Fejér単調列

各 $n$ について
$$ \|u_{n+1}-v\|^2\le\|u_n-v\|^2\iff2\langle u_n-u_{n+1},v\rangle\le\|u_n\|^2-\|u_{n+1}\|^2 $$
であり（両辺を展開して $\|v\|^2$ を消す）、右の条件を満たす $v$ の集合 $C_n$ は閉半空間か $H$ 全体で、閉凸集合である。仮定は $K\subset C_n$ がすべての $n$ で成り立つことであり、閉凸集合 $\bigcap_nC_n$ は $K$ の閉凸包を含む。$\square$

$u=P_Kf$ とおくと $\|v-f\|^2=\|v-u\|^2+\|u-f\|^2+2\langle v-u,u-f\rangle$ である。Stampacchiaの定理 の命題「射影の変分不等式による特徴づけ」の 1 により $\langle f-u,v-u\rangle\le0$、すなわち最後の項は $0$ 以上である。$\square$

1：$v\in K$ を 1 つ固定すると $\|u_n-v\|\le\|u_1-v\|$ なので有界である。各 $v\in K$ で $\|u_n-v\|$ は単調減少で $0$ 以上なので収束する。
2：$P_Ku_n\in K$ なので $d_{n+1}\le\|u_{n+1}-P_Ku_n\|\le\|u_n-P_Ku_n\|=d_n$ である。
3：$m>n$ とする。lem-fejer-projection を $f=u_m$、$v=P_Ku_n$ に使い、Fejér 単調性を $v=P_Ku_n$ に使うと
$$ \|P_Ku_n-P_Ku_m\|^2\le\|P_Ku_n-u_m\|^2-d_m^2\le\|P_Ku_n-u_n\|^2-d_m^2=d_n^2-d_m^2 $$
である。2 により $d_n$ は収束するので、$(P_Ku_n)$ は Cauchy 列である。$H$ は完備で $K$ は閉なので、極限 $\ell$ は $K$ に属する。$\square$

thm-fejer-basic の 1 により $(u_n)$ は有界である。部分列 $u_{n_k}\rightharpoonup u$ をとると、仮定から $u\in K$ である。各 $v\in K$ について、Stampacchiaの定理 の命題「射影の変分不等式による特徴づけ」の 1 から
$$ \langle u_n-P_Ku_n,\ v-P_Ku_n\rangle\le0 $$
である。$n=n_k$ として $k\to\infty$ とすると、$u_{n_k}\rightharpoonup u$ と thm-fejer-basic の 3 の $P_Ku_{n_k}\to\ell$ から $\langle u-\ell,v-\ell\rangle\le0$ を得る。$v=u$ とすると $\|u-\ell\|^2\le0$、よって $u=\ell$ である。どの部分列も $\ell$ に弱収束する部分列を含むので、$u_n\rightharpoonup\ell$ である。$\square$

$v\in K$ を固定し、$\varepsilon_n=\langle u_n-\ell,v-\ell\rangle-\langle u_n-P_Ku_n,v-P_Ku_n\rangle$ とおく。$(u_n)$ は有界で $P_Ku_n\to\ell$ なので、展開すると $\varepsilon_n\to0$ である。変分不等式から第 2 項は $0$ 以下なので $\langle u_n-\ell,v-\ell\rangle\le\varepsilon_n$ であり、平均をとって $\langle\sigma_n-\ell,v-\ell\rangle\le\frac1n\sum_{j=1}^n\varepsilon_j\to0$ である。$(\sigma_n)$ は有界なので、弱集積点 $\sigma$ をとると $\sigma\in K$、$\langle\sigma-\ell,v-\ell\rangle\le0$ がすべての $v\in K$ で成り立つ。$v=\sigma$ として $\sigma=\ell$ であり、prf-fejer-opial の最後と同じ議論で $\sigma_n\rightharpoonup\ell$ である。$\square$

