Artin–Verdier双対

前提知識: エタールコホモロジー, Galoisコホモロジー, Brauer群, 大域類体論

Artin–Verdier 双対（Artin–Verdier duality）は、代数体 $K$ の整数環のスペクトル $X=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ のエタールコホモロジーについての双対定理である。$K$ が実素点をもたないとき、構成可能層 $F$ について、コホモロジー $H^r(X,F)$ と $\operatorname{Ext}^{3-r}_X(F,\mathbb{G}_m)$ が、$H^3(X,\mathbb{G}_m)\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に値をとる Yoneda 積で互いに Pontryagin 双対になる。向き付けられた閉 $3$ 次元多様体の Poincaré 双対と同じ「次元 $3$」の形をしており、数論的位相幾何 で $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ を $3$ 次元多様体に見立てる根拠の一つになっている。定理は Artin と Verdier が $1964$ 年に発表した（Mil06 第 II 章 §3 の注、p. 188）。
この記事では、次元 $1$ の類似である有限体の双対を証明し、$\mathbb{G}_m$ のコホモロジーを引用する入力から計算して、双対の「基本類」$H^3(X,\mathbb{G}_m)\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を導く。Artin–Verdier 双対そのものは所在を示して引用し、そこから $H^1(X,\mathbb{Z}/n)$ がイデアル類群と双対になることを導く。

設定と記号

$K$ を代数体、$\mathcal{O}_K$ をその整数環、$X:=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ とする。層はすべて $X$ の小エタール景の上のアーベル群の層とし、コホモロジーはエタールコホモロジーである（エタールコホモロジー）。$g\colon\operatorname{Spec}K\to X$ を生成点、$\mathfrak{p}$ を $X$ の閉点（$0$ でない素イデアル）、$k(\mathfrak{p})$ をその剰余体、$i_{\mathfrak{p}}\colon\operatorname{Spec}k(\mathfrak{p})\to X$ を包含とする。乗法群の層 $\mathbb{G}_m$ は $U\mapsto\Gamma(U,\mathcal{O}_U)^\times$ で定まる。
アーベル群 $A$ の Pontryagin 双対を $A^\vee:=\operatorname{Hom}(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ と書く。$A$ が有限なら $A^\vee$ も有限で $\lvert A^\vee\rvert=\lvert A\rvert$ であり、自然な写像 $A\to A^{\vee\vee}$ は同型である。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は可除なので、$\operatorname{Hom}(\cdot,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ は完全列を完全列に写す。

これは Mil06 第 II 章 §0（p. 146）の定義である。たとえば定数層 $\mathbb{Z}/n$ と $\mu_n$ は構成可能だが、$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{G}_m$ は構成可能でない（茎が有限でない）。
層 $F$ について $\operatorname{Ext}^r_X(F,\mathbb{G}_m)$ は層の圏での Ext 群で、$\operatorname{Ext}^r_X(\mathbb{Z},F)=H^r(X,F)$ である（$\operatorname{Hom}_X(\mathbb{Z},F)=\Gamma(X,F)$ の導来関手）。Ext の Yoneda 積は
$$ H^r(X,F)\times\operatorname{Ext}^{3-r}_X(F,\mathbb{G}_m)\longrightarrow\operatorname{Ext}^3_X(\mathbb{Z},\mathbb{G}_m)=H^3(X,\mathbb{G}_m) $$
を与える。

次元 1 の場合：有限体の双対

Artin–Verdier 双対の最も簡単な類似は、有限体の上の双対である。有限体 $k$ の絶対 Galois 群 $G_k$ は $\hat{\mathbb{Z}}$ と同型で、Frobenius 写像 $\mathrm{Fr}$ が位相的な生成元である。$\operatorname{Spec}k$ は、基本群が $\mathbb{Z}$ の円周の類似で（数論的位相幾何）、双対は「次元 $1$」の形になる。
有限な離散 $G_k$ 加群 $M$ について、$M^\vee$ に $(g\varphi)(m):=\varphi(g^{-1}m)$ で $G_k$ を作用させる。

Mil06 Example I.1.10（p. 23）と Maz73 §1 (c)（p. 522）は、同じ双対をカップ積 $H^r(k,M)\times H^{1-r}(k,M^\vee)\to H^1(k,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の非退化性として述べている。

$\mathbb{G}_m$ のコホモロジー

以下この節と次の節では、$K$ は総虚（実素点をもたない）とする。実素点がある場合の違いは反例の節で述べる。
計算には次の事実を使う。いずれもこの記事では証明しない（Maz73 §2 (**)・(2.1)–(2.3)、pp. 536–538。Mil06 第 II 章 Proposition 2.1 の証明、pp. 163–164）。

