近傍

定義

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ の点 $x$ に対し、部分集合 $V \subset X$ が $x$ の近傍であるとは、以下の条件を満たすことをいう。

$x$ を含むある開集合 $U \in \mathcal{O}$ が存在して、$U \subset V$ となる。

このとき、$V$ 自身が開集合である必要はないことに注意が必要である。もし $V$ が開集合であれば、特に開近傍 (open neighborhood) と呼ぶ。逆に、$V$ が閉集合であれば閉近傍と呼ぶ。

距離空間における直観

距離空間 $(X, d)$ においては、$\epsilon$-球体（$\epsilon$-近傍）が近傍の典型例である。
点 $x$ を中心とする半径 $\epsilon > 0$ の開球 $B(x, \epsilon) = \{ y \in X \mid d(x, y) < \epsilon \}$ を考えるとき、$x$ の近傍 $V$ とは、

ある $\epsilon > 0$ が存在して、$B(x, \epsilon) \subset V$ となる集合 $V$

のことである。これは「$x$ からほんの少し動く程度であれば、$V$ からはみ出さない」という状態を意味する。

近傍系と公理

点 $x$ のすべての近傍の集まりを、$x$ の近傍系と呼び、$\mathcal{V}(x)$ と書く。
歴史的には、フェリックス・ハウスドルフは「開集合」ではなく「近傍」を基礎として位相空間を定義した。近傍系 $\mathcal{V}(x)$ は以下の公理（ハウスドルフの近傍公理）を満たす。

1. 存在: $V \in \mathcal{V}(x)$ ならば $x \in V$。
   （近傍は必ずその点自身を含む）
2. 拡大性: $V \in \mathcal{V}(x)$ かつ $V \subset W$ ならば $W \in \mathcal{V}(x)$。
   （近傍を含む集合はまた近傍である）
3. 共通部分: $V_1, V_2 \in \mathcal{V}(x)$ ならば $V_1 \cap V_2 \in \mathcal{V}(x)$。
   （2つの近傍の共通部分も近傍である）
4. 開核の存在: 任意の $V \in \mathcal{V}(x)$ に対し、ある $W \in \mathcal{V}(x)$ が存在して、$W \subset V$ かつ「任意の $y \in W$ について $W \in \mathcal{V}(y)$」となる。
   （この $W$ が開近傍に対応する）

解析学的な役割

近傍は、極限操作を定義するための言語として不可欠である。

• 点列の収束:
  点列 $(a_n)$ が点 $x$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対して、ある番号 $N$ が存在し、$N$ 以降のすべての項が $V$ に含まれる（$n \ge N \implies a_n \in V$）ことをいう。
• 写像の連続性:
  写像 $f: X \to Y$ が点 $x$ で連続であるとは、$f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対して、$x$ のある近傍 $U$ が存在し、$f(U) \subset V$ となることをいう。

関連項目

• 位相空間
• 開集合：近傍の定義に使われる。
• 閉近傍
• 基本近傍系：近傍系の基底。
• フィルター：近傍系の一般化。
• ハウスドルフ空間：異なる2点を交わらない近傍で分離できる空間。