$v,w\in K$ について
$$ \|u_n-v\|^2-\|u_n-w\|^2=-2\langle u_n,v-w\rangle+\|v\|^2-\|w\|^2 $$
の左辺は thm-fejer-basic の 1 により収束するので、$\langle u_n,v-w\rangle$ は収束する。仮定からどの $z\in H$ も $\lambda(v-w)$ の形なので、$\varphi(z)=\lim_n\langle u_n,z\rangle$ がすべての $z$ で存在する。$\varphi$ は線形で、$|\varphi(z)|\le\sup_n\|u_n\|\,\|z\|$ なので連続であり、Rieszの表現定理 により $\varphi=\langle u,\cdot\rangle$ となる $u$ がある。これは $u_n\rightharpoonup u$ を意味する。prf-fejer-opial と同じく変分不等式で極限をとると、すべての $v\in K$ で $\langle u-\ell,v-\ell\rangle\le0$ であり、Stampacchiaの定理 の命題「射影の変分不等式による特徴づけ」の 1 から $\ell=P_Ku$ である。$\square$

$K$ に含まれる閉球 $\{x:\|x-c\|\le r\}$（$r>0$）をとる。$u_n\ne u_{n+1}$ のとき $e=\frac{u_n-u_{n+1}}{\|u_n-u_{n+1}\|}$、$v=c+re\in K$ とおく。Fejér 単調性 $\|u_{n+1}-v\|^2\le\|u_n-v\|^2$ を $u_{n+1}-v=(u_{n+1}-c)-re$ などで展開すると
$$ \|u_{n+1}-c\|^2-2r\langle u_{n+1}-c,e\rangle\le\|u_n-c\|^2-2r\langle u_n-c,e\rangle $$
であり、$\langle u_n-u_{n+1},e\rangle=\|u_n-u_{n+1}\|$ なので
$$ 2r\|u_n-u_{n+1}\|\le\|u_n-c\|^2-\|u_{n+1}-c\|^2 $$
を得る。$u_n=u_{n+1}$ のときもこの不等式は成り立つ。$n=1,\dots,N$ について足すと $\sum_{n=1}^N\|u_n-u_{n+1}\|\le\frac{\|u_1-c\|^2}{2r}$ であり、$\sum_n\|u_n-u_{n+1}\|<\infty$ である。よって $(u_n)$ は Cauchy 列で、ある $u$ に強収束する。$P_K$ は連続なので（Stampacchiaの定理 の命題「射影の変分不等式による特徴づけ」の 2）、$\ell=\lim P_Ku_n=P_Ku$ である。$\square$

$v\in A\cap B$ をとる。lem-fejer-projection を $B$ と $f=u_n$、$A$ と $f=P_Bu_n$ に使うと
$$ \|v-u_{n+1}\|^2\le\|v-P_Bu_n\|^2-\|u_{n+1}-P_Bu_n\|^2\le\|v-u_n\|^2-\|P_Bu_n-u_n\|^2-\|u_{n+1}-P_Bu_n\|^2 $$
である。よって $(u_n)$ は $A\cap B$ に関して Fejér 単調で、$n=1,\dots,N$ について足すと
$$ \sum_{n=1}^N\bigl(\|P_Bu_n-u_n\|^2+\|u_{n+1}-P_Bu_n\|^2\bigr)\le\|v-u_1\|^2 $$
なので、2 つの差は $0$ に収束する。弱集積点 $u_{n_k}\rightharpoonup w$ をとると、$P_Bu_{n_k}=u_{n_k}-(u_{n_k}-P_Bu_{n_k})\rightharpoonup w$ は $B$ の点列なので $w\in B$、$u_{n_k+1}=P_Bu_{n_k}+(u_{n_k+1}-P_Bu_{n_k})\rightharpoonup w$ は $A$ の点列なので $w\in A$ である。thm-fejer-opial により $(u_n)$ は $A\cap B$ の点 $\lim_nP_{A\cap B}u_n$ に弱収束する。$\square$