• (A) 因子の完全列。 層の完全列 $0\to\mathbb{G}_m\to g_*\mathbb{G}_{m,K}\to\bigoplus_{\mathfrak{p}}i_{\mathfrak{p}*}\mathbb{Z}\to0$ がある。右の写像は各閉点での付値である。
• (B) 生成点からの順像。 すべての $r$ で $H^r(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})\cong H^r(K,\mathbb{G}_m)$（Galois コホモロジー）である（$s>0$ で $R^sg_*\mathbb{G}_m=0$ となり Leray のスペクトル系列が退化する）。
• (C) 閉点。 $H^r\bigl(X,\bigoplus_{\mathfrak{p}}i_{\mathfrak{p}*}\mathbb{Z}\bigr)\cong\bigoplus_{\mathfrak{p}}H^r(k(\mathfrak{p}),\mathbb{Z})$ で、有限体 $k$ について $H^0(k,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$、$H^1(k,\mathbb{Z})=0$、$H^2(k,\mathbb{Z})\cong H^1(k,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$、$r\ge3$ で $H^r(k,\mathbb{Z})=0$ である。
• (D) 大域体の Galois コホモロジー。 $H^1(K,\mathbb{G}_m)=0$（Galoisコホモロジー の記事の定理「乗法群の1次コホモロジーの消滅」）、$H^2(K,\mathbb{G}_m)=\operatorname{Br}(K)$、$K$ が総虚なら $r\ge3$ で $H^r(K,\mathbb{G}_m)=0$ である。
• (E) Brauer 群の完全列。 完全列 $0\to\operatorname{Br}(K)\to\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)\xrightarrow{\sum\operatorname{inv}_v}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ がある（Brauer群 の記事の例「局所体と大域体」）。$K$ が総虚なら複素素点では $\operatorname{Br}(\mathbb{C})=0$ なので、和は有限素点 $\mathfrak{p}$ だけにわたる。(A) から得られる写像 $H^2(K,\mathbb{G}_m)\to\bigoplus_{\mathfrak{p}}H^2(k(\mathfrak{p}),\mathbb{Z})\cong\bigoplus_{\mathfrak{p}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は、局所不変量をとる写像 $\operatorname{Br}(K)\to\bigoplus_{\mathfrak{p}}\operatorname{Br}(K_{\mathfrak{p}})\cong\bigoplus_{\mathfrak{p}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に一致する。

この計算は Maz73 (2.3)（pp. 537–538）の表と一致する。$H^3(X,\mathbb{G}_m)\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は、「局所不変量の和が $0$」という大域類体論の相互法則を、エタールコホモロジーの言葉で言い直したものである。同型 $H^3(X,\mathbb{G}_m)\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を跡写像（trace map）と呼び、双対の値域に使う。

Artin–Verdier 双対定理

この記事では証明しない（Maz73 (2.4)、p. 538。Mil06 第 II 章 Theorem 3.1・Corollary 3.2、p. 177）。Mil06 は実素点を含めるために「コンパクト台のコホモロジー」$H^r_c$ を導入し、$\operatorname{Ext}^r_X(F,\mathbb{G}_m)\times H^{3-r}_c(X,F)\to H^3_c(X,\mathbb{G}_m)\cong\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の形で、実素点があっても $2$ 捩れまで含めて成り立つ形に述べている（Theorem II.3.1）。定理の最初の発表は Artin と Verdier による（Mil06 第 II 章 §3 の注、p. 188）。
定理の読み方について $2$ 点注意する。

• 剰余標数によらない。 $X$ の閉点の剰余体の標数はあらゆる素数にわたるが、双対は $F$ の位数と剰余標数の関係に条件を付けずに成り立つ（Maz73 Remark (a)、pp. 538–539）。
• Poincaré 型ではない。 右の群は $\operatorname{Ext}^{3-r}_X(F,\mathbb{G}_m)$ で、一般には「$F$ の双対の層のコホモロジー」$H^{3-r}(X,\mathcal{H}om(F,\mathbb{G}_m))$ にはならない（Maz73 Remark (b)、p. 539）。

帰結：$\mathbb{Z}/n$ 係数のコホモロジー

$n\ge1$ とし、$\mu_n(\mathcal{O}_K)$ を $\mathcal{O}_K$ の $1$ の $n$ 乗根の群、$A[n]$ をアーベル群 $A$ の $n$ 捩れ部分とする。

$X$ は連結なので $H^0(X,\mathbb{Z}/n)=\mathbb{Z}/n$ は直接にもわかり、双対の結果と一致する。$H^1(X,\mathbb{Z}/n)$ は $X$ の上の $\mathbb{Z}/n$ 捩れ（有限素点のどこでも不分岐な巡回被覆）を分類するので、系は「$K$ のすべての有限素点で不分岐な $\mathbb{Z}/n$ 拡大は、イデアル類群の $n$ で割った商と双対に対応する」ことを述べている（Maz73 pp. 539–540）。総虚な $K$ では無限素点での分岐は起こらないので、これは Hilbert類体 の Galois 群がイデアル類群と同型であることと整合する。

3 次元多様体との類似

左の列は Poincaré双対 と普遍係数定理による。Mor09 は、Artin と Verdier により $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ が（$2$ 捩れを除いて）コホモロジー次元 $3$ をもち $3$ 次元の Poincaré 双対に似た双対をもつことを、$\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ を $3$ 次元多様体に見立てる根拠に挙げている（Mor09 §1 (1.3)、p. 4）。左右の結びつきは類似であって、一方の定理から他方が導かれるわけではない。

反例

関連項目

• 前提: エタールコホモロジー, Galoisコホモロジー, Brauer群
• 比較: Poincaré双対, Tateコホモロジー
• 直後に読む: 数論的位相幾何, Hilbert類体
• 発展: 大域類体論, Rédei記号