]/(f)\cong\prod_{\sigma\in\Gamma}L[x]/(x-\sigma\alpha)\cong\prod_{\sigma\in\Gamma}L,\qquad a\otimes b\mapsto(a\,\sigma(b))_\sigma $$
である（第 1 因子を係数とみる）。これは $\operatorname{Spec}L\times_K\operatorname{Spec}L\cong\operatorname{Spec}L\times\Gamma$ を意味し、条件 1 に当たる。$\{\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K\}$ はエタール被覆で、底変換すると対角成分による切断をもつので条件 2 も成り立つ。$L\ne K$ なら $\operatorname{Spec}L$ は $K$ 有理点をもたないので、このトーサーは自明でない。

位相空間の主束

位相空間 $X$ と位相群 $G$ について、$X$ の開集合の景上で $U\mapsto\{U\to G$ の連続写像$\}$ という群の層を考えると、$X$ 上の主 $G$ 束の切断の層は $G$ トーサーであり、主 $G$ 束の同型類は $G$ トーサーの同型類と対応する。たとえば二重被覆 $S^1\to S^1$、$z\mapsto z^2$ は $\mathbb Z/2$ トーサーで、$S^1$ が連結なのに全空間も連結だから大域切断をもたず、自明でない。

反例

反例：空の層は単純推移的だがトーサーでない

$X$ を空でないスキームとし、すべての $U\ne\varnothing$ で $P(U)=\varnothing$ となる層 $P$（$P(\varnothing)$ は 1 点）を考える。$P\times G$ と $P\times P$ はともに空でない $U$ で空集合なので、条件 1 の射は同型である。しかし空でない $X$ の被覆には空でない $U_i$ が含まれ、そこで $P(U_i)=\varnothing$ だから、条件 2 を破る。条件 2 は「トーサーは局所的には $G$ と同じ」という要請を表しており、これを外すと空の層まで含まれてしまう。

反例：自明な作用は単純推移的でない

$G$ を自明でない群の層とし、終対象の層 $P=\{*\}$（各 $U$ で 1 点）に $G$ を自明に作用させる。$P(X)\ne\varnothing$ だから条件 2 は満たされるが、$P\times G\to P\times P$ は $G(U)\to\{*\}$ となり、$G(U)\ne1$ となる $U$ で単射でないので、条件 1 を破る。

反例：エタール局所に自明でもZariski局所に自明とは限らない

ex-torsor-galois で $K=\mathbb R$、$L=\mathbb C$ とすると、$\operatorname{Spec}\mathbb C$ は $\operatorname{Spec}\mathbb R$ 上の自明でない $\mathbb Z/2$ トーサーである。$\operatorname{Spec}\mathbb R$ は 1 点なので Zariski 被覆は自明なものしかなく、このトーサーは Zariski 位相では局所的にも自明にならない。したがって「Zariski 位相で局所的に自明」は、エタール位相のトーサー一般には成り立たない（$\mathrm{GL}_n$ トーサーでは成り立つことと対照的である）。

反例：滑らかでない群のトーサーはエタール局所に自明とは限らない

$k$ を標数 $p>0$ の完全でない体、$a\in k^\times\smallsetminus k^{\times p}$ とし、ex-torsor-kummer の $\mu_p$ トーサー $P_a$ を考える。$P_a$ は $\operatorname{Spec}k(a^{1/p})$ で表現され、$k(a^{1/p})/k$ は次数 $p$ の純非分離拡大である。$\operatorname{Spec}k$ のエタール被覆は有限次分離拡大体 $k'$ のスペクトルの直和からなるが、$P_a(k')\ne\varnothing$ とは $a$ が $k'$ の $p$ 乗であることで、そのとき $k(a^{1/p})\subset k'$ となり、分離拡大 $k'/k$ が次数 $p$ の純非分離な部分拡大を含むことになって矛盾する。よって $P_a$ はエタール位相では局所的にも自明にならない。thm-torsor-representable の後半の「$G$ が滑らか」という仮定は外せない（$\mu_p$ は標数 $p$ で滑らかでない）。